全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷18

全国自考公共课线性代数(经管类)模

拟试卷18

一、单选题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

1、设A,B,A+B以及A」+B-1均为n阶可逆矩阵，()

A、A'UB'1

B、A(A+B)/B

C、(A+B)-1

D、A+B

标准答案：B

知识点解析：一一代入，可发现只有选项B满足条件.因(A」+B")[A(A+B)-

1B]=E(A4-B)_1B+B*1A(A+B)­,B=B*1B(A+B)_,B+B*1A(A+B)-1B=B-,(B+A)(A+B)1B

=B-,.B=E.

2、设A,B为同阶对称矩阵，则AB()

A、不一定是对称矩阵

B、一定是反对称矩阵

C、一定是非对称矩阵

D、一定是对称矩阵

标准答案：A

知识点解析：

取A-(:：),则A与B称为对称矩阵,而AB=(；J仍为对称矩阵；又取A=(：)).B

/0】\〜一/I2\

J.则人与B均为对称矩阵,而AB=Q会)不是对称矩阵.

3、n个未知量的齐次线性方程组Ax=O的系数矩阵A的秩为r,则方程组有非零解

的充要条件是()

A、r>n

B、r<n

C、r=n

D、r>n

标准答案：B

知识点解析：当时，Ax=O有n—仑1个自由未知量，因此有非零解；反之，

Ax=O有非零解，则Ax=O至少有一个自由未知量，因此n—仑1,所以n>r.

4、X],入2都是n阶矩阵A的特征值，外2,且xi与X2分别是对应于Q与上的

特征向量，当______时，x=k[X]+k2X2必是A的特征向量.（）

A、k#0且k2#0

B、B和而k2=0

C>k|=0且k2=0

D、k|.k2=0

标准答案：B

知识点解析：A的特征向量不能是零向量，所以k],k2不同时为零，所以C,D不

对；xi，X2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其

中一个方程的解.所以A的特征向量不是A选项.选项B,因为k2=0,ki/O,

x=kiX2仍然是A的特征向量.

5、已知A是n阶实对称阵且正交，则（）

2

A、A=In

B、A相似于k

C、A合同于In

D、A=In

标准答案：A

知识点解析：正交的对角矩阵不一定是单位矩阵（如一In），因此D不对.因为和单

位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵自己，因此B也不对，D也不对，比如一In是

正交实对称矩阵但和单位矩阵不同，于是应该选A,事实上由ATA=ln及A是对称

阵即得A2=k.

二、填空题（本题共10题，每题1.0分，共10分。）

6^设cq,«2»口3，%P均为4维列向量，A=(ai,。2，。3，a),B=(ai,ai,(13,

0),且|A|二2,|B|=3,则|A-3B|二.

标准答案：56

按最后一列

I-I

知识点解析：|A—3B|=|(一2囚，一2(X2，-2a3，a—3。)分解(一2四,

-2(X2,一2a3,a)|+|(-2a),一2a2,—2a3，~3p)|=-8|A|+24|B|=—

16+72=56.

a60

1一ba0=0.

7、设a,b为实数，则当a=且b=_____时__，一1°-1

标准答案：0,0

ab

-ha

知识点解析：将行列式或最后一列展开，得一10

（a2+b2）=0,得a=0,b=0.

8、若对任意的nxl矩阵x,均有Ax=0,则A=

标准答案：0

设A=(a“)・x..令x=(0•….1.…0),，

4

*，个Tilt

a\,'

an

则有Ax23.=0,得=。备==0.

*

知识点解析：QJe分别取i=l,2,

n,得aij=0(i=l,2,...»m；j=l,2,…，n),故A=0.

9、在n阶行列式D=Hj|中，当iVj时,ajj=0(i,j=L2,…，n),则

D=.

；标准答案:@]]@32…Hnn

知识点解析:该行列式为下三角形，故D=a"a22…ann・

10、设A为n阶矩阵，则存在两个不相等的n阶矩阵B,C,使AB二AC的充要条

件为Ax=0有非零解，则|A|=.

标准答案：0

知识点解析：考虑Ax=0有非零解，即|A|=0.设其一个解为x*,则2x*同样是它

的一个解，构造B,C,令x*与2x*分别为B与C的一个列向量，其余元素都取

0,于是有AB=AC=0,但B#C故所求答案即为|A|=0.

II、设A为4x4矩阵，B为5x5矩阵，且|A|二2,|B|=-2,贝力一

|A|B|=,|-|B|A|=.

标准答案:64,32

知识点解析：|一|A|B|二|一2B|=（一2）5|B|=（一2）6=26=64.|一

|B|A|=|2A|=24|A|=25=32.

01

A=020

0”,则(A+3E)”(A2—9E)=

12、设

-201

0-10

标准答案：।。。一2)

知识点解析：因A2-9E=(A+3E)(A一3E).故原式=(A+3F)”(A+3F)(A—3E)=A—

-201

0-10.

3E=I00—2,

4

A

13、设A为3x3矩阵，|A|二一2,把A按行分块为A=人.其中Aj(j=l,2,3)

Aa—2Ai

3A2=,

是A的第j行，则行列式4

标准答案：6

A-2AIIAiAi

r\+2门

3A?|■-3Az=_3A2=6.

知识点解析：4।E&

14、设n阶方阵A满足A?—A-2En=0,则A/=,(A-En)-'=

(A+2En)•

W-(A—Ew),4A・4(3E,—A)

标准答案：224

知识点解析：由A(A—En)=2En，得

A(》A-E.))=E・和(qA)(.E・)=E・，

故)一1.十(4一片・),64-a)7.弓4,

又A+2E”=AL

得G4+2E.)T=(•尸二+”-24+&)=十(3$-4).

15、设A,B均为n阶矩阵，|A|=2,出|二一3,则|2A*B“|=

标准答案：3

知识点解析：AA*=|A|E,即|A|.|A*|=|Ap|E"=2n.得|A*|二2n,而BB“二E,得|B4|二

3

⑻所以|2A*B"|=2n|A*|.|B,|=2n.2n".33

三、计算题(本题共7题,每题分，共7分。)

14-ai024

D=Qi1+。2与

的Q21+

16、计算行列式

10210203

11+010

标准答案:D-(l+ai+a2+a3)1at1+。3001

-(H-ai+a24-a3)

=l+ai+a2+a3.

知识点解析：暂无解析

11fl23

A=100=34

1-1143

17、设，求矩阵X使得AX=B.

标准答案:

11

由于100KO,故A可逆，则

-11

11112(100234100234

(A.B)10023411123T011-1-1-1

1-11431-11143.,0-11-11-1

100234)100234

011-1-1-1000-10

002-20-20010-1

’234

故X=4-ib-0-10

—10—1

知识点解析：窗无解析

TTT

18、设0=(0,k,1?)T可由川=(1+匕I,1),a2=(b1+k,1),a3=(l,1,l+k)

唯一地线性表出，求k满足的条件.

标准答案：设X[a]+X2a2+X3a3=(3,方程组的系数矩阵A=(ai,012，(13)为三阶方阵，

所以xiai+x2a2+x3a=3p有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A,0尸3,贝力A|翔，而

1+A11

11+为1

|A|=111+A=(k+3)k2^0,即厚一3且"0,所以当行・3口厚0时，p

能由ai，€12,唯一地线性表示.

知识点解析：暂无解析

19、已知二次型f(xi，X2，X3)=5x12+5X22+CX32—2x1X2+6x1X3―6x2x3的秩为2,求

参数C及此二次型对应矩阵的特征值.

5-13

A=-15—3

标准答案：此二次型对应矩阵为3-3C,因秩(A)=2,故

5-13

|A|=-15-3=4(6C-18)=0,得C=3.这时

3-3C

A-51-3

|AE-A|二12-53-A(A-4)(A-9),

-33A-3

故所求特征值为入尸0,

九2二4,九3=9.

知识点解析：暂无解析

X1+2X2—2x3=0

2xj-it4-Ax3=0

3g+V。的

解.⑴求入的值；(2)求|B|.1

标准答案：(1)对线性方程组的矩阵进行初等变换

112-2)(11-2

2-1A-*0-5A4-4

(31-1J10-55J,因为非零矩阵B的每•一个列向量都是方程组的

12-2

0-5A4-4

解，所以°-55=55=0,所以入=1,方程组系数矩阵的秩为2.(2)因

为方程组系数矩阵的秩为2,所以方程组的基础解系只有1个解向量，3个解向量

必线性相关,而B的列向量都是方程组的解向量，所以B的列向量组线性相关,

所以|B|=0.

知识点解析:暂无解析

00

A—010

021

21、设求A的特征值及其对应的特征向量.

标准答案：矩阵A的特征多项式为

0

IAE-A|=0A-10(A-1)3=0,

0-2A-1