新乡学院材料力学课件第2章 轴向拉伸与压缩

第2章轴向拉伸与压缩§2–1引言§2–2用截面法计算拉(压)杆的内力§2–3拉压杆的强度条件§2-4拉压杆的变形胡克定律§2-5材料拉伸和压缩时的力学性能§2-6温度和时间对材料力学性能的影响§2-7拉伸、压缩超静定问题本章主要内容§2–1引言轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。一、概念轴向拉压的变形特点：轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的外力称为压力。轴向拉伸，对应的外力称为拉力。力学模型如图二、工程实例一、内力

指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。§2–2用截面法计算拉(压)杆的内力二、截面法·轴力

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：①截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。②代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）2.轴力——轴向拉压杆的内力，用N表示。例如：截面法求N。

APP简图APPPAN截开：代替：平衡：①反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；②反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。三、轴力图—N(x)的图象表示。3.轴力的正负规定:

N与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N>0NNN<0NNNxP+意义[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、

P

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN1同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：

N2=–3P

N3=5PN4=P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的P

，轴力N增量为正；遇到向右的P

，轴力N增量为负。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力N(x)为：qq

LxO[例2]图示杆长为L，受分布力q=kx

作用，方向如图，试画出杆的轴力图。Lq(x)Nxxq(x)NxO–四、应力的概念问题提出：PPPP1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

P

AM①平均应力(

A上平均内力集度)②全应力（总应力）：(M点内力集度)2.应力的表示：③全应力分解为：p

M

垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“剪应力”(ShearStress)。

应力单位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。（直杆在轴向拉压时）

abcd受载变形后：各纵向纤维变形相同。PPd´a´c´b´五、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。2.拉伸应力：sNP轴力引起的正应力——

：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：拉正压负.5.应力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突变处，应力急剧变大。

4.Saint-Venant原理：离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。变形示意图：(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)应力分布示意图：二、安全系数n：静载:n=1.25~2.5一、极限应力sjx：指材料破坏时的应力.三、许用应力：

动载:n=2~3.5or3~9(危险性大)杆件能安全工作的应力最大值

采用安全系数原因:1.极限应力的差异. 2.横截面尺寸的差异. 3.载荷估计不准. 4.应力计算的近似性. 5.构件与工程的重要性. 6.减轻设备自重的要求.n↑安全↔

n↓经济

§2–3拉（压）杆的强度条件其中

max--（危险点的）最大工作应力②设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：①校核强度：③确定许可载荷：

四、强度条件(拉压杆)：

五、三类强度问题：

[例3]已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：N=P

=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。[例4]已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[

]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m①整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mq4.2mRARBHA③应力：④强度校核与结论：

此杆满足强度要求，是安全的。②局部平衡求轴力：

qRAHARCHCN[例5]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使

BD杆最轻，角

应为何值？

已知BD

杆的许用应力为[

]。分析：xLhqPABCD

BD杆面积A：解：

BD杆内力N(q)：取AC为研究对象，如图YAXAqNBxLPABCBD杆轴力最大值:YAXAqNBxLPABC③求VBD

的最小值：拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。PPkka①采用截面法切开,左部平衡由平衡方程：Pa=P则：Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：其中s0为a=0面,即横截面上的正应力.PkkaPa②仿照证明横截面上正应力均布也可证斜截面……PPkka斜截面上全应力：PkkaPa③pa分解为：pa=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当

=90时，当

=0,90时，当

=0时，(横截面上存在最大正应力)当

=±45时，(45°斜截面上剪应力达到最大)tasaa2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质—a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。3、拉压杆内一点M

的应力单元体:

1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：

sPMssss取分离体如图3，a逆时针为正；ta绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：4、拉压杆斜截面上的应力ssss

tasaxs0图3例6直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：

例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为[

]=100MPa；许用剪应力为[

]=50MPa，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm²，试问:为使杆承受最大拉力,

角值应为多大?(规定:

在0~60度之间)。联立(1)、(2)得：PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由正应力控制杆的强度，B点右侧由剪应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得解(1)、(2)曲线交点处：讨论：若Pa6030B1

1、杆的纵向总变形：

3、纵向线应变：

2、线应变：单位长度的变形量。一、拉压杆的变形及应变§2－4拉压杆的变形胡克定律abcdLPPd´a´c´b´L15、横向线应变：4、杆的横向变形：二、胡克定律(弹性范围内)

※“EA”称为杆的抗拉压刚度。

3、泊松比（或横向变形系数）

1、拉压杆的胡克定律

2、单向应力状态下的胡克定律E—拉压弹性模量

C'1、怎样画小变形放大图？

变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量△Li

，如图；

变形图近似画法，图中弧之切线。例8小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2PC"2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L2B'解：变形图如图2，B点位移至B'点，由图知：例9设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为

76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设

P=20kN，试求刚索的应力和

C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。解：方法1：小变形放大图法

1）求钢索内力：以ABCD为对象2)钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左图,C点的垂直位移为：§2－5材料拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；

2、试验对象：标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下,在强度与变形方面表现出的特性。3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。二、低碳钢试件的拉伸图(P--

L图)三、低碳钢试件的应力--应变曲线(

--

图)(二)低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段(es

段)

es--屈服段:

s---屈服极限滑移线：塑性材料的失效应力:

s

。２、卸载定律：１、

ｂ---强度极限３、冷作硬化：４、冷拉时效：(三)、低碳钢拉伸的强化阶段(ｓｂ

段)

1、延伸率:

2、截面收缩率：

3、脆性、塑性及相对性(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段(bf段)

四、无明显屈服现象的塑性材料

0.2s0.2名义屈服应力:

0.2

，即此类材料的失效应力。五、铸铁拉伸时的机械性能

ｂL---铸铁拉伸强度极限（失效应力）六、材料压缩时的机械性能

ｂy---铸铁压缩强度极限；

ｂy

（4—6）

ｂL

七、安全系数、容许应力、极限应力n1、许用应力：2、极限应力：3、安全系数：解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：例10

铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力P？由拉伸图知：s(MPa)e(%)一、温度对材料力学性能的影响（短期，静载下）§2–6温度和时间对材料力学性能的影响

但在260°以前随温度的升高，

b反而增大，同时

、

却减小。但象低碳钢这种在260°以前的特征，并非所有的钢材都具有。总趋势:温度升高,E、

S

、

b下降；

、

增大。0100200300400500216177137700600500400300200100100908070605040302010Ed温度对铬锰合金力学性能的影响200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800d80706050403020100

P(kN)------0510153020100

Dl(mm)---0510153020100

P(kN)

Dl(mm)温度降低，塑性降低，强度极限提高1、蠕变：

在高温和长期静载作用下，即使构件上的应力不变，塑性变形却随时间而缓慢增加，直至破坏。这种现象称为蠕变。注意：应力没增加，杆自己在长长！P经过较长时间后P加静载二、蠕变与松驰（高温，长期静载下）构件的工作段不能超过稳定阶段！

etOABCDE不稳定阶段稳定阶段加速阶段破坏阶段

e0材料的蠕变曲线应力不变温度越高蠕变越快T1T2T3T4s1s2s3s4温度不变应力越高蠕变越快蠕变变形是不可恢复的塑性变形。2、应力松弛：

在一定的高温下，构件上的总变形不变时，弹性变形会随时间而转变为塑性变形（原因为蠕变），从而使构件内的应力变小。这种现象称为应力松弛。杆也是自己长了一段！经过较长时间后卸载加静载温度不变e2e1e3初应力越大，松弛的初速率越大初始弹性应变不变T1T3T2温度越高，松弛的初速率越大§2－7拉伸、压缩超静定问题1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力

（外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。不稳定平衡稳定平衡静定问题超静定问题例11设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、

L3=L

；各杆面积为A1=A2=A、A3

；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N2几何方程——变形协调方程：物理方程——弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。

解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:CABD123A1

平衡方程；

几何方程——变形协调方程；

物理方程——胡克定律；

补充方程：由几何方程和物理方程得；

解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：例12木制短柱的四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷P。几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2

解平衡方程和补充方程，得:

求结构的许可载荷：

方法1: