2026年高考数学终极冲刺：压轴02 利用导数研究不等式的4大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（解析版）

压轴02利用导数研究不等式的4大核心题型1.导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.2.恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.题型01单变量函数不等式的证明技法技法指导利用导数证明或判定不等式问题常用方法(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变型构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.1.（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）作差构造法第1步：作差或变形；由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，第2步：构造新函数g（x）；令，则，第3步：利用导数研究g（x）的单调性或最值；令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，第4步：根据单调性及最值，得到所证不等式.所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.适当放缩法：第一步：整体审题，找到简单的不等关系．令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，第二步：利用ex≥1＋x合理放缩．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，第三步：化简不等式，得出结论．令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.2．（2026·菏泽一模）已知函数，．(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．(2)若，，证明：．【解】（1）因为，所以．令，解得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．

因为，，所以．令，解得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以．

由题意可得，解得．（2）证明：方法一

当时，，，则．要证，即证，．令，，则．令，，则，所以当时，，所以在上单调递增．

因为，，所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．

由，得，所以．两边取对数，得，所以，所以，即．因为，所以，即．

方法二要证，即证，即证．

令，，，．易得，则令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增．所以．

易得．令，得；令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，故．题型02双变量函数不等式的证明技法技法指导证明含双参不等式的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.3．（2026·四川攀枝花·三模）已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)设函数的导函数为，若，证明：．【解】（1）当时，，则．而，所以．所以在处的切线方程为，即．（2）因为，且所以，所以．因为，，所以．所以．因为，所以，所以．设．则．当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，．所以，所以，即．4．（2026·安徽六安一模）已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，若实数满足，求证：.【解】（1）由在上单调递增，故当时，恒成立即设，，∵，∴∴，即在上单调递增，故∴；（2）当时，，∴在上单调递增，又∵且，故要证，只需证即证，只需证即证令，令∴在上单调递增∴，故在上单调递减，∴，故原不等式成立.题型03利用导数研究恒成立问题技法技法指导由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略(1)求最值法.将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法.将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围.5.（2024全国甲（理）卷T21）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．【解题指导】（1）代入→求导→的单调性→的极值（2）求导→构造新函数→求导，分类讨论→确定新函数的单调性→新函数的最值→的取值范围【解】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），第1步构造新函数并求导设，则，第2步分类讨论，比较与0的大小关系当时，，故在上为增函数，【疑难解惑】因为分界点未知，结合联想到利用必要性探路得出a的分界点再进行分类讨论故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；第3步得出结论综上，.6.（2026·山东青岛·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围.【解】（1）由题知：若，，在上单调递增

若，令解得：当时，，单调递减；当时，，单调递增，综上，当，的递增区间是，没有单调递减区间，若，的递增区间是，递减区间是；（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，令，则=，令，由（1）知函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，则有，即，即当时，则，当时，则，即在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取最小值，于是得，所以的取值范围为.7．（2026·湖南永州·一模）已知函数．(1)讨论的单调区间；(2)若，且当时，恒成立，求的取值范围．【解】（1）由题意得，①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减；②当时，令，，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，若恒成立，则有，①若，即时，则在上单调递减，则，由得，此时前后矛盾，故舍；②若，即，则在上单调递减，在上单调递增，则，由得，解得，综上所述，的取值范围是.题型04利用导数研究能成立问题技法指导不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法技法指导不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法若a>f(x)在x∈D上能成立，则a>f(x)min；若a<f(x)在x∈D上能成立，则a<f(x)max.(1)设，讨论的单调性；(2)设，若有解，求的取值范围．【解】（1）．所以，所以在定义域单调递增；（2）因为，所以函数为偶函数，由对称性可将问题转化为存在，使有解；而；；令，则，令，则因为，所以，故在上为增函数；当时，，所以在上为增函数；故，所以在上为增函数，故，不符合题意；当时，，且，又在上为增函数，故，使，当时，，函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，符合题意，综上所述的取值范围是．9．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．【解】（1）因为函数，所以，显然，因为函数的极小值为，所以，解得，此时当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，满足要求，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）由（1）知：当时，，所以在上递增，因为存在，使得成立，即，所以存在，使得成立，所以存在，使得成立，即成立，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，又，所以，则实数b的取值范围是.10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数(1)求出函数在上的最值(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．【解】（1）因为，，所以，令，令，因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，又，所以方程得解为，，的变化情况如下表所示．xe++0单调递增单调递减所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.当时，有极大值，也是的最大值.又因为，，所以，所以为的最小值.（2）因为，所以不等式可化为，由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为的最大值，，所以，时，最大，所以不等式，即存在唯一的整数解只能为1，所以，所以所以a的取值范围为.1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数（）.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围.【解】（1）当时，，则且，由，得或；，得；则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题知，令，则，因当时，恒成立，且，则必有，即，另一方面，时，，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，满足题设，综上，a的取值范围为.2．（2025·山东聊城·三模）已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．【解】（1）因为函数的定义域为，当时，恒成立，当时，，所以此时不恒成立，当时，求导得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，即不等式恒成立，等价于，综上，的取值范围为.（2）（i）当时，，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，（ii）由，则要证明，只需要证明，构造，则，所以在上单调递增，即，所以有，即成立．3．（2025·广东肇庆二模）已知函数．(1)若，求的零点；(2)若，讨论的单调性；(3)若，证明：．【解】（1）时，，令可得，解得，所以的零点为e．（2）因为，所以．若，则令，解得，，①若，即时，当时，，当时，，故在区间上单调递增，在区间，上单调递减．②若，即时，，故在上单调递减．③若，即时，当时，，当时，，故在区间上单调递增，在，上单调递减．综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，在上单调递减；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．（3）要证，因为，则只证，故只需证明，设，则，所以当时，，故在区间上单调递增，所以，原式得证．4．（2025·福建龙岩三模）已知函数.(1)求的单调区间;(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【解】（1）由，，得.令，解得.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.当时，恒成立，在上单调递增.当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）因为对任意，均存在，使得，所以，当时，取得最大值，最大值为0.由（1）得，当时，在]上单调递增，即当时，取得最大值，所以，解得，即.当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值.设，则，单调递增，所以成立，所以无解.综上所述，的取值范围为.5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：．【解】（1）由题意可知，函数，的定义域为，导数，当时，，；当时，，；，；综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．所以，要证，需证．即需证恒成立，令，则所以函数在区间单调递增，故，所以，恒成立，所以当时，．6．（2025·广东·模拟预测）已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：当时，；(3)若有两个零点，且，证明：.【解】（1）定义域为.由可得或，由可得或.所以的单调增区间为，单调减区间为.（2）证明：当时，有，原不等式等价于，即要证明.设，则，此时在单调递增，于是，不等式成立.（3）证明：构造函数.因为，所以，于是，所以于是，所以在单调递减.因为，所以，所以，即.因为是的零点，所以，即，所以.由（1）可知在单调递增，所以，于是.7.（2025·海南·模拟预测）已知函数．(1)当时，求的单调区间与极值点；(2)已知有两个极值点，证明：．【解】（1）当时，，则，令，则，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则，故的单调递增区间为，无减区间，无极值点.（2）因有两个极值点，则为的两根，即，即，即，令，则，，则，欲证，只需证，令，则，故在上单调递增，则，则成立，故得证.8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.【解】（1）函数的定义域为,则，令，可得或，令，可得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为和（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由已知：在上有解，在上有解，在上有解，，；令，则，在上单调递增，，令，，则在上单调递增，则，故.的取值范围为.9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．【解】（1）由题，.当，则，则此时在上单调递减；当，则.若，即时，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增；若，即时，此时在上单调递减.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）时，由（1）可得；又，则，得在上单调递增，则.又注意到存在，，使得，等价于时，，则，又，则.10．（2026·河北保定·一模）已知函数(1)当时，求的极值.(2)已知.（i）证明:；（ii）若在上恒成立，求实数t的取值范围.【解】（1）时，，，令，得，解得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；所以当时，取得极大值，当时，取得极小值.（2）时，.（i）要证，，即证，令，则，令，则，即化为，因为，所以，所以，即，在单调递增，又，所以，即.（ii）由得，当时，显然成立；当时，不等式可化为，令，则则，令，当时，，由得，又，所以，所以，在单调递增，所以对，；下面证明当时，，即，也即证：令，则，因为，所以，所以，所以，所以在单调递增，所以，即，所以.综上，时，，所以，即实数的取值范围为.11．（2026·河北张家口·一模）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：；(3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围．【解】（1）由得，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）设，，，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以，即，所以当且仅当时等号成立，设，定义域为，则，，当时，，为增函数，当时，