2025-2026学年甘肃省兰州二中等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年甘肃省兰州二中等校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为（）A.1 B.2 C.e D.2.若向量=（2，0，-1），向量=（0，1，-2），则2-=（）A.（-4，1，-4） B.（-4，1，0） C.（4，-1，0） D.（4，-1，-4）3.下列求导运算正确的是（）A. B.

C.（2x）′=2x D.（sinx）′=-cosx4.已知A（0，4，0），B（3，0，0），C（0，0，2），则平面ABC的一个法向量可以为（）A.（4，3，6） B.（-4，3，6） C.（4，-3，6） D.（4，3，-6）5.已知f′（2）=1，则=（）A.1 B.2 C.-1 D.-26.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，M是B1D1的中点，则AM的长为（）A. B. C. D.7.曲线y=lnx上的点到直线x-y+1=0的最短距离是（）A. B.2 C. D.8.已知空间四点A（1，2，3），B（1，1，2），C（2，1，1），D（1，1，1），则下列选项正确的是（）A.AB∥CD B.与夹角的余弦值为

C.AC⊥BD D.AB⊥CD二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.如图是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象，则以下说法正确的为（）A.-2是函数y=f（x）的极值点

B.函数y=f（x）在x=1处取最小值

C.函数y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零

D.函数y=f（x）在区间（-2，2）上单调递增10.直线l的方向向量为，两个平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（）A.若，则直线l⊥平面α

B.若，则平面α⊥平面β

C.若，则平面α，β所成锐二面角的大小为

D.若，则直线l与平面α所成角的大小为11.已知函数，则（）A.f（x）的递增区间为（-∞，e） B.f（x）极大值为

C.f（x）的极大值点为e D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量，，则=

.13.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，，则=

.

14.在空间直角坐标系中，平面α的一个法向量的坐标为（4，4，-7），直线l的一个方向向量的坐标为（8，-4，1），则直线l与平面α所成角的余弦值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=（x-2）ex.

（1）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间.16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F，G分别是BB1，D1B1，AB的中点.

（1）求证：EF⊥A1D；

（2）求证：EF∥面A1DG.17.(本小题15分)已知函数f(x)＝lnx+a(1-x)．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．18.(本小题17分)

已知函数f（x）=-x3+3x+1，x∈[-2，2].

（1）求f（x）的值域；

（2）讨论函数g（x）=f（x）-a的零点个数.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中，AB=1，AD=2AB，且∠ABC=60°，点E为PD的中点.

（1）证明：PB∥平面AEC.

（2）求点B到平面AEC的距离.

（3）求平面PBC与平面AEC所成锐二面角的余弦值.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】6

13.【答案】3

14.【答案】

15.【答案】解：（1）∵f（x）=（x-2）ex，∴f（0）=-2，

且f′（x）=（x-1）ex，∴f′（0）=-1，

∴函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x-2，即x+y+2=0．

（2）∵f（x）=（x-2）ex，f（x）的定义域为R，

∴由（1）得f′（x）=（x-1）ex．

令f′（x）=0，解得x=1，

∴当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，1）上单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

即函数f（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．

16.【答案】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E，F，G分别是BB1，D1B1，AB的中点，

以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系D-xyz，如图，

则A1（2，0，2），D（0，0，0），E（2，2，1），F（1，1，2），G（2，1，0），

则=（-1，-1，1），=（-2，0，-2），

∵=（-1）×（-2）+1×（-2）=0，

∴EF⊥A1D．

设面A1DG的法向量为=（x，y，z），

∵=（2，0，2），=（2，1，0），

则，令x=1，得=（1，-2，-1），

∵=（-1）×1+（-1）×（-2）+1×（-1）=0，

∴，∴EF⊥n，

又EF⊄面A1DG，∴EF∥面A1DG．

17.【答案】​解：（1）f′（x）=-a（x＞0）,

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，

当x∈时，f′（x）＜0，

所以f（x）在上单调递增，在单调递减．

（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值，

当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，

最大值为=ln+a

=-lna+a-1，

因此＞2a-2等价于lna+a-1＜0，

令g（a）=lna+a-1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0，

于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，

因此，a的取值范围是（0，1）．

18.【答案】[-1，3]；

当-1＜a＜3时，函数g（x）有3个零点，

当a=3，或