全国自学考试线性代数2024至2024真题和答案

全国2024年7月自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：本卷中，表示矩阵A的转置，表示向量a的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A

的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，清将其代码填写在题后

的括号内.错选、多选或未选均无分.

1.设A为三阶矩阵，且|A-"=3,则|-3A|()

A.-9B-1C.1D.9

2.设A=[%,%，%]，其中。《=1,2,3)是三维列向量，若|A|=1,

贝ji|[4%,2a「3%,aj|=()

A.-24B.-12C.12D.24

3.设A、B均为方阵，则下列结论中正确的是()

A.若|AB|=0,则A=0或B=0B.若|AB|=0,则|A|=0或|5|=0

C.若AB=0,贝ijA=0或B=0D.若AB=0,则|A|#0或|8卜/0

4.设A、b为〃阶可逆阵，则卜列等式成立的是()

A.(AB)l=AlB'B.(A+B)T=A"+BT

仁|皿|=向D.|(A+B)-,|=|A-,|+|B'，I

5.设A为，〃X”矩阵，且mV〃，则齐次方程AX=O必（）

A.无解B.只有唯一解C.有无穷解D.不能确定

123"

6•没A=；；

，则r(A)=()

003_

A.1B.2C.3D.4

7.若A为正交矩阵，则下列矩阵中下逑正交阵的是（）

A.A-1B.2A*C.A2D.Ar

8.设三阶矩阵A有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为耳、1、&，令「=芭3,却，2品］，则

PlAP=()

一200-200"000--200"

A.010B.000C.010D.000

000_001004.002

9.设A、B为同阶方阵，且NA）=r（B）,则（）

A.A与B等阶84与3合同C.|A|=|B|D.A与B相似

10.实二次型f（jct,x2,鼻）=与十2后-2%1Z2+与，则/是（)

A.负定B.正定C.半正定D.不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11.设A、b均为三阶方阵，m|=4,|8|=5,则|245|=.

'1211[120-

12.设A=,B=，贝ijA『B=

31Oj[101.

ri2o〕

13.设A=010贝ijA",=

1002J

14.若A=

15.设5=，则由a{ta2ia3所生成的线性空间L（4,%，%）的维数

是

16.设A为三阶方阵，其特征值分别为1,2,3.贝”Ai-E|=.

-1][1

17.设a=1.p=2，且a与P正交，则2=

1][t

18.方程Xi+x2—x3=1的通解是

19.二次型/（©,亚，曲，）=Rg+x2x3+x3x44-5x4所对应的对称矩阵是

20.若A=010是正交矩阵，则*=.

；0N

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1112

11o1

21•计算行列式[0[「

2111

■01oiri-r

22.设4=-111,B=20，且X满足X=AX+B,求X.

--10-1J15-3

Xx+12=5

23.求线性方程组《2乃+4+4+214=1的通解.

5xI+3x2十2x3+2x4=3

24.求向量组组=(2,4,2),%=(1,1,0),4=(2,30),%=(3・5,2)的一个极大线性无关组,

并把其余向量用该极大线性无关组表示.

12-11

25•设八=32A-1,已知r(A)=2,求入”的值.

563t

3-20

26.已知A=-260,求可逆阵P使P-AP为对角阵.

.003,

四、证明题(本大题共1小题，6分)

27.设是四维向量，且线性无关，证明仇=4+%,良=。2+/，乩=4+8，

仇=4+外线性相关,

2U12年7月高等教育自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、a项透播箱（本大H共10小BLU小182分，共20分）

2.H3.B4.C

7.B8.B9.A10.B

二、地空题（本大题共10小JH,每小器2分，共20分）

1-20

010

。。|

i.k,为任意实效）

三、计算题（本大题共6小超,侮小H9分.共54分）

5SS

1I2

21.解：原式力+〃+〃+「・

-I2

2I

22.M.VX-AX-B

«<E-A>X-B

r.x-<E-A>-B

xi-

X»为门由未知fitJ*?rq+13

-8

4”•其中c为任老常数

0

02

2

0

一

0

.

2

o

一

&。。。」［0。

・••s・a始一个极大无关纨

Mo.-yoi+ai

a<=o)+n,

Br<4>-2

3-X-2

26.M.IA-XEI--26-)0

003-A

-(3-XX2-XX7X)

.,.X,-2,X：3.X,-7

*—2才严0

当人一2时仃特征方程

工，・0

••・布特征向献Pi

A«3h*■0

当入=7时

0

201

令P・Oi.p：，PJ]=I0-2

200

则P'AP-030

1007J

四、金明J»（本大H共1小盘，6分）

100

27.证：Cp«，B：,♦p«1=[oil»a：,a>*a]■「S.a：.a>.<14]C

0110

011

WICI-

・•小，的,>・a段性相关

全国2024年10月自考《线性代数（经管类）》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，4表示方阵4的逆矩阵，r（4表示矩阵4的秩，||aII表

示向量a的长度，/表示向量a的转置，£表示单位矩阵，表示方

阵力的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代

码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

2.设矩阵4乃为同阶方阵，且A可逆，若A（六庾二E,则矩阵（）

A.a⑷B.E-A

C.E^AD.E-Ax

3.设矩阵4月均为可逆方阵,则以下结论正确的是（）

A.（A1可逆，且其逆为f।j不行逆

c,广j可逆'且其逆为"1D.「］可逆，且其逆为「

J（刈IB'）

4.设ai,。2,…，a"是力维列向量,则a”a2，…，a★线性无关的充

分必要条件是

()

A.向量组a”a2,…，―中随意两个向量线性无关

B.存在一组不全为0的数Z,h,…,1k,使得La"2a」+・・・+/mW0

C.向量组a1，a2,…，aA中存在一个向量不能由其余向量线性表示

D.向量组口，…，a*中随意一个向量都不能由其余向量线性表示

5.已知向量2«+4ALT-Z-DLM+ZptaT.TOU/lJa+S：()

A.(0,-2,-1,1),B.(-2.0,-1,1)T

C.(1,-1,-2,0)rD.(2,-6,-5,-1)r

6.实数向量空间昨｛(x,y,z)|3户2尸■ShO｝的维数是()

A.1B.2

C.3D.4

7.设a是非齐次线性方程组4-8的解，夕是其导出组Z尸0的解，则以下

结论正确的是

()

A.a+尸是4Y=0的解B.a+夕是力产力的解

C.6-a是力产力的解D.a一夕是4产0的解

8.设三阶方阵Z的特征值分别为，」,3,则*的特征值为()

24

II1

c

iB.---

Ac.24,3

1

2-D.2,4,3

9.设矩阵左2,则及矩阵4相像的矩阵是()

-1

1-101

A.-12B.10

32

-2

C.1D.-2

1

10.以下关于正定矩阵叙述正确的是()

A.正定矩阵的乘积肯定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式肯定小于零

C.正定矩阵的行列式肯定大于零D.正定矩阵的差肯定是正定矩阵

二、填空题(本大题共10小题，每空2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11.设det(⑷=T,det(⑻=2,且儿人为同阶方阵，则det

((3.

12-2

12.设3阶矩阵左4/3,6为3阶非零矩|佐，且止0,则仁.

3-11

13.设方阵Z满意4二£这里力为正整数，则矩阵4的逆4』.

14.实向量空间〃的维数是.

15.设4是mX〃矩阵,z(4)=r,则4k0的基础解系中含解向量的个数为

16.非齐次线性方程组力外方有解的充分必要条件是.

17.设a是齐次线性方程组30的解，而《是非齐次线性方程组4斤6的

解，则A(3+2£)=.

18.设方阵4有一个特征值为8,则det(-8F+A)=.

19.设P为刀阶正交矩阵,x是〃维单位长的列向量，则||&||=.

*2**5

20.二次型f(x},x2,)=X]+5^2+6.r,+4XR-2内项-2.&的正惯性指数是

*

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

11-12

21.计算行列式：[::•

24-61

1242

2

22.设矩阵左3,且矩阵8满意叔।=4/十班'，求矩阵A

5

23.设向量组《=(3,1,2,0),%=(0,7,1,3),a,=(-1,2,0,1),4=(6,9,4,3),求其一个极大

线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.

-143

24.设三阶矩阵在-253,求矩阵力的特征值和特征向量.

2-4-2

25.求下列齐次线性方程组的通解.

Xj+-5x4=0

,2x）+x2-3X4=0

内+x2-x3+2X4=0

2-24-20

26.求矩阵4二;；:；；的秩.

1-1210

四、证明题（本大题共1小题，6分）

41a\243

27.设三阶矩阵左%的心的行列式不等于0,证明:

“31。3263

4、

如线性无关.

6

全国2024年10月自考《线性代数（经管类）》答案

一、单项选择题（本大欢共10小题，每小题2分，共20分）

1.D2.A3.D4.D5.A

6.B7.B8.A9.B10.C

二、填空题（本大俄共10小题，每小题2分，共20分）

11.-812.-313.A4114.n15.n-

16.r(A,d)=sr(A)17.2b18.019.1

20.3

三、计算翘（本大18共6小题，每小即9分，共54分）

11-1211-12

00-530150

21.解：原行列式=N-

02-4-302-4-3

015000-53

11-12112-1112-1

015001050105

«J

00-14-300-3-100-3-14

00-53003-5000-19

=57-

22.解：由条件人BA'4AT+BA",得

(A-E)BA-,=4Al

从而(A・E)HH4E

']*1

故"=4(4E>T=42

4

fl

1P

=42=2・

11

，=%+2%—3%,

24.解：矩阵A的特征多项式为：

1+1-4-3

|AE-A|=2A-5-3=A(A-1)2

・24A4-2

故A的特征值为：A=O,%=A=1,

对于A=0,求解齐次线性方程组(O"A)x=O

n

得一个基础解系为:-=1，故属于A=o的全部特征向量为:

.-1.

1HO)

.-1.

对特征值4=入=1,考虑齐次线性方程级UBA)x=0

求解得，其一个基础解系为:

故属于特征值％=A=1的全部特征向量为

y

22a1+Z30，其中右4不全为0

.0.2.

25.解:对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换得

由于r(A)=2V4,基础解系含2个自由未知量.

(X|="xj4-5X

原方程组等价于｛4为自由未知珏.

(Xj=2xj-7j：4

10)

，得方程组的一个基础解系为

0

b1

故原方程组的通解为:

4=6%+口%=C，q为任意常数.

26.解:对A施行初等行变换将其化成阶梯形

由于A的非0行数为3.

故A的帙为3...........................................................................................（9分）

四、证明题（本大题共1小短，6分）

27.证明：设有一组数比，扁，儿，使瓦叫+友：四十月4=0.......................................（2分）

亦即是Ax-0的解.（4分）

注意到Ax。只有零解，因为A的秩等于3=未知量的个数.

故儿■后-4・。.从而见，叫，，线性无关..............(6分)

全国2024年10月高等教化自学考试线性代数（经管类）试题课程代玛:

04184

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题1分，共5分）

bib]+Ci

1.设行列式“=1,"。=-2,则“=()

a2b2a2c2a2b2+c2

A.一3B.-1C.1D.3

100

2,设矩阵小g。,则人（）

o0rq00、q0O,<003、

A.020B.020C.020D.020

<300Z<003,X001;J0

3.设4为0X〃矩阵，4的秩为八则（）

A.尸加时，4r=0必有非零解B.尸〃时，4炉0必有非零解

C.”力时，缶0必有非零解D.r<nflj,4不0必有非零解

4.设4阶矩阵Z的元素均为3,则rG4）=（）

A.1B.2C.3D.4

5.设1为3阶实对称矩阵A的2重特征值，则A的属于1的线性无关的

特征向量个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

6.设4为2阶矩阵，将4的第1行加到第2行得到无若庐;;：），则

A=.

7.设Z为3阶矩阵，且|4|二2,则|24=.

8.若向量组4=（2』,4,％=（444）\线性无关,则数a的取值必满意

9.设向量a=(l,0,l)T/=(3,5』)T,贝I]#—2a=

21S

10.设#=2，斤外，若非齐次线性方程组2斤8有解，则增广矩阵

彳的行列式同二

11.齐次线性方程组乂+抵+斤0的基础解系中所含解向量的个数为

12.设向量。=（3,~4）、则0的长度国一

⑶已知-2是矩阵理力的特征值，则数尸----------

（\22）（-\00、

14.己知矩阵作212及对角矩阵介0-10相像，则数

U10

2

<20aZ

15.已知二次型/（%七,占）=%；+¥+思正定，则实数t的取值范围是

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

a-b-c2a2a

16.计算行列式次2bb-a-clb.

2c2cc-a-b

17.已知向量a=（l,2，4），夕=（1。：）,且加=3jl=a7,求

（1）数4的值；（2）A\

（23）

18.已知矩阵左231,后;二二，求矩阵/使得M二区

19.求向量组1=(1,0,2,0)「,%=(-1,-1,-2,01g=(-3,4,Tl)「,4=(-6,14.13)1的秩

和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关

组线性表出.

「2、3

20.己知齐次线性方程组4尸0的一个基础解系为当=1&=0求！1（4）

及该齐次线性方程组.

21.设向量组《=（1,-1,-1』）『,七=（1』,0,0）14=（1,-1,2,0），.求一个非零向量田,

使得a4及1，4均正交.

22.用配方法化二次型/（%,//3）=24-2芯-4中3+8认为标准形，并写出所

用的可逆性变换.

四、证明题（本题7分）

23.设Z是/〃X〃矩阵，证明齐次线性方程组4尸0及/加0同解.

全国2024年10月线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题1分，共5分）

1-5BBDAC

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7.168.a=29.(1,5,-1)T10.011.212.513.-4

14.515.（0,-KC）

二、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

16解

11II11

原式:(a+b+c)2bb-a-c2b=(a+/?+c)O-b-c0=Ca+b+c)i.

2c2cc-a-b00-a-b-c

17.解：(1)因为段=1+1+夫=3,则4=3.

(\%%、

(2)J，o=(a'y?),0=39a(^=392(1,%,%)=3“21%

3、3%1

。2312、’12312、"2312、

T1

18.解:(A,B)=23400T0-1-2-2-4->0-1-2-2-4

、310-1O,0-5-9-4-6,J)01614,

'38

3-106、

则xT=-1()-24，故*=

8-2414,

、614

19.解

rl-1-3-6、'1-1-3-6、‘1-1-3-6、

0-14140-141401-4-14

(<X|,a2，a3»a4)=—»—>

2-2-4-600260013

J)013>、O013>、O000,

"1-103'1001、

010-2010-2

00130013

k00O0、000O,

向量组的秩为3,一个极大线性无关组为内,a2，%，且

oc4=ci|—2O.2+3a3.

20.解:易知/7=3,且“一/(A)=2,则r(,4)=l

又自由未知量为9，%3，则Ar=0同解方程组为％=-2电+3.q,即

玉+2X2-3/=0为所求方程组.

21.解：设=(司,刀2，孙々)，由于。4及011,0.2，。3均正交，则

内-x2-xy+x4=0

x1+x2=0系数矩阵

再一公+2X3=0

'1-1-11]1-1-11、

A=1100021-1

(1-120

J0、03-1>

1-1-11"1-1。至I0。r

11

—>012~2—>010-5—01°4

11

001~3)004;001

M=一/4

同解方程组为,X2=i%4，工4为自由未知量

一个基础解系为(TJL3)T,即

2

22.解：配方法得f(xt,x2,刀3)=2(为-电)2-2(*2-2X3)+6^3»

%=玉一与♦o-r‘西、

令.乃二工2-2与即可逆线性变换为乃=01-2

）3=电<00I,

2

故标准行为/（J1,乃,乃）=2M-2y2+6^3-

四、证明题（本题7分）

23.证明：

设组=0,则“&=0,即g是Ar=0的解.

若A，A7=0,贝ijz;/A7AT/=(A^yA〃=0,

令A77=(4,/《)7，则(A")，々7=a；+a；+…+*=0,

故q=0«=1,2,・・・〃),即477=0,"是Ar=0的解.

综上可知，4=0和”小=0同解.

2024年10月高等教化自学考试全国统一命题考试

04184线性代数（经管类）试卷

本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，A「表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵,

E是单位矩阵，同表示方阵A的行列式，儿4）表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代

码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

%aI?阳

1.设3阶行列式的心g=2,若元素%的代数余子公式为&

(i,j=l,2,3),则仆+仆+小二

A.-lB.OC.1D.2

2.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以-1得到单位矩阵E,

2

则同二【J

A.-2B.--C.-D.2

22

3.设向量组％,%，%的秩为2,则中【]

A.必有一个零向量

B.B.随意两个向量都线性无关

C.存在一个向量可由其余向量线性表出

D.每个向量均可由其余向量线性表出

」-33、

4.设3阶矩阵A=3-53，则下列向量中是A的属于特征值-2的特征向

、6-6

量为]

’1、0、

A.-1B.0C.0D.1

J>a2

5.二次型/区,马凹）+X；+后+为看的正惯性指数为【

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、

6.设/(幻=§[，则方程/(幻=0的根是

7.设矩阵4=u，则4=

12Oj

8.设A为3阶矩阵，|,4|=-1则行列式|(2A)r二

9.设矩阵8=：；,P=':，若矩阵A满意幺=8,则A=______________

(34)(02,

10.设向量%=(-1,4)7,a2=(1,2)1%=(4,2)7,则%由%,%线性表出

的表示式为____________________________________________

11.设向量组％=(3,1,1)。%=(4,1,0)。%=(1,0用『线性相关,

则数y__________________

*

12.3元齐次线性方程组〜+/=?的基础解系中所含解向量的个数

[x2-x3=0

为______________

13.设3阶矩阵A满意|3七+24|=0,则A必有一个特征值为

14.设2阶实对称矩阵A的特征值分别为-1和1,则4=

15.设二次型f(xiyx2)=txf+2%%2正定，

则实数r的取值范围是

三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)

3100

310

16.计算4阶行列式的值。

I31

0013

2

aap

17.已知矩阵A="1°

求川。

a100

J000,

(\-1

18.设矩阵/4=110，且矩阵X：荫意AX+E=+X,求X。

101

1,

19.设向量

%=（1,1,1」）。%=（121,1）。%=伏+U,鼠2+DO夕=伏2+UJJ）"试确定当女

取何值时P能由线性表出，并写出表示式。

+x+x+x=0

20.求线性方程组卜2+22.+y2匕4=1的通解（要求用其一个特解和导出

x}+2X2+3X3+3X4=1

组的基础解系表示）。

(\-11、00、

21.设矩阵4=13-1及对角矩阵8=020相像，求数X及可逆矩

[X10

阵P，使得尸弘。=8。

22.用正交变换将二次型/（巧,工2，工3）=6+2H2后+2演.化为标准形，写出

标准形和所作的正交变换。

四、证明题（本题7分）

23.设向量组四,4,%线性相关，且其中随意两个向量都线性无关。证明:

存在全不为零的常数匕也,期使得占％+%2a2+自出=°。

2024年10月高等教化自学考试全国统一命题考试

线性代数（经管类）试题答案及评分参考

（课程代码04184）

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

1.D2.A3.C4.B

5.C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

6.5

(12、

一2

12

10.=-ax+34

11.-1

12.1

13.-2

2

14.E

15.0</<l

三、计算题（木大题共7小题，每小题9分，共63分）

16僻

31001310

13103100

D=..........3

01310131

00130013

分

1310

0131

=-=55..........9

0013

000-55

分

’4。a2a1100o'r10000001

a2a\00100a\000010

17.解->..........2

tz1000010a~aI00100

2

J0000001,Uaa]1000

分

"0000001、

—010()001-a

00100170

,00011-a0°，

..7分

从而

‘0001

A-一0°I.'

01-tz0

J-a00

....9分

18.解由AX+E=Ay+X得

(A—E)X=T—E..........2分

(\-1n(\00\(0-1P

又由A-E=1I0-010=100可

1J10

、°101J1010,

逆5分

由(A—E)X=4一七，可得(A—£)x=(A—E)(*+A+E)

两边左乘（A-七广，得到

0-12、1-1P100W2-23、

X=A2-^-A+E=201+110+010=321

01133,

12L0U1°

..9分

19解设

Xi%+x2a2+=P,

-2分

该线性方程组的增广矩阵为

G1k+]k-+r’11k+\/?+1

-121i01-k-k2

A=一

11ki00-1-k2

U1k+1i,<000-k-

6分

由于夕能有%,%，出线性表出.则必有r(A)，・⑷=3

此时左=0,方程组有唯一解内=1,看=巧=。

表示