2026版高三数学讲义第二章　2.6　幂函数及几类常见的特殊函数

2．6幂函数及几类常见的特殊函数

1

12

1．结合函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律．

x

2．了解一次分式函数、对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数和最值函数．

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

2．一次分式函数

cx＋d

(1)定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数．

ax＋b

(2)图象

(3)性质

bc

xx≠－yy≠

①定义域：a；值域：a.

－b，c

②对称中心：aa.

bc

③渐近线方程：x＝－和y＝.

aa

－∞，－b－b，＋∞

④单调性：当ad＞bc时，函数在区间a和a上分别单调递减；当ad

－∞，－b－b，＋∞

＜bc时，函数在区间a和a上分别单调递增．

b

3．对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)

x

(1)性质

①奇偶性：奇函数．

bbb

－∞，－，＋∞－，0

②单调性：单调递增区间：a，a；单调递减区间：a，

b

0，

a.

③渐近线：y＝ax和x＝0.

(2)图象

b

4．飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0)

x

(1)性质

①奇偶性：奇函数；

②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；

③渐近线：x＝0.

(2)图象

5．高斯函数y＝[x]

(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]

＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数．

(2)性质

①定义域：R；值域：Z.

②不具有单调性、奇偶性、周期性．

(3)图象

1，x∈Q，

6．狄利克雷函数D(x)＝的性质

0，x∉Q

(1)定义域：R；值域：{0，1}．

(2)奇偶性：偶函数．

(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期．

(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在．

7．最值函数的概念

a，a≤b，a，a≥b，

设min{a，b}＝max{a，b}＝

b，a＞b，b，a＜b.

直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，

max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数．

教材拓展

1．(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质．

(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．

b

2．对勾函数y＝ax＋(ab＞0)的极值与图象的拐点可利用基本不等式求得．

x

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

1

(1)函数y＝2x3是幂函数．(×)

(2)当α＞0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(√)

n

(3)当n是偶数时，幂函数y＝xm(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数．(√)

m

(4)函数y＝x＋的单调增区间是(－∞，－m)，(m，＋∞).(×)

x

，11

27－

2．若幂函数的图象经过点3，则函数的解析式为y＝x3．

1

27，11

解析：设幂函数的解析式为y＝xk，因为图象经过点3，则＝27k3-1＝33kk＝－，

33

1⇒⇒

－

所以y＝x3.

11

－3，－2，－1，－，0，，1，2，3

3．(人教A版必修第一册P100T5改编)已知α∈22，

若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝－1或－3．

解析：由幂函数的性质知，f(x)＝xα，在第一象限内，当α<0时，函数单调递减，当α为

奇数或分子和分母均为奇数的既约分数时，函数为奇函数，所以当α＝－1或α＝－3时，幂

函数在(0，＋∞)上单调递减，且为奇函数．

4．(人教A版必修第一册P91练习T1改编)若幂函数f(x)＝(m2－3m－3)的图象

与y轴无交点，则实数m的值为－1．

解析：因为函数f(x)是幂函数，所以m2－3m－3＝1，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m

＝－1，当m＝4时，f(x)＝x10，图象与y轴有交点(0，0)，当m＝－1时，f(x)＝x0，图象与y

轴无交点，所以实数m的值为－1.

考点1幂函数的图象和性质

【例1】(1)(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是

(D)

1

A．y＝x2

1

－

B．y＝x2

C．y＝x3

1

D．y＝x3

1

【解析】对于A，函数y＝x2＝x的定义域为[0，＋∞)，显然不符合题意，故A错误；

1

－1

对于B，函数y＝x2＝的定义域为(0，＋∞)，显然不符合题意，故B错误；对于C，函数

x

y＝x3的定义域为R，y＝x3为奇函数，但是y＝x3在(0，＋∞)上增长速度越来越快，故不符

1311

合题意，故C错误；对于D，y＝x3＝x定义域为R，y＝x3为奇函数，且y＝x3在(0，＋∞)

上的增长速度越来越慢，故D正确．故选D.

421

131313

(2)已知a＝2，b＝3，c＝25，则a，b，c的大小关系为(B)

A．a<b<cB．c<a<b

C．a>b>cD．b<c<a

421222

131313131313

【解析】由a＝2，b＝3，c＝25，得a＝4，b＝3，c＝5.因为幂函数y

2121212

3111333

＝x在区间(0，＋∞)上单调递增，且<<，所以5<4<3，即c<a<b.故选B.

543

1．对幂函数图象的掌握应抓住在第一象限内三条直线分第一象限所成的六个区域，即直

线x＝1，y＝1，y＝x所分区域，根据幂指数α满足的条件，即α＜0，0＜α＜1，α＝1或α＞1

确定图象在第一象限的位置，其余象限部分由奇偶性决定．

2．在比较幂的大小时，必须结合幂的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

m

【对点训练1】(1)如图是函数y＝xn(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则

(B)

m

A．m，n是奇数，且<1

n

m

B．m是偶数，n是奇数，且<1

n

m

C．m是偶数，n是奇数，且>1

n

m

D．m，n是奇数，且>1

n

m

解析：由幂函数性质可知y＝xn与y＝x的图象恒过点(1，1)，即在第一象限的交点为(1，

mmm

m

1)，当0<x<1时，xn>x，则<1；又y＝xn的图象关于y轴对称，∴y＝xn为偶函数，∴(－x)

n

mm

nn

n＝(－x)m＝xn＝xm，又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数．故选B.

(2)(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则(ABC)

1

A．α＝

2

B．f(x)的图象经过点(1，1)

C．f(x)在[0，＋∞)上单调递增

D．不等式f(x)≥x的解集为{x|x≤1}

1

1

解析：由幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，得2＝4α，则α＝，所以幂函数f(x)＝x2＝

2

x，A正确；又f(1)＝1＝1，即f(x)的图象经过点(1，1)，B正确；且f(x)在[0，＋∞)上单调

递增，C正确；不等式f(x)≥x，即x≥x，解得0≤x≤1，D错误．故选ABC.

考点2几类特殊函数

命题角度1一次分式函数

ax＋2－a

【例2】已知函数f(x)＝，其中a∈R.

x＋1

(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；

(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

ax＋2－aa(x＋1)＋2－2a2－2a

【解】(1)f(x)＝＝＝a＋，

x＋1x＋1x＋1

所以f(x)图象的对称中心为点(－1，a)，由题意得a＝3.

ax＋2－a

(2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)图象的一条渐近线，

x＋1

又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)＞1×a，

即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1).

命题角度2对勾函数与飘带函数

1

4，42

【例3】已知函数f(x)＝x＋.若对任意x1，x2∈2，|f(x1)－f(x2)|≤m＋恒成立，求

xm

实数m的取值范围．

11

，217

【解】函数f(x)在2上递减，在(2，4]上递增，f(2)＝4，而f2＝，f(4)＝5，所

2

1

17，42

以f(x)max＝，f(x)min＝4，故对任意x1，x2∈2，|f(x1)－f(x2)|≤m＋恒成立等价于|f(x1)

2m

217929

－f(x2)|max≤m＋，而|f(x1)－f(x2)|max＝－4＝，即m＋≥，显然当m<0时不等式不成立，

m22m2

1

所以原不等式可变形得2m2－9m＋4≥0且m>0，解得0<m≤或m≥4，即实数m的取值范

2

1

0，

围为2∪[4，＋∞).

命题角度3高斯函数、狄利克雷函数与最值函数

【例4】(1)(多选)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]

被“数学王子”高斯最早使用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列

说法正确的是(BCD)

A．函数y＝[x]，x∈R的图象关于原点对称

B．函数y＝x－[x]，x∈R的值域为[0，1)

C．对于任意的x，y∈R，不等式[x]＋[y]≤[x＋y]恒成立

D．不等式2[x]2＋[x]－1<0的解集为{x|0≤x<1}

【解析】对于A，当0≤x<1时，y＝[x]＝0，当－1<x<0时，y＝[x]＝－1，所以y＝[x]，

x∈R不是奇函数，即函数y＝[x]，x∈R的图象不是关于原点对称，故A错误；对于B，由

取整函数的定义知，[x]≤x<[x]＋1，所以x－1<[x]≤x，∴0≤x－[x]<1，∴函数y＝x－[x](x∈R)

的值域为[0，1)，故B正确；对于C，由取整函数的定义知，x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所

2

以[x]＋[y]＝[[x]＋[y]]≤[x＋y]，故C正确；对于D，由2[x]＋[∀x]－1<0得(2[x]－1)([x]＋1)<0，

1

解得－1<[x]<，结合取整函数的定义可得{x|0≤x<1}，故D正确．故选BCD.

2

1，x∈Q，

(2)(多选)函数D(x)＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正

0，x∉Q

确的是(ABD)

A．D(D(2))＝D(D(2))

|x|＋x

B．D(x)的值域与函数f(x)＝的值域相同

2x

C．D(x)是非奇非偶函数

D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x)

【解析】对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1，D(D(2))＝D(0)＝1，

|x|＋x

故A正确．对于B，易知函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x∈(－∞，0)

2x

|x|＋x|x|＋x|x|＋x

时，f(x)＝＝0；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝＝1，即函数f(x)＝的值域为{0，1}，

2x2x2x

故B正确．对于C，易知函数D(x)的定义域关于原点对称，当x∈Q时，－x∈Q，则D(－x)

＝1＝D(x)；当x∉Q时，－x∉Q，则D(－x)＝0＝D(x)，即D(x)为偶函数，故C错误．对于D，

当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1；当x∉Q时，x＋1∉Q，此时D(x＋1)＝D(x)

＝0，故D正确．故选ABD.

(3)(多选)函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)

＝max{f(x)，g(x)}，则下列说法正确的是(BD)

A．M(2)＝3B．x≥1，M(x)≥4

．有最大值．最小值为

CM(x)D∀M(x)0

【解析】令g(x)>f(x)，即(x＋1)2>x＋1，解得x<－1或x>0，所以可知M(x)＝max{f(x)，

(x＋1)2，x<－1或x>0，

g(x)}＝

x＋1，－1≤x≤0，

所以M(2)＝(2＋1)2＝9，故A错误；当x≥1时，M(x)＝(x＋1)2≥(1＋1)2＝4，故B正确；

2

由M(x)＝(x＋1)(x<－1或x>0)可知，函数无∀最大值，故C错误；当x<－1或x>0时，M(x)>0，

当－1≤x≤0时，0≤M(x)≤1，所以M(x)最小值为0，故D正确．故选BD.

这几类特殊的函数问题都属于新定义问题，其解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、

旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确

概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合．

【对点训练2】(1)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，

2x21

例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的值域是(D)

1＋x23

A．{0，1}B．{－1，1}

C．{－1，0}D．{－1，0，1}

2x212(1＋x2)－2152

解析：f(x)＝－＝－＝－，因为x∈R，所以t＝1＋x2≥1，

1＋x231＋x2331＋x2

151

1－，－，0

0<≤1，则f(x)∈33，当f(x)∈3时，y＝[f(x)]＝－1；当f(x)∈[0，1)时，y

1＋x2

5

1，

＝[f(x)]＝0；当f(x)∈3时，y＝[f(x)]＝1.所以函数y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}．故选

D.

1，x∈Q，

(2)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论正确的是(A)

0，x∉Q，

A．D(x)是偶函数

B．D(x)是单调函数

C．D(x)的值域为[0，1]

D．D(π)>D(3.14)

解析：对于A，当x∈Q时，显然－x∈Q，此时恒有D(x)＝D(－x)＝1，当x∉Q时，x是

无理数，显然－x也是无理数，此时恒有D(x)＝D(－x)＝0，所以D(x)是偶函数，因此A正确；

对于B，因为D(0)＝D(1)＝1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数，因此B不正确；对

于C，由函数的解析式可知，D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确；对于D，因为D(π)＝0，

D(3.14)＝1，所以D(π)<D(3.14)，因此D不正确．故选A.

课时作业11

1．(5分)十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f(x)＝

1，x∈Q，

被称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存

0，x∈∁RQ

在，若点(2，y)在其图象上，则y的值是(A)

A．0B．1

C．－2D．2

1，x∈Q，

解析：因为函数f(x)＝而2∈∁RQ，于是得y＝0，所以y的值是0.故选

0，x∈∁RQ，

A.

2．(5分)(2024·山东日照二模)已知幂函数的图象过点(2，4)，则函数的解析式为(B)

A．y＝2xB．y＝x2

C．y＝log2xD．y＝sinx

解析：设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函

数的解析式为y＝x2.故选B.

3．(5分)如图，已知幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc在(0，＋∞)上的图象分别是下降，急速

上升，缓慢上升，则(B)

A．c<b<a

B．a<c<b

C．c<a<b

D．a<b<c

解析：由题意结合图象可知a<0<c<1<b.故选B.

4．(5分)已知函数f(x)＝xα(x>0)，α为实数，f(x)的导函数为f′(x)，在同一直角坐标系中，

f(x)与f′(x)的大致图象不可能是(C)

解析：由f(x)＝xα，可得f′(x)＝αxα-1，对于A，当α＝－1时，在(0，＋∞)上，f(x)＝x-1单

1

调递减，f′(x)＝－x-2＝－单调递增且图象在第四象限，故A符合；对于B，C，D，f(x)与f′(x)

x2

的图象在(0，＋∞)上都单调递增，故α>0且α－1>0，则α>1，又由f(x)＝f′(x)可得x＝α>1，即

f(x)＝xα与f′(x)＝αxα-1的图象交点横坐标应大于1，显然C不符合，B，D均符合．故选C.

5．(5分)已知a＝0.310.1，b＝0.310.2，c＝0.320.1，则(D)

A．a>b>cB．b>a>c

C．c>b>aD．c>a>b

解析：由y＝0.31x单调递减可知0.310.1>0.310.2，即a>b；由y＝x0.1单调递增可知

0.320.1>0.310.1，即c>a，所以c>a>b.故选D.

6．(5分)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设

x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，

[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，下列说法中正确的是(A)

A．f(x)是周期函数

B．f(x)的值域是[0，1]

C．f(x)在(0，1)上是增函数

D．x＝R，[f(x)]＝0

≤

∀－1，－2x<－1，

0，－1≤x<0，

解析：由题意可得部分定义域内的函数y＝[x＋1]＝

1，0≤x<1，

2，1≤x<2，

－1－x，－2≤x<－1，

－x，－1≤x<0，

所以部分定义域内的函数f(x)＝[x＋1]－x＝

1－x，0≤x<1，

2－x，1≤x<2，

可画出图象，如图，

可得到函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0，1]，在(0，1)上单调递减，故A正确，

B，C错误；x＝－1，f(－1)＝1，则[f(－1)]＝1，故D错误．故选A.

7．(6分)(多选)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定

义是：

1pp

，x＝，p，q∈N*，为既约真分数，

R(x)＝qqq

0，x＝0，1或(0，1)上的无理数

(注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是(BC)

6

1

A．R8＝

8

B．黎曼函数的定义域为[0，1]

1

C．黎曼函数的最大值为

2

86

D．若f(x)是奇函数，且f(1－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f5＋f(32＋6)

＝1

5

63

1pp

解析：R8＝R4＝，A错误．因为p，q∈N*，是既约真分数，x＝，0，1或(0，1)

4qq

p

上的无理数，所以黎曼函数的定义域为[0，1]，B正确．又p，q∈N*，为既约真分数，所以

q

11

的最大值为，C正确．因为f(1－x)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x＋1).所以f(－x－1)＝f(x＋2).因为

q2

f(x)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x＋2)，即f(x)是以2为

86444

18－－1

周期的周期函数，f5＝f5＝f5＝－f5＝－，f(32＋6)＝f(42)＝f(42－6)＝

5

86

1

－f(6－42)＝0，所以f5＋f(32＋6)＝－，D错误．故选BC.

5

1

8．(6分)(多选)设函数f(x)＝xn－(n∈N*)，则(BCD)

xn

A．f(x)在(0，＋∞)上单调递减

B．当n为偶数时，f(x)为偶函数

C．f(x)有两个零点

D．当n为奇数时，f(x)在(－∞，0)上单调递增

1

解析：对于A，因为n∈N*，所以y＝xn在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单

xn

1

调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B，当n为偶数时，f(x)＝xn－的

xn

111

定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)n－＝xn－＝f(x)，所以f(x)＝xn－为偶函数，故B

(－x)nxnxn

1

正确；对于C，令f(x)＝0，则xn－＝0，则x2n＝1，所以xn＝1或xn＝－1，当n为偶数时，

xn

由xn＝1，解得x＝±1，由xn＝－1，方程无解；当n为奇数时，由xn＝1，解得x＝1，由xn

＝－1，解得x＝－1.综上可得f(x)有两个零点1，－1，故C正确；对于D，当n为奇数时f(x)

1111

＝xn－的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝(－x)n－＝－xn－＝－f(x)，所以f(x)＝xn－

xn(－x)n－xnxn

为奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，故D正确．故

选BCD.

tt

9．(5分)因为函数f(x)＝x＋(t>0)的图象形状像对勾，我们称形如“f(x)＝x＋(t>0)”的

xx

11

tk－k＋

函数为“对勾函数”．若对勾函数f(x)＝x＋(t>0)对于任意的k∈Z，都有f2≤f2，

x

3

则实数t的最大值为．

4

1111

k－k＋k－k＋ttt

解析：≤≤11

因为f2f2，则f2－f20，k－＋1－k－－1＝1

2k－2k＋k2－

224

t

≤≤2111∈≥121

－10，即11，当k－<0，即－<k<时，因为kZ，则k＝0，t－.当k－>0，

k2－42244

4

1

11k2－313

即|k|>时，t≤k2－恒成立，所以t≤4＝.综上可得－≤t≤，所以实数t的最大值

24444

3min

为.

4

10．(5分)高斯，德国著名数学家、物理学家和天文学家，是近代数学奠基者之一，享有

“数学王子”之美称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例

x－1

如：[－3.4]＝－4，[2.7]＝2，当x∈(－3.5，7]时，函数y＝3的值域为{－2，－1，0，1，

2}．

x－1

x－1x－1

解析：由x∈(－3.5，7]，得－1.5<≤2，当－1.5<<－1时，y＝3＝－2；当

33

x－1x－1x－1

x－1x－1x－1

－1≤<0时，y＝3＝－1；当0≤<1时，y＝3＝0；当1≤<2时，y＝3

333

x－1x－1

x－1

＝1；当＝2时，y＝3＝2.所以函数y＝3的值域为{－2，－1，0，1，2}．

3

11．(16分)已知幂函数f(x)＝x3－m2(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，

函数g(x)满足g(x－2)＝f(x).

(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；

(2)对任意实数x∈[－3，0)，g(x)－f(x)≥ax2恒成立，求a的取值范围．

解：(1)依题意幂函数f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，

可得3－m2>0，解得－3<m<3，

由于m∈Z，故m＝0，1，－1，

当m＝0时，3－m2＝3，此时f(x)＝x3为奇函数，不符合题意，

当m＝1或－1时，3－m2＝2，此时f(x)＝x2为偶函数，符合题意，

故f(x)＝x2；

由g(x－2)＝f(x)，可得g(x－2)＝x2，令x－2＝t，则x＝t＋2，

所以g(t)＝(t＋2)2＝t2＋4t＋4，故g(x)＝x2＋4x＋4.

44

(2)由x∈[－3，0)，g(x)－f(x)≥ax2恒成立，可得a≤＋，x∈[－3，0)恒成立．

x2x

112

44＋44

又＋＝4x2－1，所以当x＝－2时，＋取得最小值－1，

x2xx2x

故a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1].

12．(16分)对于定义域分别为Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝

f(x)·g(x)，x∈Df且x∈Dg，

f(x)，x∈Df且x∉Dg，

g(x)，x∈Dg且x∉Df.

1

(1)若y＝f(x)，其中f(x)＝，y＝g(x)，其中g(x)＝x2，求y＝h(x)；

x－1

(2)对(1)中的h(x)，求y＝h(x)的值域．

1

解：(1)由函数f(x)＝的定义域为x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，函数g(x)＝x2的定义域

x－1

x2

为R，所以当x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)时，h(x)＝f(x)·g(x)＝；

x－1

当x＝1时，h(x)＝g(x)＝1.

综上所述，

x2

，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，

x－1

h(x)＝

1，x＝1.

x2

(2)由(1)得当x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，y＝，

x－1

(t＋1)21

设t＝x－1，则t∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝＝t＋＋2，

tt

111

当t∈(0，＋∞)时，y＝t＋＋2≥2t·＋2＝4，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立，

ttt

11

1－－

当t∈(－∞，0)时，y＝t＋＋2，即－y＝(－t)＋t－2≥2(－t)·t－2＝0，即y≤0，

t

1

当且仅当－t＝－，即t＝－1时，等号成立，

t

即当x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)时，y∈(－∞，0]∪[4，＋∞)；

当x＝1时，y＝1，

综上所述，y的值域为(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞).

13．(5分)(2024·湖北荆州三模)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若

是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈

1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m＝6，

根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1(简称为8

步“雹程”).我们记一个正整数n(n≠1)经过K(n)次上述运算法则后首次得到1(若n经过有限

次上述运算法则均无法得到1，则记K(n)＝＋∞)，以下说法正确的是(C)

A．K(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数

B．K(n)在其定义域上不单调，有最小值，有最大值

C．对任意正整数n(n≠1)，都有K(n)K(2)＝K(2n)－1

D．K(2n－1)≤K(2n＋1)

解析：对于A，依题意，K(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误；对于B，由K(4)

＝2，K(5)＝5，K(8)＝3，得K(n)在其定义域上不单调，而K(2)＝1，K(n)∈N*，则K(n)有最

小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记K(n)＝＋∞，得