2026年高考数学终极冲刺：限时预测04 （A+B+C三组解答题）（原卷版及全解全析）

1/19限时预测04（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）记的角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且．(1)求证：；(2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离．17．（15分）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.(1)求6次姿态修正后达到个单位的概率；(2)以下三种情况将导致校准流程终止：情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．18．（17分）已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在的直线的方程；(3)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.19．（17分）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若有且仅有1个零点，求的值；(3)若存在，使得对任意恒成立，证明：．（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足，求数列的前n项和.16．（15分）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；(2)求的分布列和期望.17．（15分）如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上，，点分别为棱的中点.(1)证明:；(2)若，三棱锥的体积为时，求平面与平面所成角的余弦值.18．（17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点．(1)求双曲线的标准方程；(2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；(3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．19．（17分）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，证明：对任意，都有；(3)证明：，.（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且.(1)求角；(2)若，平分，求.16．（15分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方．17．（15分）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；(2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；（ii）求使得最大时的值．（参考数据：；若，则有，，）18．（17分）如图，在正四棱台中，，且．

(1)若．（i）求证：平面；（ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．(2)若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值．19．（17分）给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.(1)已知数列为“指数型数列”，若，求；(2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.

限时预测04（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）记的角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，所以，整理得，，3又，所以，所以，解得，又，所以．6（2）因为，且的周长为，所以，8由余弦定理得，，整理得，，10由得，，解得，所以．1316．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且．(1)求证：；(2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：连，相交于点，连．∵底面为菱形，∴且．又平面，平面，平面平面，∴，∴，又，而．∴平面，又，∴平面，而平面，∴，，为等腰三角形，即．6

（2）若，则，由（1）知，∴平面，以为原点以，，分别为轴，轴，轴建立直角坐标系，又，∵，则，，，，8∵，，∴平面，与平面所成的角为60°，∴，∴，∴．

∴，，．

设平面的法向量为则取，，，∴，

10设，，则，到平面的距离相等，，∴．12又，∴，解得，设平面的法向量为，∵，．则取，，，∴，则点到平面距离为．1517．（15分）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.(1)求6次姿态修正后达到个单位的概率；(2)以下三种情况将导致校准流程终止：情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．【答案】(1)；(2)（ⅰ），（ⅱ）【解析】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，且每次正方向和负方向修正的概率均为，故6次姿态修正后达到个单位的概率为4（2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为，“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种，则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择，故“完成6次修正”总的路线共有种，“校准到位”的路线有共有4种，故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为8（ⅱ）随机变量的取值为2,4,6，表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故,表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向，故,,13的分布列如下：246故1518．（17分）已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在的直线的方程；(3)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】（1）由，可得，将点代入椭圆方程得，联立可得，，故椭圆方程为；4（2）由（1）知，，，则直线方程为.直线方程为.设角平分线l上的一点为，则，得或，因为角平分线l的斜率为正，所以直线l方程为；8（3）设直线方程为，联立得，设，，则，，11则，代入，，整理得，所以当时，使得恒为定值1719．（17分）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若有且仅有1个零点，求的值；(3)若存在，使得对任意恒成立，证明：．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)；(3)证明见解析；【解析】（1）当时，，定义域为，求导得到，令，则当时，3所以在内单调递减，且，即在内单调递减，且，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上所述，单调递增区间为，单调递减区间为5（2）因为有且仅有1个零点，所以方程有且仅有1个解，即有且仅有1个解，令，，则，令，则，所以在区间上单调递增，8又因为，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；所以函数在处取得极小值也是最小值，当时，，时，，因为有且仅有1个解，所以10（3）因为对任意恒成立，所以，即，因此，要证，只需证明即可，12对函数求导得到，令，则，所以在区间单调递减，即在区间单调递减，存在唯一极大值点，满足，即，在内函数单调递增，内函数单调递减，所以当时取得极大值也是最大值14因此，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在时取得最大值，因此，所以，所以，故得证.17（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足，求数列的前n项和.【答案】(1)，；(2)【解析】（1）当时，，当时，，满足上式，所以；由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；5（2）当为偶数时，，8当为奇数时，，所以1316．（15分）袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；(2)求的分布列和期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，【解析】（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”，事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，故，4事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，故，故所求8（2）易知随机变量可能的取值为，当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球，，当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，，当时，，13故随机变量的分布列为：345期望为1517．（15分）如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上，，点分别为棱的中点.(1)证明:；(2)若，三棱锥的体积为时，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）已知，是中点，所以，又分别为中点，故是的中位线，得，由，知，因此，因为，且平面，所以平面，又平面，故，得证；5（2）由（1），以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，又，可得：，，，，，由，，设，，三棱锥体积，解得，即，9因为平面，故平面的一个法向量为，在平面中，，设其法向量为，则令，得，即，12设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所成角余弦值是1518．（17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点．(1)求双曲线的标准方程；(2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；(3)已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在【解析】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，又由点在双曲线上，有，代入，有，可得，，故双曲线的标准方程为；4（2）设点的坐标为，则，即．双曲线的两条渐近线，的方程分别为，，则点到两条渐近线的距离分别为，，则．所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值．9（3）存在．①当时，，又是的中点，所以，所以，此时．11②当时．ⅰ）当在轴上方时，由，，可得，所以直线的方程为，把代入得．所以，则．14由二倍角公式可得．因为直线的斜率及，所以，则．因为，，所以．ⅱ）当在轴下方时，同理可得．故存在，使得．1719．（17分）已知函数．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，证明：对任意，都有；(3)证明：，.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析【解析】（1）当时，，则，所以，，故当时，在点处的切线方程为4（2）对任意的，当时，，故只需证对任意的恒成立，整理得，6构造函数，其中，则，所以函数在上为减函数，故当时，，即，故对任意的，，故当时，对任意，都有9（3）由（2）知，当时，，即，令，则，因为，所以，11构造函数，其中，则，当时，，即函数在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，即，当且仅当时，等号成立，令，得，即，整理得，则，即，14所以，，，，累加得，故，17（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且.(1)求角；(2)若，平分，求.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）由条件，利用正弦定理可得，因为，所以，代入上式：，整理得：，又，故即，又，所以6（2）由三角形面积公式知，可得，又，由余弦定理，得，于是可得或9因为平分，由角平分线性质，，且，所以故的长度为或1316．（15分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方．【答案】(1)①当时，，则在上单调递增;②当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)证明见解析【解析】（1）（1）因为的定义域为，的导函数2①当时，，则在上单调递增.②当时，令，得；令，得；所以，在上单调递增，在上单调递减.7（2）因为曲线经过点所以，解得．所以．因为，所以的方程为10要证除切点外，曲线在直线的下方，即证：，只需证：12设，则，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.所以当时，，所以原命题得证.1517．（15分）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；(2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；（ii）求使得最大时的值．（参考数据：；若，则有，，）【答案】(1)；(2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.【解析】（1）因为，所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即．所以，由，得，即6（2）（i）由题意知，且，又，所以二项分布可近似看作泊松分布，所以，9所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为.（ii）因为最大，所以，11即，解得，又，所以当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数.1518．（17分）如图，在正四棱台中，，且．

(1)若．（i）求证：平面；（ii）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．(2)若正四棱台的8个顶点均在球M的表面上，求球M体积的最小值