2026年高考数学终极冲刺：专题 全概率与条件概率（抢分专练）（原卷版）

4/4专题全概率与条件概率题型考情分析考向预测1.条件概率的简单计算2024年新高考卷Ⅱ：18题考查了条件概率、独立事件、期望综合2023年新高考卷Ⅱ：12题考查了条件概率、独立事件、互斥事件综合2024年新高考卷I：21题考查了条件概率、丙点分布、期望综合条件概率考察小题或大题第一问可能性较大，全概率公式极有可能组合数列递推（马尔科夫链）考查压轴大题。2.全概率公式的简单计算3.条件概率中的证明4.贝叶斯公式求概率5.条件概率和全概率公式综合应用6.全概率公式与数列综合题型1条件概率的简单计算条件概率公式及其性质条件概率定义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．公式性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．【例1】（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A=“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件B=“两位游客选择的景点不同”，则PB∣A=【变式1】（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为“两个点数不相同”，B为“至少出现一个6点”，则PA∣B=（A．1011 B．56 C．16题型2全概率公式的简单计算全概率公式定义一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,…，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式.意义全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解.【例2】（2026高三·全国·专题练习）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（

）A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.题型3条件概率中的证明1条件概率的核心公式：是证明的基础2条件概率的性质：非负性规范性可加性对立事件性质乘法公式等是证明的工具3常见证明结论：证明证明证明等价于AB相互独立证明乘法公式4证明的核心逻辑：紧扣定义用条件概率公式转化结合概率的基本性质推导【例3】（2026高三·全国·专题练习）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1，第1次摸到红球的概率为P2，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4，求P1，P(3)对于事件A,B,C，试根据（2）写出PA，PBA，P【变式3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知随机事件A,B满足PA=12，(1)求PA(2)求PA+B(3)证明PAB题型4贝叶斯公式求概率贝叶斯公式概念设是样本空间的一个划分且则贝叶斯公式的本质由果索因已知结果B发生反推导致结果的原因发生的概率与全概率公式的关系分母为全概率公式计算的分子为全概率中的对应项【例4】（25-26高二下·福建厦门·月考）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为2:3.(1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；(2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率.【变式4-1】（25-26高二下·贵州黔西南·月考）甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件.(1)求取到优良产品的概率;(2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率.【变式4-2】（2026·江西·一模）学校食堂每餐推出A、B两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了A套餐，则第2天选择A套餐的概率为14；若他前1天选择了B套餐，则第2天选择了A套餐的概率为34．已知他开学第1天中午选择A套餐的概率为23，在该同学第3天选择了A套餐的条件下，他第2天选择A题型5条件概率和全概率公式的综合应用条件概率全概率公式定义一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．【例5】（25-26高二下·江西抚州·月考）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（

）A．P(AB)=23 B．P(B)=35 C．【变式5-1】（25-26高二下·江西南昌·月考）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是23，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为35；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为23A．929 B．1229 C．415【变式5-2】（2026·河南郑州·一模）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是110(1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；(2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．题型6全概率公式与数列综合全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，我们称这个公式为全概率公式．【例6】（2026·河南南阳·一模）马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行nn∈N∗次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X(1)p1(2)求pn【变式6】（25-26高二下·江西南昌·月考）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为34方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为45方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为23(1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；(2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为an，bn，（i）求a2，b2，并证明：数列（ii）求an和b一、单选题1．（2026·河南南阳·一模）口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量X为抽取到的红球个数，Y为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率PX=1∣Y=2（

A．38 B．67 C．472．（25-26高三·湖南·期中）已知P(A|B)=47，P(B)=7A．47 B．49 C．133．（2026重庆渝中一模）算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105，现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其他位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”，事件B=“表示的四位数不小于5010”，则PBA=A．25 B．512 C．234．（25-26高三下·河北衡水·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到黄球”为事件B，则PAB=A．13 B．12 C．34二、多选题5．（25-26高三上·重庆·月考）设A,B是一个随机试验中的两个事件，且PA=1A．PA+B=34 B．PA6．（25-26高三上·湖北襄阳·期中）在一次随机试验E中，定义两个随机事件A和B，若PA=16，A．PB．若A与B互斥，则PC．1D．若A与B相互独立，则A和B至少有一个发生的概率为57．（25-26高三上·浙江杭州·期中）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做．下列表述正确的是（

）A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是1B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是1C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是1D．丁同学随机至少选择两个选项，能得5分的概率是18．（25-26高三上·贵州·月考）对于随机事件A,B，若P(A)=35,P(B)=A．P(AB)=115 B．P(A|B)=14 C．9．（25-26高三上·河北唐山·期中）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是1B．第二次取到1号球的概率1C．如果第二次取到1号球，则它来自3号口袋的概率最大D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种10．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且PA=12，PBA．A，B是相互独立事件 B．事件A，B互斥C．PA+B=P三、填空题11．（25-26高三上·天津·期末）一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________．12．（25-26高三上·陕西渭南·期末）在信道内传输0、1信号，信号的传输相互独立，由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为_________________.13．（25-26高三下·天津河西·开学考试）盒中有4个白球、6个黑球（这些球除颜色外没有其他差异）.随机从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并放入2个与取出的球同色的球，再次从盒中随机取出一个球.则第二次取出的球是白球的概率为________；在第一次取出白球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为________.14．（25-26高三上·江西抚州·期末）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M−1,0位置的条件下，水平方向移动3次的概率为____________四、解答题15．（25-26高三上·四川绵阳·期中）某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为30%、40%、30%.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为0.02;是中午投放的条件下，违规混投的概率为0.03;(1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率;(2)这袋垃圾存在违规混投的概率;(3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率.16．（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响．(1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有13(2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有23的概率答对．记Pn为乙同学回答（i）求P4（ii）证明：P10017．（