2026版高三数学讲义第五章　5.2　平面向量基本定理及坐标运算

5．2平面向量基本定理及坐标运算

1．了解平面向量基本定理及其意义．

2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且

只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个

基底．

2．平面向量的正交分解及坐标表示

(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分

解．

(2)平面向量的坐标运算

①平面向量线性运算的坐标表示

假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，

λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).

②向量模的坐标计算公式

如果向量a＝(x，y)，那么|a|＝x2＋y2．

③向量坐标的求法

a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→22

b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)＋(y2－y1)．

(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线

的充要条件是x1y2－x2y1＝0．

3．平面向量基本定理的推论

(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1

＝λ3且λ2＝λ4.

(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

(3)如图，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意

→→→1

一点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得OP＝(1－t)OA＋tOB.特别地，当t＝时，点

2

P是线段AB的中点．

→

(4)对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线存在唯一的一对实数λ，μ，使得OP＝

→→

λOA＋μOB，且λ＋μ＝1.⇔

教材拓展

x1＋x2y1＋y2

已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，，

22

x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3

△ABC的重心坐标为，．

33

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(×)

(2)基底中可以含有零向量．(×)

x1y1

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(×)

x2y2

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(√)

→

2．(人教A版必修第二册P30T2改编)已知向量AB＝(2，3)，点A的坐标为(3，2)，则点

B的坐标为(C)

A．(6，4)B．(1，－1)

C．(5，5)D．(－1，1)

→

解析：设B(x，y)，则AB＝(x－3，y－2)＝(2，3)，解得x＝5，y＝5，∴B(5，5).故选C.

3．(人教A版必修第二册P33T2改编)已知向量a＝(1，3λ)，b＝(2＋λ，－3)，若a∥b，

则λ＝(B)

A．1B．－1

C．2D．－3

解析：因为a＝(1，3λ)，b＝(2＋λ，－3)，且a∥b，所以3λ(2＋λ)＝1×(－3)，解得λ＝

－1.故选B.

4．(人教A版必修第二册P36习题6.3T1改编)在△ABC中，点D为边BC上一点，且

→→→

BD∶DC＝1∶2，设AB＝a，AC＝b，则用a，b表示AD为(D)

→12→21

A．AD＝a－bB．AD＝a－b

3333

→12→21

C．AD＝a＋bD．AD＝a＋b

3333

→→→→1→→1→→2→1→2

解析：如图，由题意，可得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a

33333

1

＋b.故选D.

3

考点1平面向量基本定理及应用

【例1】(1)(2024·四川成都模拟)已知平行四边形ABCD中，E为AC的中点，F为线

→→→

段AD上靠近点A的四等分点，设AB＝a，AD＝b，则EF＝(C)

1131

A．－a－bB．－a－b

4242

1113

C．－a－bD．－a－b

2424

→→→→→→1→

【解析】如图所示，由题意可得AC＝AB＋AD＝a＋b，而EF＝EA＋AF＝CA＋

2

1→1111

AD＝－(a＋b)＋b＝－a－b.故选C.

42424

(2)在△ABC中，点M是AB的中点，点N分AC的比为AN∶NC＝1∶2，BN与CM相

→→→

交于E，设AB＝a，AC＝b，则向量AE＝(C)

1112

A．a＋bB．a＋b

3223

2134

C．a＋bD．a＋b

5555

→→→

【解析】如图，由题意得B，E，N三点共线，所以存在λ∈R，使得AE＝λAB＋(1－λ)AN

→1－λ→→→→→

＝λAB＋AC，同理C，E，M三点共线，所以存在μ∈R，使得AE＝μAC＋(1－μ)AM＝μAC

3

1－μ2

λ＝，λ＝，

25

1－μ→→21

＋AB，由平面向量基本定理可得1－λ解得1所以AE＝a＋b.故选

2μ＝，μ＝，55

35

C.

1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量

的加、减或数乘运算．

2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和

结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

→→→→→→

【对点训练1】(1)在平行四边形ABCD中，BD＝3BM，AN＋DN＝0，设AB＝m，AD＝

→

n，则MN＝(A)

2112

A．－m＋nB．m－n

3663

2123

C．－m＋nD．m－n

5234

→→→→1→→1→1→→→

解析：如图所示，由题意得MN＝MB＋BA＋AN＝－BD－AB＋AD＝－(AD－AB)－AB

323

1→2→1→21

＋AD＝－AB＋AD＝－m＋n.故选A.

23636

→→→

(2)(2024·贵州六盘水三模)已知点O为△ABC的重心，AC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝

(A)

A．－3B．－2

C．1D．6

→→→→→→

解析：根据向量加法的三角形法则知AC＝AB＋BC＝AO＋OB＋BC①，

→→→→

如图，取BC的中点F，连接OF，则BC＝2BF＝2(BO＋OF)②，

→1→

点O为△ABC的重心，则OF＝AO，

2

→1→

→BO＋AO→→→→→→→

代入②得到BC＝22＝2BO＋AO，代入①得到AC＝AO＋OB＋2BO＋AO＝

→→→→→

－2OA－OB，结合AC＝λOA＋μOB，可得λ＝－2，μ＝－1，所以λ＋μ＝－3.故选A.

考点2平面向量的坐标运算

【例2】(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

λ

则＝(D)

μ

A．1B．2

C．3D．4

【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形

的边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，

→→→

∴a＝AO＝(－1，1)，b＝OB＝(6，2)，c＝BC＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，

λ＝－2，

－λ＋6μ＝－1，

则解得1

＋＝－，μ＝－，

λ2μ32

λ－2

∴＝＝4.故选D.

μ－1

2

(2)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2CD＝2CB＝2，点P在线段BC

→→→

上运动，若AP＝xAB＋yAD，则x2＋y2的最小值为(B)

54

A．B．

45

1313

C．D．

164

3，31，3

【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C22，D22，

1313

→→，→－，→→→→

∴AB＝(2，0)，AD＝22，BC＝22，设BP＝λBC(0≤λ≤1)，则BP＝λBC＝

131313

－，→→→2－λ，λ→→→，

λ22，∴AP＝AB＋BP＝22，又AP＝xAB＋yAD＝x(2，0)＋y22＝

13

2x＋y，y

22，

11

2－λ＝2x＋y，1

22x＝1－λ，

∴2

33解得

λ＝y，＝，

22yλ

1222

1－λ55λ－444

∴x2＋y2＝2＋λ2＝λ2－λ＋1＝5＋≥，即x2＋y2的最小值为.故选B.

44555

1．利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个

向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．

2．向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的

解答转化为我们熟知的数量运算．

→→

【对点训练2】(1)在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC

→

与BD交于点O，则CO的坐标为(C)

11

－，5，5

A．2B．2

11

－，－5，－5

C．2D．2

→→

解析：因为在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交

→→1→→1

于点O，所以CO＝－AO＝－(AD＋AB)＝－，－5．故选C.

22

→→

(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若BA＝λBE＋

→

μAC，则λ－μ的值为(D)

17

A．B．

525

16

C．D．1

25

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由AB＝3，BC＝4，可得B(0，0)，C(4，0)，

A(0，3)，D(4，3)，

→→→

因为E为AD上一点，可设E(x，3)，所以BA＝(0，3)，BE＝(x，3)，AC＝(4，－3).因为

9

→→9，3→→→

BE⊥AC，所以BE·AC＝0，即4x－9＝0，解得x＝，所以E4.由BA＝λBE＋μAC得

4

16

9λ＝，

λ＋4μ＝0，25

4

解得9

－＝，μ＝－，

3λ3μ325

所以λ－μ＝1.故选D.

考点3向量共线的坐标表示

【例3】(1)(2024·陕西渭南三模)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m与n共

线且反向，则实数λ的值为(A)

A．4B．2

C．－2D．－2或4

【解析】由向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)共线，得λ(2－λ)＝－8，解得λ＝－2或λ

＝4.当λ＝－2时，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，m与n同向，不符合题意；当λ＝4时，m＝(2，

4)，n＝(－2，－4)，m与n反向，符合题意．所以实数λ的值为4.故选A.

→→→

(2)已知O为坐标原点，P1P＝－2PP2，若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与OP共线的单位向

量为(C)

A．(3，－4)

B．(3，－4)或(－3，4)

3，－4－3，4

C．55或55

3，－4

D．55

→→→→→→→→→→

【解析】由P1P＝－2PP2得P1P＋2PP2＝0，即P1P2＋PP2＝0，P1P2＝P2P，OP2－OP1＝

→→→→→→22→

OP－OP2，OP＝2OP2－OP1＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，|OP|＝3＋(－4)＝5，与OP同

→

OP3，－4－3，4

向的单位向量为→＝55，反向的单位向量为55.故选C.

|OP|

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.

(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).

【对点训练3】(1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(BD)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(1，1)，e2＝(1，－1)

解析：因为e1＝(0，0)为零向量，所以不能作为基底，A错误；因为－1×7－2×5≠0，

1

所以e1，e2不共线，可以作为基底，B正确；因为e1＝e2，所以e1，e2共线，不能作为基底，

2

C错误；因为1×(－1)－1×1≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，D正确．故选BD.

(2)(2024·河南开封三模)已知向量a＝(2，1)，a＋b＝(1，m)，若a∥b，则m＝(D)

11

A．－3B．3C．－D．

22

解析：由a＝(2，1)，a＋b＝(1，m)可得b＝(a＋b)－a＝(－1，m－1)，由a∥b可得－1

1

＝2(m－1)，解得m＝.故选D.

2

课时作业34(总分：100分)

→→

1．(5分)(2024·河南郑州模拟)已知向量AB＝(2，－1)，AC＝(3，2)，点C(－1，2)，则点

B的坐标为(A)

A．(－2，－1)B．(0，5)

C．(2，－5)D．(2，－1)

→→→

解析：由题意得，CB＝AB－AC＝(2，－1)－(3，2)＝(－1，－3)，设点B的坐标为(x，

→x＋1＝－1，x＝－2，

y)，则CB＝(x＋1，y－2)＝(－1，－3)，即解得所以点B的坐标

y－2＝－3，y＝－1，

为(－2，－1).故选A.

→

2．(5分)(2024·四川广安二模)已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若DE＝(3，

4)，B(－2，－3)，则点C的坐标为(A)

A．(4，5)B．(1，1)

C．(－5，－7)D．(－8，－11)

→→

解析：如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以BC＝2DE＝(6，8)，设C(x，y)，

x＋2＝6，x＝4，

又B(－2，－3)，所以(x＋2，y＋3)＝(6，8)，即解得故选A.

y＋3＝8，y＝5.

3．(5分)(2024·江苏南京二模)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，x＋3).若a∥b，则x＝(C)

A．－6B．－2

C．3D．6

解析：由a∥b，知1·(x＋3)＝2·x，解得x＝3.故选C.

4．(5分)(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量e1，e2，则以下四组向

量中不能构成平面向量的基底的是(C)

A．2e1＋e2和e1－e2

B．e1＋3e2和e2＋3e1

C．3e1－e2和2e2－6e1

D．e1和e1＋e2

解析：对于A，不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ(e1－e2)，故2e1＋e2和e1－e2不共线，可

作基底；对于B，不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ(e2＋3e1)，故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可

作基底；对于C，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－

2(3e1－e2)，故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；对于D，不存在实数λ，使得e1＝λ(e1

＋e2)，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选C.

5．(5分)(2024·重庆江北区模拟)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若

→→→

GM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝(C)

11

A．B．

126

11

C．－D．－

612

→1→1→→11→→1→1→1

解析：如图，因为GM＝BM＝(AM－AB)＝AC－AB＝－AB＋AC，所以λ＝－，μ

3332363

11

＝，λ＋μ＝－.故选C.

66

6．(5分)(2024·山西吕梁三模)已知等边三角形ABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC

→→→

的中点，若DF＝3EF，则AF＝(B)

1→5→1→3→

A．AB＋ACB．AB＋AC

2624

1→→1→3→

C．AB＋ACD．AB＋AC

222

→→

解析：如图，在△ABC中，取{AB，AC}为基底，因为点D，E分别为AB，BC的中点，

→→→1→1→→→→1→→1→1→3→

DF＝3EF，所以EF＝DE＝AC，所以AF＝AE＋EF＝(AB＋AC)＋AC＝AB＋AC.故选B.

242424

→→→

7．(5分)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ的值为

(B)

45

A．B．

33

15

C．D．2

8

解析：在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角

→→

坐标系，如图，令|AB|＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，

→→→→→→

1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC＝λAM＋μBD，于是得

4

λ＝，

3

2λ－2μ＝2，55

解得1λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为.故选B.

λ＋2μ＝2，μ＝，33

3

8．(5分)如图，延长正方形ABCD的边CD至E，使得DE＝CD，若动点P从点A出发，

→→→

沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，且AP＝λAB＋μAE，则下列判断正确的是

(D)

A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点

B．满足λ＋μ＝1的点P有且只有一个

C．λ＋μ的最小值不存在

D．λ＋μ的最大值为3

解析：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，E的坐

→→→

标分别为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(－1，1)，则AB＝(1，0)，AE＝(－1，1)，设AP＝

→→→a＝λ－μ，

(a，b)，由AP＝λAB＋μAE得(a，b)＝(λ－μ，μ)，所以当P在线段AB上时，0≤a≤1，

b＝μ，

b＝0，此时μ＝0，λ＝a，λ＋μ＝a，所以0≤λ＋μ≤1；当P在线段BC上时，a＝1，0≤b≤1，

此时μ＝b，λ＝a＋μ＝1＋b，λ＋μ＝1＋2b，所以1≤λ＋μ≤3；当P在线段CD上时，0≤a≤1，

b＝1，此时μ＝1，λ＝a＋μ＝a＋1，λ＋μ＝a＋2，所以2≤λ＋μ≤3；当P在线段DA上时，a

＝0，0≤b≤1，此时μ＝b，λ＝a＋μ＝b，λ＋μ＝2b，所以0≤λ＋μ≤2.由以上讨论可知，当λ

＋μ＝2时，P可为BC的中点，也可以是点D，所以A错误；使λ＋μ＝1的点有两个，分别

为点B与AD中点，所以B错误；当P运动到点A时，λ＋μ有最小值0，故C错误；当P运

动到点C时，λ＋μ有最大值3，所以D正确．故选D.

9．(8分)(多选)在下列向量组中，可以作为基底的是(BC)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，8)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

解析：因为0×2－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故A错误；因为－1×(－

2)－2×5＝－8≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故B正确；因为3×8－5×6＝－6≠0，

所以e1，e2不共线，可以作为基底，故C正确；因为2×3－(－3)×(－2)＝0，所以e1，e2共

线，不能作为基底，故D错误．故选BC.

10．(8分)(多选)已知向量a，b，c满足c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)，且c＝(1，2)，则a，b

的坐标可以为(BC)

A．a＝(1，0)，b＝(0，2)

B．a＝(2，0)，b＝(0，4)

C．a＝(3，1)，b＝(－1，3)

D．a＝(2，1)，b＝(4，－1)

→→→

解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，O为坐标原点，则由c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)可知A，

→→→→

B，C三点共线，且C在A，B之间．对于A，AB＝(－1，2)，AC＝(0，2)，AB与AC不平行，

→→→→

故A错误；对于B，AB＝(－2，4)，AC＝(－1，2)，AB与AC平行，且C在A，B之间，故B

→→→→

正确；对于C，AB＝(－4，2)，AC＝(－2，1)，AB与AC平行，且C在A，B之间，故C正确；

→→→→

对于D，AB＝(2，－2)，AC＝(－1，1)，AB与AC平行，但C不在A，B之间，故D错误．故

选BC.

11．(8分)(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为

→→

BC边上一点，且BC＝3EC，F为AE的中点，则(ABD)

→1→1→

A．AF＝AB＋AD

33

→1→→

B．BC＝－AB＋AD

2

→1→2→

C．CF＝AB－AD

63

→2→1→

D．BF＝－AB＋AD

33

→→

解析：已知AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，由向量加法的三角形法则得AE＝AB＋

1→2→

－AB＋AD

→→2→2→→1→1→1→

BE＝AB＋33＝AB＋AD，又F为AE的中点，则AF＝AE＝AB＋AD，故A

33233

→→→→→→1→1→→→→→→

正确；BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，故B正确；BF＝BA＋AF＝－AB

22

1→1→2→1→→→→→→2→1→1→

＋AB＋AD＝－AB＋AD，故D正确；CF＝CB＋BF＝BF－BC＝－AB＋AD－－AB

3333332

→1→2→

＋AD＝－AB－AD，故C错误．故选ABD.

63

12．(6分)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

λ

则的值为－4．

μ

解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1.则a＝(0，

4)－(1，6)＝(－1，－2)，b＝(7，2)－(1，6)＝(6，－4)，c＝(2，0)－(7，2)＝(－5，－2)，所

以λa＋μb＝λ(－1，－2)＋μ(6，－4)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以

λ＝2，

－λ＋6μ＝－5，λ

(－5，－2)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，所以解得1所以＝－4.

－－＝－，μ＝－，μ

2λ4μ22

13．(6分)(2024·四川攀枝花三模)已知平面向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3，1)，若a∥b，

π

θ－2

则cosθcos4＝．

5

解析：因为平面向量a＝(sinθ，cosθ)，b＝(3，1)，且a∥b，所以sinθ－3cosθ＝0，所

π

θ－222cos2θ＋cosθsinθ

以tanθ＝3，所以cosθcos4＝cosθcosθ＋sinθ＝×＝

222cos2θ＋sin2θ

21＋tanθ21＋3222

×＝×＝×＝.

21＋tan2θ21＋9255

→→→→→→→

14．(6分)如图，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中〈OA，OB〉＝120°，〈OA，OC〉＝

→→→→→→

30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n＝6．

解析：连接AB，交OC于点D(图略)，则∠DOA＝∠OAD＝∠OBD＝30°，∠BOD＝90°，

→→3→→3→23

|OD|＝|OB|·tan30°＝，|OD|＝|DA|＝，|DB|＝.

333

→→→→1→2→1→→

方法一由平面向量基本定理得OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝OA＋OB，|OC|＝

333

2→1→

→→OA＋OB→→

23＝6|OD|，∴OC＝633＝4OA＋2OB，∴m＋n＝6.

→

|OC||OC|23

方法二根据等高线定理可得＝k＝m＋n，k＝＝＝6，∴m＋n＝6.

→3

|OD||OD|

3

→→

15．(5分)(2024·陕西铜川模拟)在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足CE＝2EA，

→→→

若AB＝λAD＋μBE，则λ＋μ的值为(D)

11

A．B．

24

11

C．－D．－

24

→→

解析：如图，因为点D为线段BC的中点，点E满足CE＝2EA，所以

→1→→

AD＝(AB＋AC)，→→→

22AD＝AB＋AC，

所以

→→→1→→→→→

BE＝AE－AB＝AC－AB，＝－，

33BEAC3AB

→→→→

消去AC，得2AD－3BE＝4AB，

→1→3→→→131

所以AB＝AD－BE＝λAD＋μBE，所以λ＝，μ＝－，所以λ＋μ＝－.故选D.

24244

16．(5分)(2024·内蒙