2026年高考数学终极冲刺：限时预测05（A+B+C三组解答题）（解析版）（全国二卷）

1/20限时预测05（A组+B组+C组）（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在三棱锥中，两两垂直，

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系；，,；3设平面的一个法向量为，则，令，得，即，5设直线与平面所成角为，则7即直线与平面所成角的正弦值为8（2）由（1）知平面的一个法向量为，易求平面的一个法向量为，10设二面角的大小为，易知为锐角，则，所以二面角的余弦值为13

16．（15分）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）抛物线的焦点为，则，3又椭圆C的离心率，则，所以，5故椭圆C的标准方程为；6（2）由（1）可知，椭圆C的左顶点，则直线：，即：，9设，，消去得，11解得或（舍去），13所以1517．（15分）．甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响．(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）；(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值．参考公式：若，则．【答案】(1)(2)【详解】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中.所以4（2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为.乙获胜的情况为：乙第1次射击并命中，概率为；第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为；第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为；第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为；这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以8甲获胜的情况为：第1轮乙未命中，甲命中，概率为；第2轮乙未命中，甲命中，概率为；第3轮乙未命中，甲命中，概率为；第轮乙未命中，甲命中，概率为；这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以12由题意知，恒成立，即恒成立，因为，，所以，所以恒成立，即.因为，所以，，所以14所以的最小值为1518．（17分）已知等差数列满足．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值．【答案】(1)(2)，最小值为9【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，整理得，2所以，解得，4故的通项公式为．7（2）由（1），则12易得在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为．1719．（17分）已知函数．(1)若恒成立，求a的取值集合；(2)当时，证明：当时，恒成立．【详解】（1）的定义域为．①若，因为，所以不满足题意；2②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故在时取得最小值，所以，5令，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，故，当且仅当时取到等号，7所以的解为，故．8（2），且时，则故10要证明即证，12而，14令，下证即可．，再令，则，由于函数在上递增，故在上递增，则，即在上递增，16故，即在上单调递增，故，得证．17（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量(1)若求A；(2)若求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为所以①2又由正弦定理，即，代入①式，可得，整理得，4又，所以，解得6（2）因为，所以，即，又，所以8因为，由余弦定理可得，即，解得或（舍去）11故13（15分）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.(1)证明：平面平面；(2)当时，求平面与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面，交线为平面，所以平面，又平面，故3又因为平面，所以平面，而平面，5故平面平面7（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，由题设得，，9设是平面的法向量，则，即，令，可得11又是平面的法向量，设平面与平面所成角为，，所以，13所以平面与平面所成角的正弦值是15（15分）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点．(1)求的方程．(2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值．(3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【详解】（1）已知离心率，故，结合得,所以双曲线方程可写为，代入点得：，2解得，所以，双曲线的方程为3（2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论：若直线斜率不存在，则，由得，不妨设，则：，所以；5若直线斜率存在，设为，则，由，得，此时且.设，由韦达定理：，7则：.综上，，即为定值9（3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合，设中点为，则。设，则，两式相减得，即，整理得方程为。12又在双曲线上，代入得，即，故方程为.若，联立与双曲线，消去得，14即，判别式：若，则，，代入双曲线得，无实根.因此不存在满足条件的三点1518（17分）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若存在，，，使得，求的最大值.【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)【详解】（1）由题得，.若，则在上恒成立，所以在上单调递减；2若，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增4综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增6（2）由（1）得，若存在，，使得，则必有，由8所以等价于，即，化简得：10设，，则，12所以在上单调递减，所以，此时，14所以当，时等号成立，所以的最大值为1719．（17分）某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n（足够多）张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取），如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；(2)若甲先抽取了k（，且）张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i（，）张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第n张.（ⅰ）若，当时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；（ⅱ）当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.若，请估计p的最大值，并求此时k的值.（估值参考：当时，，，，.）【答案】(1)；(2)（i）；（ii）所以的最大值约为0.3679，此时．【详解】（1）设抽到的第张奖券的金额为．设甲获得最大金额奖励．1注意到．3则．5（2）（i）仍设：甲获得最大金额奖励，若，则，故只需考虑的情况．设：抽到的第张奖券金额为．由于是随机抽取，抽到的每张奖券为最大金额的机会均等，则．7只有当是前张奖券中的最大金额，甲才会保留第张奖券，则．9则．若，当时，．11（ii）由估值参考得，则．12令，则．当时，．当时，单调递增；当时，单调递减，因此，当时，取得最大值．15此时，不是整数，又，所以的最大值约为0.3679，此时．17（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，成等比数列，．(1)求数列的通项公式；(2)若，且的前n项和为，求证：（）．【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得，2.由，，成等比数列，得，即，又，4解得，所以数列的通项公式为6（2）由（1）得，，即数列为等差数列，8，当时，，10所以1316．（15分）如图．四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，．设E为CP的中点．(1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值；(2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围；(3)直接写出四棱锥的外接球表面积与体积（无需证明）．【答案】(1)；(2)；(3)表面积为，体积为.【详解】（1）四棱锥的底面为正方形，取中点，连接，过作，则，由，得，由平面平面，平面，得平面，则直线两两垂直，2以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，4而平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的正切值为6（2）由（1）得，，平面的一个法向量，8令，则，设CF与平面所成的角为，因此，所以CF与平面所成角的正弦值的范围是10（3）设四棱锥的外接球球心为，则球半径，因此，解得，13所以四棱锥的外接球表面积为，14体积为15（15分）近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示：年份代码x12345App在线用户数y（单位：万）80150210260300(1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱：(2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望．注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，．【答案】(1)，很强的线性正相关关系(2)X80150210P【详解】（1）由题意，，，2则，4由，同理，则，则，6由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系8（2）由题意，X的可能取值为80、150、210，则，，，11故X的分布列为：X80150210P13则1518．（17分）已知函数，其中．(1)当时，求在处的切线方程；(2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；(3)若R，对任意的恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，函数定义域为故，2又，所以切线方程为3（2）由题意得若不存在单调增区间，则恒成立，即恒成立，5令，当时，当时所以在单调递减，在单调递增，7所以，所以即9因此所求实数的取值范围为10（3）由（2）知所以在单调递减，又，，所以必存在正数，使得，即12由（2）知当时，即，当时，即，当时，即，由上可知在单调递增，在单调递减，所以，14所以，即，令因为16当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以的最小值为1719．（17分）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点.过作直线与交于点，．当垂直于轴时，．点．按照如下方法依次构造点：过点作斜率为的直线与交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)求数列的通项公式.(2)求的面积.(3)将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值.【答案】(1)(2)16(3)【详解】（1）抛物线的焦点坐标为.当垂直于轴时，点，的纵坐标均为，代入抛物线方程可得.所以，又，所以，解得.所以抛物线的方程为2已知点.过点且斜率为的直线方程为，即.联立，整理得.因为点在抛物线上，所以，则方程可化为.设点，则，所以4又为关于轴的对称点，所以，即.又，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.所以.故数列的通项公式为5（2）由（1）知，，则，.