高考数学数列极限与解题技巧真题

高考数学数列极限与解题技巧真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/(2^n+1)，则该数列的极限为（）A.0B.1/2C.1D.不存在2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+1/n（n≥1），则lim(n→∞)b_n等于（）A.1B.eC.2D.33.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_n的表达式为（）A.3^nB.2•3^(n-1)C.3•2^(n-1)D.3^(n-1)4.数列{d_n}的递推关系为d_1=1，d_n=d_(n-1)+1/(n(n+1))（n≥2），则lim(n→∞)d_n等于（）A.1B.2C.1/2D.1+ln25.若数列{e_n}的通项公式为e_n=cos(nπ/4)/n，则该数列的极限为（）A.0B.1/4C.1/2D.不存在6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_(n-1)+1/(2^n)（n≥2），则lim(n→∞)f_n等于（）A.1B.2C.eD.1+ln27.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则g_n的表达式为（）A.2nB.n^2C.nD.2n+18.数列{h_n}的递推关系为h_1=1，h_n=h_(n-1)+1/(n^2)（n≥2），则lim(n→∞)h_n等于（）A.1B.π^2/6C.1+1/2D.1+ln29.若数列{i_n}的通项公式为i_n=ln(1+n)/n，则该数列的极限为（）A.0B.1C.eD.1/210.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n=j_(n-1)+1/(n(n+1))（n≥2），则lim(n→∞)j_n等于（）A.1B.2C.1/2D.1+ln2二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/(n+1)•sin(nπ/2)，则lim(n→∞)a_n=__________。12.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_(n-1)+1/(n^2)（n≥2），则b_4的值为__________。13.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则c_n的表达式为__________。14.数列{d_n}的递推关系为d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），则d_5的值为__________。15.若数列{e_n}的通项公式为e_n=cos(nπ/3)/n，则该数列的极限为__________。16.已知数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_(n-1)+2/(n(n+1))（n≥2），则f_3的值为__________。17.若数列{g_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则g_n的表达式为__________。18.数列{h_n}的递推关系为h_1=1，h_n=h_(n-1)+1/(n^3)（n≥2），则lim(n→∞)h_n=__________。19.若数列{i_n}的通项公式为i_n=ln(1+n)/n^2，则该数列的极限为__________。20.已知数列{j_n}满足j_1=2，j_n=j_(n-1)+1/(n^2)（n≥2），则j_4的值为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/(n+1)，则该数列的极限为0。22.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_(n-1)+1/n（n≥2），则该数列有极限且极限为1。23.若数列{c_n}的前n项和S_n=3^n，则c_n的表达式为3^n。24.数列{d_n}的递推关系为d_1=1，d_n=d_(n-1)+1/(n(n+1))（n≥2），则该数列的极限为2。25.若数列{e_n}的通项公式为e_n=cos(nπ/4)/n，则该数列的极限为1/4。26.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_(n-1)+1/(2^n)（n≥2），则该数列的极限为2。27.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则g_n的表达式为2n+1。28.数列{h_n}的递推关系为h_1=1，h_n=h_(n-1)+1/(n^2)（n≥2），则该数列的极限为π^2/6。29.若数列{i_n}的通项公式为i_n=ln(1+n)/n，则该数列的极限为1。30.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_n=j_(n-1)+1/(n(n+1))（n≥2），则该数列的极限为1+ln2。四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）31.求数列{a_n}的极限，其中a_n=1/(n+1)•sin(nπ/2)。32.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_(n-1)+1/(n^2)（n≥2），求证该数列有极限并求出极限值。33.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求c_n的表达式并判断该数列是否有极限。34.数列{d_n}的递推关系为d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），求d_n的通项公式并判断该数列是否有极限。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）35.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=1/(n+1)•sin(nπ/2)，求该数列的前10项并判断其极限。36.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_(n-1)+1/(n^2)（n≥2），求该数列的前5项并判断其极限。37.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，求c_n的表达式并计算前5项的值。38.数列{d_n}的递推关系为d_1=1，d_n=2d_(n-1)+1（n≥2），求d_n的通项公式并计算前5项的值。【标准答案及解析】一、单选题1.A解析：a_n=1/(2^n+1)→0（n→∞）。2.A解析：b_n=b_1+(1/1+1/2+…+1/n)→1（n→∞）。3.B解析：c_n=S_n-S_(n-1)=3^n-3^(n-1)=2•3^(n-1)。4.B解析：d_n=1+1/2+1/6+…+1/(n(n-1))→2（n→∞）。5.A解析：e_n=cos(nπ/4)/n→0（n→∞）。6.B解析：f_n=1+1/2+1/4+…+1/(2^(n-1))→2（n→∞）。7.A解析：g_n=S_n-S_(n-1)=2n+1-2(n-1)=2n。8.B解析：h_n=1+1/4+1/9+…+1/(n^2)→π^2/6（n→∞）。9.A解析：i_n=ln(1+n)/n→0（n→∞）。10.A解析：j_n=1+1/2+1/6+…+1/(n(n+1))→2（n→∞）。二、填空题11.0解析：a_n=1/(n+1)•sin(nπ/2)在奇数项为0，偶数项为1/(n+1)→0。12.5/6解析：b_2=b_1+1/1=2，b_3=b_2+1/4=17/12，b_4=b_3+1/9=5/6。13.2•3^(n-1)解析：c_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2•3^(n-1)。14.7解析：d_2=1+1=2，d_3=2+1/2=5/2，d_4=5/2+1/6=16/6，d_5=16/6+1/12=7。15.0解析：e_n=cos(nπ/3)/n→0（n→∞）。16.5/4解析：f_2=f_1+2/2=2，f_3=f_2+2/6=5/4。17.n解析：g_n=S_n-S_(n-1)=n(n+1)/2-n(n-1)/2=2n。18.1+1/6解析：h_n=1+1/4+1/9+…+1/(n^2)→1+1/6（n→∞）。19.0解析：i_n=ln(1+n)/n^2→0（n→∞）。20.15/16解析：j_2=j_1+1/4=9/4，j_3=j_2+1/9=82/36，j_4=j_3+1/16=15/16。三、判断题21.正确解析：a_n=1/(n+1)→0（n→∞）。22.正确解析：b_n=1+1/4+1/9+…+1/(n^2)→1（n→∞）。23.错误解析：c_n=S_n-S_(n-1)=3^n-3^(n-1)=2•3^(n-1)。24.错误解析：d_n=1+1/2+1/6+…+1/(n(n-1))→2（n→∞）。25.错误解析：e_n=cos(nπ/4)/n→0（n→∞）。26.正确解析：f_n=1+1/2+1/4+…+1/(2^(n-1))→2（n→∞）。27.错误解析：g_n=S_n-S_(n-1)=2n+1-2(n-1)=2n。28.错误解析：h_n=1+1/4+1/9+…+1/(n^2)→π^2/6（n→∞）。29.错误解析：i_n=ln(1+n)/n→0（n→∞）。30.错误解析：j_n=1+1/2+1/6+…+1/(n(n+1))→2（n→∞）。四、简答题31.解析：当n为奇数时，sin(nπ/2)=-1，a_n=-1/(n+1)→0；当n为偶数时，sin(nπ/2)=1，a_n=1/(n+1)→0。故lim(n→∞)a_n=0。32.解析：b_n-b_(n-1)=1/(n^2)≥0，数列单调递增。b_n≤1+1/4+1/9+…+1/n^2≤1+1/1+1/2+…+1/n=1+lnn，由夹逼定理，lim(n→∞)b_n=1。33.解析：c_n=S_n-S_(n-1)=2^n-2^(n-1)=2•3^(n-1)。c_n→+∞（n→∞），无极限。34.解析：d_n=2d_(n-1)+1⇒d_n+1=2(d_(n-1)+1)⇒d_n=2^n-1。d_n→+∞（n→∞），无极限。五、应用题35.解析：前10项：a_1=0，a_2=1/3，a_3=0，a_4=1/5，a_5=0，a_6=1/7，a_7=0，a_8=1/9，a_9=0，a_10=1/