2026版高三数学讲义第七章　7.3　空间直线、平面的平行

7．3空间直线、平面的平行

1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．

2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．

1．直线与平面平行

项目文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线

判定与此平面内的一条直

定理线平行，那么该直线

与此平面平行a∥α

一条直线与一个平面

平行，如果过该直线

性质

的平面与此平面相

定理

交，那么该直线与交

a∥b

线平行

⇒

2.平面与平面平行

项目文字语言图形语言符号语言

如果一个平面内的两条相

判定

交直线与另一个平面平行，

定理

那么这两个平面平行

两个平面平行，如果另一个

性质

平面与这两个平面相交，那

定理

么两条交线平行

教材拓展

1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

4．若α∥β，aα，则a∥β.

⊂

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)

(3)如果两个平面平行，且一条直线平行于其中一个平面，则该直线平行于另一平

面．(×)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行．(×)

2．（人教A版必修第二册P139T3改编）α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个

命题中正确的是(C)

A．若m∥n，n∥α，则m∥α

B．若m∥α，nα，则m∥n

．若∥，，则∥

Cαβm⊂αmβ

．若∥，，，则∥

Dmnm⊂αnβαβ

解析：若∥，∥，则∥或，故不正确；若∥，，则∥或

mn⊂nα⊂mαmαAmαnαmnm

与异面，故不正确；若∥，则与没有公共点，又因为，所以与没有公共点，

nBαβαβ⊂mα⊂mβ

所以∥，故正确；若∥，，，则∥或与相交，故不正确．故选

mβCmnmαnβαβαβ⊂DC.

．（人教版必修第二册例改编）如图，四边形是梯形，∥，且

3AP134⊂1⊂ABDCABCD

AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AC与平面α交于点M，AB＝4，CD＝6，

则MN＝(B)

A．4.5B．5

C．5.4D．5.5

解析：因为AB∥平面α，AB平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又

1

M是AC的中点，所以MN是梯形⊂ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.故选B.

2

4．（人教A版必修第二册P142T2改编）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

(B)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．以上答案都不对

解析：若α内的无数条直线均平行，此时无法推出α∥β，A错误；由面面平行的判定定

理知B正确；如图，α，β平行于同一条直线m，但α，β不平行，C错误；D错误．故选B.

考点1直线与平面平行的判定与性质

命题角度1直线与平面平行的判定

【例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB

＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD.

【证明】证法一如图，取PD的中点F，连接EF，FA.

由题意知EF为PDC的中位线，

1

∴EF∥CD，且△EF＝CD＝2.

2

又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，

∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.

又AF平面PAD，BE平面PAD，

∴∥平面

BE⊂PAD.⊄

证法二如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，

HBAB1

∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴＝＝，即B为HC的中点，

HCCD2

又E为PC的中点，∴BE∥PH，

又BE平面PAD，PH平面PAD，

∴∥平面

BE⊄PAD.⊂

证法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，

∵E为PC的中点，

∴EH∥PD，又EH平面PAD，PD平面PAD，∴EH∥平面PAD，

又由题意知綉，∴四边形为平行四边形，∴∥，

ABD⊄HAB⊂HDBHAD

又AD平面PAD，BH平面PAD，

∴∥平面，

BH⊂PAD⊄

又BH∩EH＝H，BH，EH平面BHE，

∴平面∥平面，

BHEPAD⊂

又BE平面BHE，∴BE∥平面PAD.

命题角度直线与平面平行的性质

⊂2

【例2】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面

B1BD与棱A1C1交于点E.求证：BB1∥DE.

【证明】在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1平面AA1C1C，CC1平面AA1C1C，

∴∥平面，又∵平面，平面平面＝，∴∥

BB1AA1C1CBB1B1BDB1BD∩⊄AA1C1CDE⊂BB1DE.

⊂

1．判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义（无公共点）.

(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α).

利用面面平行的性质∥，∥

(3)(αβ⊄aα⊂aβ).⇒

利用面面平行的性质∥，，∥∥

(4)(αβa⊂β⇒aαaβ).

．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平

2⊄⇒

面确定交线．

【对点训练1】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB

＝60°，PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，F，G分别是PB，CD的中点．

△

(1)求证：GF∥平面PAD；

(2)设E为AB的中点，过E，F，G三点的截面与棱PC交于点Q，指出点Q的位置并证

明．

解：(1)证明：如图，取PA的中点H，连接FH，HD，因为F为PB的中点，所以HF∥

1

AB，且HF＝AB，

2

又因为四边形ABCD为菱形，且G为CD中点，

1

所以DG∥AB，且DG＝AB，所以HF∥DG，且HF＝DG，所以四边形HDGF为平行

2

四边形，所以GF∥HD，

因为GF平面PAD，HD平面PAD，所以GF∥平面PAD.

如图，为的中点．证明如下：

(2)⊄QPC⊂

因为CG∥BE且CG＝BE，所以四边形BCGE为平行四边形，故EG∥BC，

因为EG平面PBC，BC平面PBC，所以EG∥平面PBC，

又平面，平面平面＝，所以∥，

EG⊄EFQG⊂EFQG∩PBCFQEGFQ

又∥，所以∥，

EG⊂BCFQBC

因为F为PB的中点，所以Q为PC的中点．

考点2平面与平面平行的判定与性质

【例3】如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝

2CF.

(1)求证：平面ADE∥平面BCF；

(2)若G是棱BC的中点，求证：AE∥FG.

【证明】(1)由四边形ABCD是平行四边形，得BC∥AD，而AD平面AED，BC平

面，则∥平面，

AEDBCAED⊂⊄

由DE∥CF，CF平面AED，DE平面AED，得CF∥平面AED，

又＝，，平面，所以平面∥平面

BC∩CFC⊄BCCFBC⊂FADEBCF.

延长，，与的延长线分别交于点，，

(2)EFAGDC⊂O1O2

由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2＝CD，

因此点O1，O2重合，记为O，如图所示，显然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩

平面BCF＝FG，由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.

1．证明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理．

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥βα∥β).

利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行∥

(3)⇒(α

β，β∥γα∥γ).

．当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，这两条直线必须是

2⇒

两平行平面与第三个平面的交线．

【对点训练2】如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，

AB的中点．

AR

(1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求的值；

A1R

(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．

解：(1)如图，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面

ARAQ

CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，易得ARQ∽DPC，则＝，

DPDC

△△

1

ARa

又＝，＝1，＝1，则＝2，

DCaDPaAQa1

22aa

2

13AR1

即AR＝a，A1R＝a，所以＝.

44A1R3

(2)如图，取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，

又RQ平面PCQ，BE平面PCQ，则BE∥平面PCQ.

又∥平面，，平面，且＝，所以平面∥平面，

BM⊂PCQBM⊄BEBMEBM∩BEBBMEPCQ

设平面＝，连接，，因为平面∥平面，平面平面

DD1∩BMEF⊂EFFMBMEPCQBME∩

CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，又CM∥PF，则四边形CPFM

1CM

为平行四边形，同理四边形PREF也是平行四边形，所以CM＝PF＝ER＝a，所以λ＝＝

4CC1

1

a1

4＝.

a4

课时作业47

1．（5分）（2024·浙江杭州一模）已知两条不同的直线a，b和平面α，aα，b∥α，则“a

∥是∥的

b”“aα”(A)⊄

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为b∥α，所以存在cα使得b∥c，若a∥b，则a∥c，又aα且cα，所以a

∥，充分性成立；设∥，，，＝，则有∥，但，不平行，即必要性不

αβαbβ⊂aβa∩bPaαab⊄⊂

成立．故选

A.⊂⊂

2．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确

的是(C)

A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ

B．若mα，nβ，m∥n，则α∥β

．若，是异面直线，，∥，，∥，则∥

Cm⊂n⊂mαmβnβnααβ

．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则∥

Dα⊂β⊂αβ

解析：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误；若mα，nβ，m∥n，则α与β可能

相交，故错误；因为，∥，所以由线面平行的性质定理可知在内存在，且

Bmαmβ⊂⊂βlαl

∥，进而可得∥，因为，是异面直线，，所以与相交，又∥，所以由面面

mlα⊂mnnβlnnα⊄

平行的判定定理得∥，故正确；平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可

αβCα⊂βαβ

能相交，故D错误．故选C.

3．（5分）正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱

CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为(C)

13

A．3B．

2

210213

C．D．

33

解析：如图，分别取BC，B1C1的中点H，Q，连接BQ，C1H，则AM∥BQ∥C1H，且

AM＝BQ＝C1H，在平面BB1C1C中，过点N作NP∥C1H交BC于P，连接AP，则NP为平

2222

面AMN与侧面BB1C1C的交线，且NP∶C1H＝2∶3，由于C1H＝CH＋CC1＝1＋3＝10，

210

∴NP＝.故选C.

3

4．（5分）过四棱锥P­ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有

(C)

A．4条B．5条

C．6条D．7条

解析：如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为所在棱的中点，则NE∥PB，且NE平面

，平面，所以∥平面，同理可得，，，，与平面

PBDPBPBDNEPBDHENHGFMFMG⊄PBD

平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，所以

⊂PBDPBD

与平面PBD平行的直线有6条．故选C.

5．（5分）如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，BC，

DD1，D1C1的中点，下列判断正确的是(D)

A．直线AD∥平面MNE

B．直线FC1∥平面MNE

C．平面A1BC∥平面MNE

D．平面AB1D1∥平面MNE

解析：过点M，N，E的截面如图所示（H，I，J均为所在棱的中点），所以直线AD与

其相交于点H，故A错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1上必定相交，故B错误；直线

A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C错误；易得直线AB1∥直线EI，

直线AD1∥直线MH，又因为AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正确．故选

D.

6．（5分）（2024·山东淄博二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同

的直线．若α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l∥γ，则下列说法正确的是(C)

A．a与l相交B．b与l相交

C．a∥bD．a与β相交

解析：l∥γ，l平面α，α∩γ＝a，则l∥a，同理可得l∥b，故A，B错误；由l∥a，l∥b

可得∥，故正确；由∥，平面，平面，得∥，故错误．故选

abC⊂laaβlβaβDC.

．（分）（多选）如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，

76⊄⊂ABDEF

为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(AC)

解析：对于A，∵AB∥DE，AB平面DEF，DE平面DEF，∴直线AB与平面DEF平

行，故正确；对于，如图，作平面交正方体的棱于点，连接并延长，交

AB1⊄DEF⊂GFGAB

的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；

对于C，∵AB∥DF，AB平面DEF，DF平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故

正确；对于，如图，连接，取的中点，连接，又为的中点，∴

CD2⊄ACAC⊂OODDBCAB

∥OD，

∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．故选AC.

8．（6分）（多选）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，

固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个结论，

其中正确的是(ACD)

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面EFGH所在四边形的面积为定值

C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行

D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值

解析：由题图，显然A正确，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，又

FG平面EFGH，A1D1平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH（水面），故C正确；因为水是

12V

定量⊂的（定体积V），所⊄以SBEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝（定值），故D

2BC

△

正确．故选ACD.

9．（5分）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上

运动，当点P满足条件P是CC1的中点（答案不唯一）时，A1P∥平面BCD.（填一个满足题

意的条件即可）

解析：如图，取CC1的中点P，连接A1P，∵在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AA1中点，

点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，

∵A1P平面BCD，CD平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD.

（答案不唯一）

⊄⊂

10．（5分）已知平面α∥β∥γ（β在α，γ之间），直线l，m分别与α，β，γ相交于点A，B，

AB1

C和点D，E，F.若＝，DF＝20，则EF＝15Ｗ．

BC3

解析：分两种情况：(1)直线l和m在同一平面内，如图1，连接AD，BE，CF，因为平

ABDE1

面α∥β∥γ，所以AD∥BE∥CF，由平行线分线段成比例得＝＝，又DF＝20，所以

BCEF3

EF＝15.

(2)直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，如图2，过D作DH∥AC，因为平面α

ABDGDE1

∥β∥γ，所以AB＝DG，BC＝GH，GE∥HF，由平行线分线段成比例得＝＝＝，

BCGHEF3

又DF＝20，所以EF＝15.综上，EF＝15.

11．（16分）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C与AC1交于点O，D为棱BC上一点，

D1为B1C1的中点，且A1B∥平面ADC1.求证：

(1)A1B∥OD；

(2)平面A1BD1∥平面ADC1.

证明：(1)由题意，因为A1B∥平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，

所以∥

A1BOD.⊂

(2)由(1)可知A1B∥OD，

1

又因为O为A1C的中点，所以D为BC的中点，即BD＝BC，

2

1

因为D1为B1C1的中点，所以D1C1＝B1C1，

2

又因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，

所以BD＝D1C1，BD∥D1C1，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以BD1∥DC1，

又因为DC1平面ADC1，BD1平面ADC1，所以BD1∥平面ADC1，

又∥平面，＝，平面，平面，

A1B⊂ADC1A1B∩BD⊄1BA1BA1BD1BD1A1BD1

所以平面∥平面

A1BD1ADC1.⊂⊂

12．（17分）如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PD，

BC的中点，平面PAB∩平面PCD＝l.

(1)求证：l∥AB.

(2)求证：EF∥平面PAB.

PG

(3)在线段PD上是否存在一点G，使FG∥平面ABE？若存在，求出的值；若不存在，

GD

请说明理由．

解：(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，

又因为AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD，

又因为平面平面＝，平面，所以∥

⊄PAB∩PCD⊂lABPABlAB.

⊂

1

(2)证明：如图，取PA的中点M，连接BM，EM，则EM∥AD，EM＝AD，又BF∥AD，

2

1

BF＝AD，可知EM∥BF，EM＝BF，则四边形BFEM为平行四边形，可得EF∥BM，

2

又EF平面PAB，BM平面PAB，所以EF∥平面PAB.

存在．如图，取的中点，连接，，则∥，因为平面，

(3)⊄AD⊂NFNNGFNABFNABEAB

平面，所以∥平面，又因为∥平面，且＝，，平面，

ABEFNABEFGABEFN∩FGFFN⊄FGFNG⊂

⊂

所以平面FNG∥平面ABE，

因为平面PAD∩平面ABE＝AE，平面PAD∩平面FNG＝NG，所以AE∥NG，

因为N为AD的中点，所以G为ED的中点，即EG＝GD，

PG

又因为PE＝ED，所以＝3.

GD

．（分）（四川乐山三模）在三棱柱中，点在棱上，满足

1352024·ABC­A1B1C1DBB1VA­BCC1D

4→→

＝VABC­ABC，点M在棱A1C1上，且A1M＝MC1，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，

9111

NB

则＝(D)

NB1

A．2B．3

C．4D．5

12

解析：如图所示．因为VA­ABC＝VABC­A1B1C1，所以VA­BCCB＝VABC­A1B1C1，所以VA­BCCD

11131131

4432

＝VABC­ABC＝×VA­BCC1B1＝VA­BCCB，

911192311

2

所以S梯形BCC1D＝S四边形BCC1B1，

3

所以＝1四边形，则DB1＝2，设三棱柱的侧棱长为，则

SC1B1DSBCC1B1