核心素养导向下乘与除大单元练习课：基于计数单位运算的深度建构教案

核心素养导向下乘与除大单元练习课：基于计数单位运算的深度建构教案

一、教学背景与课时定位分析

本教学设计针对北京师范大学出版社义务教育教科书数学三年级上册第四单元《乘与除》的单元练习课。本单元属于“数与代数”领域，是在学生熟练掌握表内乘除法、初步理解乘法意义的基础上，系统学习口算乘除法的关键阶段。教材编排了“小树有多少棵”（整十、整百数乘一位数）、“需要多少钱”（两位数乘一位数）、“丰收了”（整十、整百数除以一位数）、“植树”（两位数除以一位数）四部分核心内容，形成“乘法口算—除法口算—综合应用”的结构化链条。

【非常重要】本单元是小学阶段整数乘除法口算的奠基单元，其核心价值不仅在于计算技能的形成，更在于对“计数单位”这一大概念的深度建构。学生将通过本单元学习，首次系统感悟“整十、整百数乘除→表内乘法→计数单位运算”的转化思想，为后续学习多位数乘除法乃至小数乘除法奠定关键的思维基础。三年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的“关键期”，本练习课必须超越单纯的“熟能生巧”，走向“算理贯通、模型建构、素养生长”的高阶目标。

二、单元核心知识与认知图谱（应列尽罗）

为确保练习课具备完整的知识覆盖与精准的诊学起点，现将本单元所有知识要点、能力要求及典型错因完整罗列如下，本练习课的实施将全部覆盖以下内容并以重要等级与考频等级标注：

（一）整十、整百、整千数乘一位数【基础】【高频考点】

1.算理本质：将整十数看作几个十，整百数看作几个百，运用表内乘法计算有几个计数单位，再根据计数单位写出结果。

2.算法表述：先用0前面的数乘一位数，再看乘数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。

3.积的变化规律预渗透：一个乘数不变，另一个乘数扩大到原来的10倍、100倍，积也扩大到原来的10倍、100倍【重要】。

4.核心易错点：【难点】乘数末尾的0与积末尾的0混淆（如500×4=2000易误算为200）；表内乘法进位产生的0与末尾添0叠加时遗漏（如20×5=100易误算为10）。

（二）两位数乘一位数【核心】【高频考点】

1.算理本质：将两位数拆分成整十数和一位数，分别与一位数相乘，再将两次积相加。此即乘法分配律在口算中的朴素应用【非常重要】。

2.算法模型：□×△=（几十）×△+（几）×△。

3.表征工具：点子图（圈一圈）、表格法（资金记录表）、连加法【基础】。

4.核心易错点：【难点】十位上的积与个位上的积数位错位（如12×4，先算10×4=40，再算2×4=8，合为48，易误写为408或84）；进位口误（如16×5，先算10×5=50，6×5=30，合80，误算为70或90）。

（三）整十、整百、整千数除以一位数【基础】【高频考点】

1.算理本质：将被除数看作几个十、几个百，平均分成若干份，求每份是几个计数单位。

2.算法表述：先用0前面的数除以一位数，再看被除数末尾有几个0，就在商的末尾添上几个0【重要】。

3.乘除互逆关系：除法是乘法的逆运算，可通过想乘法算除法【核心】。

4.核心易错点：【难点】商的末尾0的个数确定（如400÷5，先算40÷5=8？实则应为40个十÷5=8个十=80，而非8）；被除数中间的0与末尾0混淆（如404÷4未涉及，但学生易负迁移）。

（四）两位数除以一位数【核心】【高频考点】【难点】

1.算理本质：将被除数分成一个整十数和一个一位数，分别除以除数，再将两次商相加【非常重要】。

2.算法模型：□÷△=（几十）÷△+（几）÷△。

3.特殊情形：被除数十位能被整除且个位是0（如60÷3）；被除数十位有余数与个位合并（如72÷3，此为本册后续学习，本单元仅涉及每一位都能直接整除的情形，如84÷4、96÷3等）【重要边界】。

4.核心易错点：【高频错点】商的数位写错（如84÷4，80÷4=20，4÷4=1，合21，误算为201）；拆分错误（如48÷4，拆成40÷4=10，8÷4=2，合12，误拆成4÷4=1，8÷4=2，合3）。

（五）综合应用与数量关系【核心素养】【热点】

1.倍数关系模型：求一个数是另一个数的几倍用除法；求一个数的几倍是多少用乘法。

2.归一问题雏形：已知总量和份数求每份量（除法），已知每份量和份数求总量（乘法）。

3.估算与数感：在具体情境中判断计算结果是否合理。

4.跨学科链接：与体育（跳绳数量、跑步圈数）、美术（剪纸分组）、科学（植物生长记录）等学科情境融合。

三、教学设计理念与创新范式

本练习课彻底摒弃传统练习课“刷题—对答案—讲错题”的机械模式，确立“动手+交流”双驱动、“算理+建模”双主线的高阶练习课范式【非常重要】。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与运算”主题的教学提示，本课将运算能力的培养置于“理解算理—寻求算法—灵活应用”的完整认知链条中。全课以“数学实验”为形式载体，以“计数单位的运算”为大概念锚点，通过四大进阶板块，实现从技能操练到素养生长的质变。

四、教学实施全过程（核心篇幅）

一、入课：单元知识图谱共建与核心困惑聚焦

（一）课前调动：学习期待唤醒

师生问好后，教师出示一幅“第四单元知识树”的半成品板书，树干上写有“乘与除”，但枝叶留白。教师引导：“经过四节课的学习，我们完成了第四单元的全部新课。今天这节课，我们要把这棵知识树变得枝繁叶茂。请同学们闭上眼回忆一下，这个单元你学到了哪些‘本领’？你心中还有哪些‘问号’？”学生闭眼静思10秒。

（二）组内分享：全员信息交换

四人小组采用“接龙发言法”，每人说一个自己学到的知识点且不能重复，组内指定一名记录员用便利贴记录本组仍未解决的困惑。教师巡视，特别关注学困生的发言状态，并收集具有典型性的问题贴于黑板一侧的“问题篮”区域。

（三）全班结构化梳理

教师邀请小组代表将知识点便利贴贴于黑板“知识树”对应分枝。教师通过追问将碎片化知识点上升为大观念：

“同学们提到了几十乘几、几百除以几，这些都是我们学过的。老师发现，无论是20×3，还是500×4，还是60÷2，大家在做的时候，心里其实都在想一句特别重要的‘数学悄悄话’——谁来猜猜这句悄悄话是什么？”

引导学生说出“把它们看成几个十、几个百”。教师顺势板书单元大概念锚图：

【计数单位】→（几个十、几个百、几个一）→【表内运算】→【还原计数单位】

【非常重要】此环节绝非简单复习导入，而是元认知监控的启动。通过暴露困惑（如“为什么48÷4我老想成12？”、“20×5的100到底是几个0”），精准定位本课练习的靶心。

二、实验探究板块一：算理复原·计数单位视角下的口算溯源

（一）核心任务发布

“数学实验手册”发布第一项实验任务：【口算实验室——拆解与还原】。任务要求：从以下6道题中任选2道，先用自己喜欢的方法算出得数，再用计数器画珠子或者用人民币画钱的方式，把计算的过程讲给同桌听。

实验题组（分层自选）：

A组（基础）：30×3=400×5=80÷2=

B组（挑战）：17×4=84÷4=12×6=

（二）具身操作与算理外显

学生动笔计算并画图。教师巡视中刻意寻找两种典型作品以备对比辨析。

典型作品1：计算84÷4。学生画了4个袋子，每个袋子里装了2张10元和1个1元硬币，即20元和1元，合21元。学生表述：“84元就是8张10元和4个1元，平均分给4个人，每人先分2张10元是20元，再分1个1元是1元，一共21元。”

典型作品2：计算84÷4。学生列式80÷4=20，4÷4=1，20+1=21。但追问“8”表示什么时，学生迟疑后答“8个十”。

（三）深度追问与模型建构【非常重要】

教师将两幅作品并列展示，聚焦核心问题：“为什么把84拆成80和4？80是怎么来的？它和8有什么关系？”

通过对比，学生深刻理解：所谓“两位数除以一位数”，本质上就是“几个十除以几”加上“几个一除以几”。这里的“80”并非数字80，而是“8个十”。教师进一步借助计数器动画演示：84的十位上有8颗珠子，个位4颗。除以4，就是把十位8颗珠子平均分到4个位上，每档得2颗（20），个位4颗平均分每档得1颗（1），合起来是21。

【难点突破】针对学生易混淆的“84÷4=201”的错误，教师故意呈现此错例并请学生当“小医生”诊断。学生指出：“201读作二百零一，是两百多，84除以4最多二十多，不可能两百多。说明把20和1挨着写是错的，不是20后面加个1，而是20加1等于21。”此环节通过反例辨析，将算理理解推向深刻。

（四）即时巩固与变式

完成实验手册“第一关”：根据圈一圈的结果填写算式拆分过程。

□×□=□+□=□□÷□=□÷□+□÷□=□+□=□

【基础】所有学生均须独立完成并组内互批。

三、实验探究板块二：结构化练习·两位数乘除的模型打通

（一）发现规律：乘除一家亲

教师出示一组结构化的对比算式，要求学生不计算，先观察每组内部的关系：

第一组：3×7=21第二组：63÷9=7

30×7=210630÷9=70

300×7=21006300÷9=700

学生独立完成后，教师追问：“观察每一组算式，你发现了什么秘密？为什么积或商会变得这么大？”

学生发现：在乘法中，一个乘数不变，另一个乘数扩大10倍、100倍，积也扩大10倍、100倍；在除法中，除数不变，被除数扩大10倍、100倍，商也扩大10倍、100倍。

【重要】教师顺势揭示“规律”背后的“道理”：因为计数单位变大了——3个一乘7得21个一；3个十乘7得21个十即210；3个百乘7得21个百即2100。计数单位变了，数字的“块头”就变了。

（二）创编挑战：我是命题人

教师发布核心任务：“既然我们发现了这个规律，你能照样子再写出一组这样的算式吗？不仅要写对，还要让你的同桌一眼就能看出你的规律。”

学生独立创编，组内交流。教师选取典型作品投影展示：

生1作品：4×6=24生2作品：80÷2=40

40×6=240800÷2=400

400×6=24008000÷2=4000

教师追问：“为什么生1选择写40×6和400×6，而另一位同学写的是800÷2？”引导学生发现：乘法规律是“一个乘数不变，另一个乘数变”；除法规律是“除数不变，被除数变”。虽然变化对象不同，但核心都是“计数单位的扩大带来结果计数单位的扩大”。

【热点】此环节将被动做题转化为主动命题，学生在编题中深化对运算规律的理解，从知识接受者进阶为规律发现者、题目设计者。

四、实验探究板块三：错例诊断·典型负迁移的暴露与化解

（一）真实的“数学日记”

教师呈现一份经过脱敏处理的本班学生撰写的“数学日记”片段（课前收集）：

“今天是爸爸的生日，爸爸的年龄是我的年龄的3倍，妈妈的年龄比我的年龄的2倍多10岁。我今年12岁，爸爸就是12×3=36岁，妈妈就是12×2=24，再加10等于34岁。可是妈妈怎么比爸爸小呢？我是不是算错了？我很苦恼。”

（二）问题诊断与集体思辨【难点】【高频考点】

教师将问题抛给学生：“这篇日记里藏着哪些数学信息？小作者真的算错了吗？如果没错，为什么妈妈会比爸爸小？这合理吗？”

学生迅速计算并讨论。有学生指出：“没算错！36和34，妈妈确实比爸爸小2岁，这很正常呀！”教师追问：“那小作者为什么苦恼？苦恼的根源可能不是计算，而是什么？”

学生顿悟：他不是不会算，而是觉得“妈妈应该和爸爸差不多大”，这是生活经验带来的困惑。教师顺势引导：“数学计算的结果是准确的，但我们要用数学的眼光去理解现实。有时现实就是这样，不一定要和猜想完全一样。”

（三）变式挑战：改编数学日记

教师要求学生改编这道题，使得“妈妈的年龄比爸爸大”。学生兴致高涨，纷纷改编条件：

“把‘我的年龄是12岁’改成‘我今年10岁’，爸爸30岁，妈妈2×10+10=30岁，一样大。”

“把‘我的年龄是12岁’改成‘我今年13岁’，爸爸39岁，妈妈36岁，还是小。”

“把倍数改一下，爸爸是4倍，妈妈是2倍多8岁……”

通过改编，学生不仅巩固了“几倍”与“几倍多几”的数量关系，更体会了数学建模中条件与结论的依存关系。此环节渗透了初步的不等式思想和函数思想，具有跨学段的前瞻价值。

五、实验探究板块四：真实情境·数量关系的建模应用

（一）情境链创设：“校园义卖会”筹备方案

本环节以项目化学习方式展开，以大任务驱动综合应用【非常重要】。

任务情境：学校下周五将举行“爱心义卖”活动。三（1）班负责筹备“数学益智玩具”摊位。班主任给了班长200元启动资金，需要购买以下商品（单价出示）：

魔方：每个12元九连环：每个15元华容道：每个8元

孔明锁：每个9元魔尺：每个6元

（二）阶梯性问题串

第一阶（基础应用，人人过关）：

（1）买5个魔方需要多少元？（12×5=60）

（2）用200元买8个九连环，够吗？（15×8=120，200-120=80，够）

（3）买4个华容道和3个孔明锁，一共多少元？（4×8=32，3×9=27，32+27=59）

第二阶（策略选择，思维进阶）：

班长提出一个要求：“每种玩具至少买2个，并且要正好花完200元。你能设计几种购买方案？看哪个小组的方案最多。”

【核心素养】此任务无唯一答案，需要学生综合运用两位数乘一位数口算、加减混合运算、试错调整策略。教师巡视中关注小组合作的有效性，适时提示可以用“列表法”有序思考。

第三阶（开放性探究，精英挑战）：

义卖时，班长决定将“魔方”和“魔尺”搭配成“益智大礼包”。一个大礼包里装2个魔方和3个魔尺，售价60元。请问：这个大礼包的定价比单独买便宜了多少元？

此题需要两步计算：先算单独买总价（12×2=24，6×3=18，合42元？不对，这是进价成本，定价60元比成本高，但问题是“比单独买便宜”——需要厘清比较对象）。经学生辨析，明确：比较的是“礼包售价”与“单独购买这些玩具的零售价”。题目中未直接给出零售价，但根据常识，零售价通常与单价相同。因此：单独买2魔方3魔尺需24+18=42元，礼包售价60元，并不便宜反而贵——这不合逻辑。学生立即发现情境中信息缺失或设定矛盾。

教师借机引导：“好的数学问题，条件必须是自洽的。如果你是命题人，你会怎么调整这个题目使得它合理？”学生提出修改建议：要么提高零售价（如魔方零卖15元，魔尺零卖10元），要么降低礼包价，要么调整礼包内容。

【热点】此环节将解题升维为命题评价，培养学生批判性思维与数学建模的严谨意识。

六、跨学科融合·文化浸润与素养提升（拓展模块）

（一）数学阅读：古代中国的“乘除捷法”

教师出示图文小资料：“我国东汉时期数学名著《九章算术》中已有‘以里数乘步数’的乘法记录。到了明朝，数学家程大位在《算法统宗》中系统介绍了‘留头乘’、‘归除法’等口算技巧。虽然那时没有计数器，但古人已经懂得把大数拆成‘十’、‘百’来算，和我们今天学的‘拆数法’异曲同工。”学生阅读后谈感受，体会我国古代劳动人民的智慧，增强文化自信。

（二）体育中的数据意识

呈现学校体质健康测试数据：三年级跳绳测试，1分钟跳绳。小明跳了86个，小华跳的个数是小明的2倍少20个。小华跳了多少个？（86×2=172，172-20=152）结合此情境，教师引导学生讨论：“为什么倍数是2倍却要‘减20’？生活中哪些情况会用‘几倍少几’来表达？”学生举例：“我的压岁钱是弟弟的3倍少50元”“这本书的页数是那本的2倍多30页”等。将数学语言与现实表达习惯打通。

七、学评一体·反思进阶与弹性作业

（一）课堂总结：二维评价雷达图

本课摒弃“你学会了什么”的泛化提问，引导学生从两个维度进行量化自评（每项1-5星）：

维度A（算理理解）：我能讲清楚“为什么可以拆开来乘/除”。

维度B（计算速度）：我能在1分钟内正确完成4道口算。

维度C（灵活应用）：我能根据情境选择合适的策略。

维度D（合作交流）：我在小组中认真倾听并表达了自己的想法。

学生绘制自己的“雷达图”，教师选取典型进行点评，重点关注“算理星”与“速度星”的匹配度，避免只重速度忽视算理的浅层学习。

（二）弹性作业包【分层设计】【非常重要】

A级作业（基础保障）：完成实验手册“基础闯关”板块，包含整十整百乘除、两位数乘一位数（不进位）、两位数除以一位数（各类型4道），要求正确率100%，若有错题需录制“小老师讲题”音频发班级群。

B级作业（方法优化）：寻找生活中可以用“拆数法”解决的乘除问题，编一道应用题并画图解释算理，图文结合。

C级作业（项目挑战）：以小组为单位，为班级“图书角”采购