初中数学教学的案例

初中数学优秀教学的案例

简易方程

教学目标

1.会解简易方程，并能用简易方程解简洁的应用题；

2.通过代数法解简易方程进一步培育学生的运算能力，进

展学生的应用意识；

3.通过解决问题的实践，激发学生的学习兴趣，培育学生

的钻研精神。

教学建议

一、教学重点、难点

重点：简易方程的解法；

难点：依据实际问题中的数量关系正确地列出方程并求解。

二、重点、难点分析

解简易方程的基本方法是：将方程两边同时加上（或减去）

同一个适当的数;将方程两边同时乘以（或除以）同一个适当的数。

最终求出问题的颦。

推断方程求解过程中两边加上（或减去）以及乘以（或除以）

的同一个数是否"适当'，关键是看运算的第一步能否使方程的

一边只含有带有未知数的那个数，第二步能否使方程的一边只

剩下未知数，即求出

结果。

列简易方程解应用题是以列代数式为基础的，关键是在弄

清晰题目语句中各种数量的意义及互相关系的基础上，选取适

当的未知数，然后把与数量有关的语句用代数式表示出来，最

终利用题中的相等关系列出方程并求解。

三、学问结构

导入方程的概念解简易方程利用简易方程解应用题。

四、教法建议

(1)在本节的导入部分，须使学生理解的是算术运算只对

已知数进行加、减、乘、除，而代数运算的优越性表达在未知

数获得与已知数平等的地位，即同样可以和已知数进行加、减、

乘、除运算。对于方程、方程的解、解方程的概念让学生了解

即可。

(2)解简易方程，要在学生主动参加的基础上，理解何种

形式的方程在求解过程中方程两边选择加上(或减去)同一个数,

以及何种形式的方程在求解过程中两边选择乘以(或除以)同一

个数。另一个重要的问题就是“适当的数'的选择了。通常，整

式方程并不需要检睑，但为了学生从一开始就养成自我检查的

好习惯，可以让学生在草稿纸上检验，同时也是对前面学过的

求代数式的值的复习。

(3)教材给出了三道应用题，其中例4是一道有关公式应

用的方程问题。列简易方程解应用题，关键在引导学生加深对

代数式的理解基耐上，仔细读懂题意，弄清晰题目中的关键语

句所包含的各种数量的意义及互相关系。恰当地设未知数，用

代数式表示数学语句，根据相

等关系正确的列出方程并求解。

(4)教学过程中，应充分发挥多媒体技术的辅助教学作用,

可以参考运用相关课件提高学生的学习兴趣，加深对列简易方

程解简洁的应用题的整个分析、解决问题过程的理解。此外，

通过应用投影仪、幻灯片可以提高课堂效率，有利于对学问点

的把握。

五、列简易方程解应用题

列简易方程解应用题的一般步骤

(1)弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母(如x)表

示题目中的一个未知数.

(2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.

(3)依据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程.

(4)解这个方程，求出未知数的值.

(5)写出答案(包括单位名称).

概括地说，列简易方程解应用题，一般有”设、列、解、

验、答，五个步骤，审题可在草稿纸上进行.其中关键是”列、

即列出符合题意的方程.难点是找等量关系.要想抓住关键、突

破难点，肯定要开动脑筋，勤于思索、努力提高自己分析问题

和解决问题的能力.

初中数学优秀教学的案例

教学目标

1.使学生初步把握一元一次方程解简洁应用题的方法和步

骤;并会列出一元一次方程解简洁的应用题；

2.培育学生观看能力，提高他们分析问题和解决问题的能

力；

3.使学生初步养成正确思索问题的良好习惯.

教学重点和难点

一元一次方程解简洁的应用题的方法和步骤.

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有

关学问，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?

若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解

应用题相比较，它有什么优越性呢？

为了回答上述这几个问题，我们夫看下面这个例题.

例1某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数.

（首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书）

解法1：（4+2H3-l）=3.

答：某数为3.

（其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成）

解法2：设某数为x,则有3x-2=x+4.

解之，得x=3.

答：某数为3.

纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思索，而

应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,

有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应

用题的目的之一.

我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一

个相等

关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从

中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程.

木节课，我们就通过实例来说明怎样查找一个相等的关系

和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.

二、师生共同分析、讨论一元一次方程解简洁应用题的方

法和步骤

例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42500

千克，这个仓库原来有多少面粉？

师生共同分析：

1.此题中给出的已知量和未知量各是什么？

2.已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?（原来重量-

运出重量=剩余重量）

3.若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克?

利用上述相等关系，如何布列方程？

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题

意，得

x-15%x=42500,

所以x=50000.

答：原来有50000千克面粉.

此时，让学生商量：此题的相等关系除了上述表达形式以

外，是否还有其他表达形式?若有，是什么？

（还有，原来重量=运出重量+剩余重量;原来重量-剩余重

量=运出

重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-

运出重量=剩余重量，，虽形式上不同，但实质是一样的，可以

任意选择其中的一个相等关系来列方程；

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应留意仿照.

根据例2的分析与解答过程，首先请同学们思索列一元一

次方程解应用题的方法和步骤;然后，实行提问的方式，进行

反馈;最终，依据学生总结的状况，教师总结如下：

⑴认真审题，透彻理解题意.即弄清已知量、未知量及其

互相关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；

(2)依据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关

系.(这是关键一步)；

(3)依据相等关系，正确列出方程.即所列的方程应满足两

边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同;题中条件应充

分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；

(4)求出所列方程的解；

(5)检验后明确地、完好地写出答案.这里要求的检验应是,

检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义.

例3(投影)初一2班第一小组同学去苹果园参与劳动，休

息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个;若每

人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了

多少个苹果？

（仿按例2的分析方法分析此题，如学生在某处感到困难,

教师

应做适当点拔.解答过程请一名学生板演，教师巡察，准

时纠正学生在书写此题时可能出现的各种错误.并严格规范书

写格式）

解：设第一小组有x个学生，依题意，得

3x+9=5x-（5-4）,

解这个方程：2x=10,

所以x=5.

其苹果数为3x5+9=24.

答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个.

学生板演后，引导学生探讨此题是否可有其他解法，并列

出方程.

（设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得）

三、课堂练习

1,买4木练习木与3支铅笔一共用了L24元，已知铅笔每

支0.12元，问练习本每本多少元?

2.我国城乡居民1988年末的储蓄存款到达3802亿元，比

1978年末的储蓄存款的18倍还多4亿元求1978年末的储蓄

存款.

3.某工厂女工人占全厂总人数的35%,男工比女工多252

人，求全厂总人数.

四、师生共同小结

首先，让学生回答如下问题：

1.本节课学习了哪些内容？

2.列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？

3.在运用上述方法和步骤时应留意什么？

根据学生的回答状况，教师总结如下：

(1)代数方法的基本步骤是：全面把握题意;恰当选择变数;

找出相等关系;布列方程求解;检验书写答案.其中第三步是关键;

(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆.

五、作业

1.买3千克苹果，付出10元，找回3角4分,问每千克苹

果多少钱？

2.用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16

厘米，那么长是多少厘米?

3.某厂去年10月份生产电视机2050台，这比前年10月

产量的2倍还多150台.这家工厂前年10月生产电视机多少台?

4.大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装

在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉.求每

个小箱子里装有洗衣粉多少千克？

5.把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二

等奖每人50元.求得到一等奖与二等奖的人数.

初中数学优秀教学的案例

教学案例，就是在教育教学过程中发生的真实而又典型的

事件，以及对此事件的剖析、反思与总结。

《数学课程标准》指出，数学课程”不仅要考虑数学自身

的特点，

一、设计折纸活动的背景。

”三角形的中位线”始终是各种版本的初中几何教材中的经

典内容，许多公开课都选了这个内容。但在大量的听课与教学

中，我们发觉，对三角形中位线性质的证明，是一个教学难点,

只有少数优秀学生能在课上独立完成，大多数学生在证明中面

临困难。如何有效地解决这个教学难点是我们课例讨论的出发

点。众所周知，月“操作“、“观看“、“猜测“、“分析”的手段去

感悟几何图形的性质是学习几何的重要方法。由此，我们想到

了从学生已有的勺活阅历、数学基础出发，重新设计”三角形

的中位线”的教学过程。让学生从讨论”折纸中的图形性质”探

究出三角形的中位线性质并加以说明。

一方面，折纸活动本身能唤起学生许多美妙的回忆，如折

纸飞机、纸帆船、千纸鹤、宝葫芦等。另一方面，折纸活动又

是一种有效的操作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图

形的几何性质，运用图形运动去发觉问题、分析问题。而且折

纸活动本身也承载着很多重要的几

何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培育学生

的学习

兴趣、好奇心与探究精神，有重要的价值。

二、教学目标。

1.在折纸的情境中，能综合运用角平分线、线段垂线的性

质及与三角形、四边形相关的一些性质和判定。

2.建立生活世界中的一些活动（剪纸与折纸游戏）与几何世

界的多种联系，激发学习几何的兴趣。

3.建立几何与现实生活问题的联系，培育数学的思索方式

（联想、类比、直觉思维）。

4.经受数学学习过程：观看一探究一猜测一验证，体会科

学发觉的一般规律。

三、教学过程。

1.创设情境。

师：同学们，你们做过折纸游戏吗？折纸飞机、纸船、纸

葫芦、纸鹤等都很好玩。我们在日常生活中接触最多的纸张是

长方形的，如把这样一张纸折起一个角，就得到了一个直角三

角形（教师演示），那么怎样用长方形的纸片折出等腰三角形呢?

请同学们折一下。

（学生联想以往的折纸方式折纸。）

2.提出问题。

（1）导入问题--把一个直角三角形折成长方形。

师：我们已经知道长方形纸片能折出直角三角形。如今考

虑反方向的问题，即直角三角形纸片能否折成长方形？

（学生以小组为单位，进行观看、尝试、商量折纸，探究

折法，

表达自己的发觉。）

师：（实物投影）我们展开纸片，画出折痕，并标上字母（如

图1）。回想折纸过程，你有什么发觉?（教师提示：留意图中线

段的位置与长度的关系，图中是否有等腰三角形？哪些三角形

全等?）

A

BGC

图1

生：（教师边归纳边板

书XDEF=GB=GC=BC/2.EG=AF=FC=AC/2.因此EFIIBC,

EGIIACo

②折痕将三角形ABC分成四个全等的直角三角形，两个

等腰三角形。

③连接EC,AE=BE=EC=AB/2,/A+NB=90。。

师：通过观看我们这张纸（图1）,大家知道了E是AB的

中点，并且得到三点发觉，其中第三点中的两条性质我们以前

证明过，今日我们用折纸的方法又一次进行了说明。请大家过

中点G、F作一条折痕，思索这条折痕GF与斜边AB有什么

关系？它能不能成为长方形的一边？

（2）一般问题-把一个任意三角形疔成长方形。

师：如今，我们考虑更一般的问题，即一般三角形的纸片

能否折成长方形?请同学们折一折。

（学生尝试用任意三角形折长方形教师巡察中指导：同

学们可以回想刚刚是怎样折的。活动进行得差不多时，学生在

投影仪上演示：用高线转化成两个直角三角形的折叠过程。）

师：我们打开纸片展平，画出全部折痕，并标上字母（如

图2）o从刚刚的折纸活动中，你发觉了这个图形中线段、角

和三角形之间存在哪些位置、样子、数量关系？请各小组的同

学商量一下，发表小组商量结果。

A

BGDHC

图2

（教师边归纳边板书学生商量的结果。）

①关于中点：AE=BE=AB/2,

AF=CF=AC/2.BG=DG=BD/2.CH=DH=CD/2;（2）斜边上中线：

DE二AB/2,DF=AC/2;③关于中位线：EF=BC/2,GE=AD/2o

FH=AD/2o

3.提出猜测。

师：你认为在什么条件下才能得到一条线段是另一条线段

的一半长?

学生发觉：①线段的中点;②直角三角形斜边上的中线;③

三角形两边的中点连线。

师：我们事实上是找到了NABC两条边上的中点E、F,

我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。如今

你们猜想一下这个中位线与第三边有什么样的关系？

（学生提出猜测：三角形的中位线平行于第三边，并且等

于它的一半。）

4.说明结论。

师：刚刚大家猜出了三角形中位线的性质，如今你是否能

验证这独特质并加以说明。

（学生折纸，用折纸比较各条边长及各个角的大小。）

师：小组内商量一下，如何验证?如何说明？（教师巡察中

指导：你的说明要让别人信任你是正确的。）哪位同学情愿来

这里（讲台）向大家说明!你们还有什么疑问提出来。

（学生互相说明与辩论。在实物投影仪上说明

①NA+NB+NO180。；②四边形EFHG是长方形。）

师：我们一起发觉了三角形中位线的性质：三角形的中位

线平行且等于第三边的一半，并通过折纸方法进行了验证与说

明，以后我们还要进一步证明与应用这独特质。

5.沟通体验。

师：这节课你知道了什么？学会了什么？有什么发觉？有什

么体会?还有什么问题与困惑？

生1:这节课使我知道了折纸中也有数学道理，感觉到生

活中到处有数学，今后要多观看，多思索。

何要多用这和方法。

师：同学们，我们在折纸操作中，通过观看，发觉关系，

形成猜测，并证明我们的猜测，得出结论。这是人们发觉新学

问的重要方法。

6.布置作业。

师：今日课后的作业是用正方形的纸片折叠图形，按工作

单进行操作与探究，从中发觉问题。

四、教学活动后教研

从上述过程可以看出，教学活动的过程经受了创设情境、

提出问题、提出猜测、说明结论、沟通体验与布置作业6个环

节。在随后的教研活动中教师们对如下几个问题进行商量，引

发了我们更多的思索。

1.关于活动式教学。

活动教学方式，主要强调学生从已有生活阅历出发、在动

手操作的活动过程中学习，进而完成对学问的主动建构。但是

数学探究活动的发生又不同于科学探究活动，具体实物材料的

摆布和操作（折纸活动）只是，，外在的活动二而实质性的数学探

究往往发生在学生的头脑里-教师的任务就是使学生经受”直

观一感性认识一理性思索”的活动过程，同时体验和感受数学

发觉过程（从猜测到说明/证明）的欣喜和挑战。而”折纸中的图

形性质”这一课例无疑关注了学生对过程性学问的学习并增添

了学生对数学学习过程的情感体验。布鲁纳也指出：”我们教

一门科目，并不是期望学生成为该科目的一个小型书库，而是

要他们参加获得学问的过程。学习是一种过程，而不是结果。

”②可见，

让学生在活动中“学会学习“本身比“学会什么”更重要。

2O关于问题情境的设计。

杜威的“教学五步”③反映了他“做中学”的教育思想，具体

地表达为教师在教学中要为学生预备一个应用阅历的真实情境

-与学生现实生活阅历相联系的情境;与此同时给予一些示意，

使学生有兴趣了解某个问题。本课例中”把三角形折成一个长

方形”是以折纸情境中产生的真实问题作为思维的刺激物，来

激发学生迈向几何性质的学习。教师不是把现成的教材提供给

学生，而是要学生参加到活动中去，启发与引导学生从自己的

生活阅历以及折纸活动中“自然”产生出方法（事实上是学生已

有生活阅历的有效运用），来应对折纸情境中所产生的问题、

考虑从前没有认识到的事物，使阅历有真正的增长，形成新性

质的阅历。而且在情境的实践活动中存在着大量的默会学问，

所以实施有效的活动式教学的关键在于处理好显性学问与默会

学问学习的四种关系一即言传、内化、外显、意会的有机整合;。

④并在此基础之上，有效地进行学问的传承与创新。⑤

3.关于培育学生数学地思维。

数学的特点之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的关系,

但它们都有特别多的现实背景。该课例在教学设计中关注了这

个特点，力图表达数学事实的现实背景，并从中选取与学生生

活世界亲密相关的情境，使学生思维的抽象过程犹如“自然”发

生。这样，学生感受到了鲜活的数学而不仅仅是它冰冷的秀丽。

数学的另一特点是严密性，表现为规律严格与计算精确，这种

严密过程正表达了人类认识的渐渐深

化。在课例中，我们也留意了学生的认知特点，在“直观

几何“到“证明几何”的严谨化过程之中做一过渡，进行几何说

明，即要求学生做到”让别人信服你是正确的”。以此启蒙证明

与反对的思维方式。同时，这反映了一个渐渐追求严谨的过

程。在课例设计的问题解决活动中，表达了一些数学家常

用的思想方法：（1）思索问题的逆（反方向）问题，以提出新问题

（如从”用常见的长方形纸折出三角形问题”到反过来的”用三角

形纸折长方形问题）⑵从一般问题的特例（直角三角形折为长

方形）人手，查找问题解决的思路;（3）把一个一般性问题（一般

三角形折为长方形）转化为解决过的问题（直角三角形折成长方

形）的转化与化归思想;（4）归纳与分类的思想（把折纸中发觉的

诸多关系归纳出来，并进行分类）;（5）从改变中查找不变性的思

想（折纸中改变的线段长度与长度的倍半关系）。

4.关于活动课过程的展开。

活动课中学生的数学活动如何展开？这取决于多种因素，

主要有教师特点、学生基础、内容水平、方法运用与情境引入,

等等。毫无疑问，学生的主动探究与尝试是活动课展开的核心,

这里教师如何引导是特别关键的。在设计教师的引导活动时，

我们经受了”验证学过定理（复习）还是发觉（数学）问题“，“以学

问结构组织