2026年高考数学考前20天冲刺讲义（一）（原卷版）

目录

倒计时20天

➤解三角形与三角函数（解答题）………………01

聚焦高考常考的正弦余弦定理与解三角形综合7大考向10个核心考点

倒计时19天

➤立体几何（解答题）……………16

以空间几何体为载体，考查线面位置关系、空间角与体积计算等7大考向6个核心考点

倒计时18天

➤概率统计（解答题）…………37

聚焦统计图表分析、概率模型与分布列、统计案例应用4大考向21个核心考点

倒计时17天

➤导数及其应用（解答题）……………………55

聚焦导数单调性与极值最值、不等式证明与恒成立等综合问题6大考向7个核心考点

倒计时20天道阻且长，行则将至；行而不辍，未来可期。

——《荀子・修身》

解三角形与三角函数（解答题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①多以正弦定理、余弦定理、面积公式及边角互化为核心设问方式。

②与三角函数、平面向量、不等式的跨模块综合，是命题的延伸与创新方向。

►高考前沿：聚焦真实情境建模，考查边角关系求解与最值范围分析；突出逻辑推理与数学运

算核心素养。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1正弦定理

（1）基本公式：

abc

2R（其中R为ABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

（2）变形

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

abc

②sinA,sinB,sinC,

2R2R2R

③a:b:csinA:sinB:sinC

abcabcabacbc

④2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinAsinBsinAsinCsinBsinC

（3）应用：边角互化

①3a4b5c3sinA4sinB5sinC

②2a23b25c22sin2A3sin2B5sin2C

③2asinAbcosCccosB2sinAsinAsinBcosCcosBsinC

15

2sin2Asin(BC)sinAsinA或sinA0（舍）A或A.

266

终极考点2三角形中三个内角的关系

ABC

sin(BC)sinA，cos(BC)cosA，tan(BC)tanA

终极考点3余弦定理

（1）边的余弦定理

a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

（2）角的余弦定理

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosAcosBcosC

2bc，2ac，2ab

终极考点4三角形的面积公式

1

Sah

ABC2

111

SabsinCacsinBbcsinA

ABC222

终极考点5角平分线定理

ABAC

（1）在ABC中，AD为BAC的角平分线，则有

BDCD

BAC

2bccos

（2）

AD2

bc

（3）AD2ABACBDCD（库斯顿定理）

ABSABD

（4）

ACSACD

终极考点6张角定理

sinsinsin()

ABACAD

终极考点7倍角定理

在ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

(1)如果A2B,则有:a2b2bc

(2)如果C2A,则有:c2a2ab

(3)如果B2C,则有:b2c2ac

倍角定理的逆运用

在ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

(1)如果a2b2bc,则有:A2B。

(2)如果c2a2ab,则有:C2A。

(3)如果b2c2ac,则有:B2C。

终极考点8中线长定理

AD为BC的中线,则中线定理:AB2AC22AD2DC2

证明:

在ABD和ADC中,用余弦定理有:

AD2BD2AB2AD2DC2AC2

02222

2ADBD2ADDCABAC2ADDC

BDDC

终极考点9正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、性质对比

函数ysinxycosx

图象

定义域RR

值域[1,1][1,1]

奇偶性奇函数偶函数

周期性最小正周期：2π最小正周期：2π

π

当x2kπkZ时，y1；当当x2kπkZ时，y1；当

2maxmax

最值

π

x2kπkZ时，ymin1xπ2kπkZ时，ymin1

2

ππ

在2kπ,2kπkZ上单调

22在π2kπ,2kπkZ上单调递增；

单调性π3π

递增；在2kπ,2kπkZ上

22在2kπ,π2kπkZ上单调递减

单调递减

π

零点kπ，kZkπ，kZ

2

π

对称轴xkπ，kZxkπ，kZ

2

对称中

π

kπ,0kZkπ,0kZ

心2

解析式ytanx

图像

π

定义域xxR，且

xkπ,kZ

2

值域R

最小正周期π

奇偶性奇函数

ππ

单调性在每一个区间kπ,kπ上都单调递增

22

kπ

对称性对称中心,0

2

终极考点10三角函数的伸缩偏移变换及三角函数型的图象与性质

函数

yAsin(x)(0)

的图象变换

函数yAsin(x)B(A0,0)

定义域R

值域⑦

π

由x2kπ(kZ)，解得yAB

2max

最值

π

由x2kπ(kZ)，解得ymin

AB

函数2

yAsin(x)B最小正周期⑧T

(A0,0)的图象

当⑨(kZ)，且B0时，函数为奇函数；

性质奇偶性

当⑩(kZ)时，函数为偶函数

ππ

当2kπx2kπ(kZ)时，函数

22

单调性

π3⑪

当2kπxπ2kπ(kZ)时，函数

22

⑫

π

由xkπ(kZ)解得对称轴；由xkπ(kZ)

对称性2

解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为

⑬

112ππ

①||；②；③A；④；⑤；⑥A；⑦[AB,AB]；⑧；⑨kπ；⑩kπ；单调递增；单

2

调递减；B⑪⑫

⑬

真题精研--复盘经典把握规律

考向01正弦定理边角互化

1

1.（2025·北京·高考真题）在ABC中，cosA,asinC42．

3

(1)求c的值；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求BC边上的高．

102

条件①：a6；条件②：asinB；条件③：ABC的面积为102．

3

2.（2025·天津·高考真题）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知asinB3bcosA，c2b1，

a7．

(1)求A的值；

(2)求c的值；

(3)求sin(A2B)的值．

3.（2025·上海·高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c5．

asinBπ

(1)若,C，求a；

4bsinA2

(2)若ab20，求ABC的面积的最大值．

4.（2024·北京·高考真题）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A为钝角，a7，

3

sin2BbcosB．

7

(1)求A；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC的面积．

135

条件①：b7；条件②：cosB；条件③：csinA3．

142

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分．

解题妙法

三步解题法：

1.边化角：出现边的齐次式（如、等），将等代入，转化为三角方程。

2

2.角化边：出现正弦的齐次式（如�+��），将�=2�sin�等代入，转化为边的关系。

�

3.统一求解：利用三角恒等变换或代si数n�运+算s，in�结合内角si和n�=2�得到结果。

口诀：边角互化看齐次，正弦定理是钥匙；两边同除巧消元。

�+�+�=�

2�

考向02余弦定理

9a2

5.（2024·天津·高考真题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB，b5，．

16c3

(1)求a的值；

(2)求sinA的值；

(3)求cosB2A的值．

6.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC2cosB，

a2b2c22ab

(1)求B；

(2)若ABC的面积为33，求c．

7.（2023·全国乙卷·高考真题）在ABC中，已知BAC120，AB2，AC1.

(1)求sinABC；

(2)若D为BC上一点，且BAD90，求△ADC的面积.

8.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知ABC的面积为3，D

为BC中点，且AD1．

π

(1)若ADC，求tanB；

3

(2)若b2c28，求b,c．

解题妙法

三步解题法：

1.选形式：

已知三边求角：

222

�+�−�

已知两边及夹角求cos第�三=边：2��

2.代入计算：将已知边长和角度代入公2式，求2出余2弦值或边长。

�=�+�−2��cos�

3.定角/边：由余弦值结合确定角；或直接得第三边。

注意：大边对大角，余弦值为负时∘角为钝角。∘

0<�<180

考向03三角形面积及其最值

9.（2025·上海·高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c5．

asinBπ

(1)若,C，求a；

4bsinA2

(2)若ab20，求ABC的面积的最大值．

10.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC2cosB，

a2b2c22ab

(1)求B；

(2)若ABC的面积为33，求c．

b2c2a2

11.（2023·全国甲卷·高考真题）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2．

cosA

(1)求bc；

acosBbcosAb

(2)若1，求ABC面积．

acosBbcosAc

12.（2023·全国乙卷·高考真题）在ABC中，已知BAC120，AB2，AC1.

(1)求sinABC；

(2)若D为BC上一点，且BAD90，求△ADC的面积.

3

13.（2022·浙江·高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a5c,cosC．

5

(1)求sinA的值；

(2)若b11，求ABC的面积．

14.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c

31

为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知SSS,sinB．

12323

(1)求ABC的面积；

2

(2)若sinAsinC，求b．

3

AC

15.（2019·全国III卷·高考真题）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinbsinA．

2

（1）求B；

（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围．

解题妙法

三步解题法：

1.选公式：常用或（需简单代换推导）。

1���

2.建关系：利用正�、=余2�弦�定sin理�将面�积=表4达�为单变量函数（如用一角两边或一边两角）。

3.求最值：

利用基本不等式（如）

�+�2

或转化为三角函数��≤2求值域。

例：已知定值，求�常=用�sin𝜔+�。

11�+�2

�+��max�=2��sin�≤22sin�

考向04三角形的周长

16.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3cosA2．

(1)求A．

(2)若a2，2bsinCcsin2B，求ABC的周长．

17.（2022·全国乙卷·高考真题）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

sinCsin(AB)sinBsin(CA)．

(1)证明：2a2b2c2；

25

(2)若a5,cosA，求ABC的周长．

31

解题妙法

三步解题法：

1.表达周长：。

2.统一变量：

�=�+�+�

边化角：利用正弦定理等，得。

角化边：用余弦定理消元。

�=2�sin��=2�sin�+sin�+sin�

3.求范围/最值：结合内角和消去一角，转化为关于一个角的三角函数，利用有界性求值域；或用

基本不等式求最值。

技巧：若已知及，先用余弦定理求，再得周长。

�+���

考向05求角和三角函数的值

18.（2025·天津·高考真题）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知asinB3bcosA，c2b1，

a7．

(1)求A的值；

(2)求c的值；

(3)求sin(A2B)的值．

9a2

19.（2024·天津·高考真题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosB，b5，．

16c3

(1)求a的值；

(2)求sinA的值；

(3)求cosB2A的值．

20.（2023·天津·高考真题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c．已知a39,b2,A120．

(1)求sinB的值；

(2)求c的值；

(3)求sinBC的值．

1

21.（2022·天津·高考真题）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知a6,b2c,cosA.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2AB)的值.

解题妙法

三步解题法：

1.定定理：根据已知边角关系，选择正弦定理（边对角）或余弦定理（边夹角）。

2.列方程：代入数据，得到关于未知角或三角函数值的方程。

3.解并验：解方程（注意三角方程多解），再根据三角形内角范围（）及大边对大角

舍去增根。∘∘

0<�<180

提醒：出现时，若一般有两解，需结合边长关系判断。

sin�=�0<�<1

考向06中线、高线

1

22.（2025·北京·高考真题）在ABC中，cosA,asinC42．

3

(1)求c的值；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求BC边上的高．

102

条件①：a6；条件②：asinB；条件③：ABC的面积为102．

3

23.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在ABC中，AB3C,2sinACsinB．

(1)求sinA；

(2)设AB5，求AB边上的高．

24.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知ABC的面积为3，D

为BC中点，且AD1．

π

(1)若ADC，求tanB；

3

(2)若b2c28，求b,c．

解题妙法

三步解题法：

1.识别线段：

中线：连接顶点与对边中点。

高线：从向对边作垂线。

���

2.套公式：

ℎ��

中线长公式：（检验用，一般结合正余弦定理或平面向量正常计算）

1222

��=22�+2�−�

高线长公式：

2�

3.代入计算：利用已ℎ知�=边�角si或n�先=求�出sin面�积=�，再代公式得结果。

注意：中线公式中是中线所对的边，不要混淆字母。

�

�

考向07三角函数

1

25.（2025·全国二卷·高考真题）已知函数fxcos2x(0π),f0．

2

(1)求;

π

(2)设函数g(x)f(x)fx，求g(x)的值域和单调区间．

6

π

26.（2024·上海·高考真题）已知f(x)sin(x)，0

3

(1)设1，求解:yfx,x0,π的值域;

(2)aπ(aR),f(x)的最小正周期为π，若在xπ,a上恰有3个零点，求a的取值范围.

π

27.（2023·北京·高考真题）设函数f(x)sinxcoscosxsin0,||．

2

3

(1)若f(0)，求的值．

2

π2π2π

(2)已知f(x)在区间,上单调递增，f1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

333

个作为已知，使函数f(x)存在，求,的值．

π

条件①：f2；

3

π

条件②：f1；

3

ππ

条件③：f(x)在区间,上单调递减．

23

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分．

解题妙法

三步解题法：

1.化一形式：将所给函数化为或的标准形式（利

用辅助角公式、倍角公式等）。

�=�sin𝜔+�+��=�cos𝜔+�+�

2.整体代换：将看作整体，对应正弦函数的图象与性质：

求单调区间：令落在正弦函数的单调区间内，解出的范围。

𝜔+��=sin�

求对称轴/中心：令�得对称轴；得对�称中心。

�

求最值：由的范围�结=合2+正�弦�函数的有界性�。=��

3.周期与平移：

�

周期

2�

平移变�换=：“�左加右减，上加下减”，注意的影响。

口诀：化一标准是关键，整体代换解区间；周期振幅看系数，图象平移别混乱。

�

终极预测--压轴实战稳拿高分

1．（2026·浙江嘉兴·二模）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2ab，且

bsinC23sinB.

(1)求角C及边c的值；

(2)求ab的最大值.

2．（2026·陕西·二模）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，BAC120，AD为BAC的角

平分线，且AD2．

(1)若sinB2sinC，求a的大小；

(2)设M为BC中点，连接AM，ABC面积取得最小值时，求线段AM的长度.

π

3．（2026·广东佛山·二模）已知函数fx4sinxcosx1（0）在一个周期内的图象如图所示，

6

A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且ABC为等腰直角三角形.

(1)求fx的解析式，及fxm为偶函数时的最小正实数m；

(2)求ABAD的值.

c2acosB1

4．（2026·河北·一模）△ABC中，已知内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且满足.

c2

π

(1)当A时，求cosB；

3

(2)若a=2，当tanBA取最大值时，求c.

π

5．（2026·辽宁沈阳·三模）已知ABC的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，B，

2

a4，4bcosA3asinB，ABC内存在一点D使得AD5，BD2，

(1)求cosABD；

(2)求tanADC.

6．（2026·河北衡水·二模）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面积

3

Sa2b2c2.

4

(1)求角C的大小；

(2)若c3，求a2b2的取值范围.

π

7．（2026·辽宁大连·一模）已知函数f(x)2sin2xm，当x[0,π]时，f(x)的最小值为1．

6

(1)求函数f(x)在区间[,]内的零点个数；

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)的

4

值域和单调区间．

8．（2026·四川眉山·二模）在ABC中，已知内角A，B，C满足sin2AsinBC0．

(1)求A；

(2)设BC边上的中线为AD，若AD7，求ABC面积的最大值．

123

9．（2026·河北邢台·二模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，CACBab，cb.

33

(1)求cosA的值；

(2)若AB边上的高为26，求ABC的周长.

10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a,b,c，2c2acosB3b.

(1)求角A；

(2)若a1，bc23，cb，求AB边上的高.

11．（2026·广西河池·二模）如图，在ABC中，D为AC的中点，且ABCDBCπ．

BA

(1)求；

BD

(2)若AC3BC，求BCD．

12．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知ABC与ABD，点C与点D在直线AB的同侧，且边AC与边BD相

2π

交于点O，O为AC中点，DO3OB,AB4,ABC.

3

(1)若BD平分ABC，求AD的长；

(2)若BC3，求sinBAD的值.

13．（2026·河北沧州·二模）已知在ABC中，sinBsinCcos2B1，D是BC边上一点，AD是BAC的平分

线，且ADAC．

(1)求cosBAC；

BE

(2)设AEAD(01)，当λ为何值时，取得最大值?

CE

14．（2026·吉林·三模）在平面四边形ABCD中，AB2，AD4.

(1)若BC2CD2.

（i）若A，B，C，D四点共圆M，求AC；

（ii）求四边形ABCD面积S的最大值.

π2π

(2)若BAD，BCD，AC与BD交于点O.记CAD，求当为何值时，S△2S△.

33AODBOC

sinAsinB

15．（2026·湖南·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanC.

cosAcosB

(1)求C的值.

(2)设ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r.

（i）若R43，r3，求ABC的周长；

r

（ii）求的最大值.

R

倒计时19天追风赶月莫停留，平芜尽处是春山。

——《格言联璧》

立体几何（解答题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①以空间位置关系的证明（平行、垂直）和空间角（线面角、二面角）计算为核

心，向量法是通法，几何法重思维。难度分层：第1问多为中档题（证明），第2问为中等偏

上（计算）。

②动态翻折问题、非标准几何体（棱台、组合体）考查频率上升，2026届预计延续此趋势，

突出直观想象与逻辑推理。

►高考前沿：聚焦“动点+最值”问题（如线段长度最小、角度变化范围），与函数或导数浅层

结合；强调建系策略与运算优化，避免坐标系的盲目选择。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1空间中的平行关系

（1）线线平行

（2）线面平行的判定定理：

平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行

（3）线面平行的性质定理

若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行

（4）面面平行的判定定理

判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行

判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行

（5）面面平行的性质定理

性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行

终极考点2空间中的垂直关系

（1）线线垂直

（2）线面垂直的判定定理

一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直

（3）线面垂直的性质定理

性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行

（4）面面垂直的判定定理

一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的

垂线，则面面垂直）

（5）面面垂直的性质定理

两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面

终极考点3异面直线所成角

|ab||xxyyzz|

cos|cosa,b|=121212

|a||b|x2y2z2x2y2z2

111222

（其中（090）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

终极考点4直线AB与平面所成角

ABm

sin(m为平面的法向量).

|AB||m|

终极考点5二面角l的平面角

mn

cos（m，n为平面，的法向量）.

|m||n|

终极考点6点B到平面的距离

|ABn|

d（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

|n|

真题精研--复盘经典把握规律

考向01空间中平行关系的证明

1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，△ADC与BAC均为等腰直角三角形，

ADC90，BAC90，E为BC的中点．

(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面PAB；

(2)若PA平面ABCD，PAAC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,DAB90，F为CD的中点，点E

在AB上，EF//AD，AB3AD,CD2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得面EFDA与

面EFCB所成的二面角为60．

(1)证明：AB//平面CDF；

(2)求面BCD与面EFDA所成的二面角的正弦值．

3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PAAC2，BC1,AB3．

(1)若ADPB，证明：AD//平面PBC；

42

(2)若ADDC，且二面角ACPD的正弦值为，求AD．

7

4．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，BC//AD，ABBC1，AD3,点E在AD上，

且PEAD，PEDE2．

(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．

(2)若AB平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

5．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，AB//CD,CD//EF，ABDEEFCF2，CD4,ADBC10，

AE23,M为CD的中点.

(1)证明：EM//平面BCF；

(2)求点M到ADE的距离.

6．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边

形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD4,ABBCEF2，ED10,FB23，M为AD

的中点．

(1)证明：BM//平面CDE；

(2)求二面角FBME的正弦值．

7．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，ABAD,AB//DC，

ABAA12,ADDC1．M,N分别为DD1,B1C1的中点，

(1)求证：D1N//平面CB1M；

(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；

(3)求点B到平面CB1M的距离．

解题妙法

三步解题法：

1.选判定定理：

线线平行→线面平行：找平面内一条直线与已知直线平行。

线面平行→面面平行：找两条相交直线分别平行于另一平面。

2.构造辅助线/面：

利用中位线、平行四边形对边、比例线段创造平行条件。

连接中点、作平行线、延长交线等。

3.严格推证：按定理格式书写，强调“线不在面内”“面内相交”等条件，避免跳步。

口诀：中位平行记心间，线线推线面，线面推面面，缺一条件不算完。

考向02空间中垂直关系的证明

8．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD,BC//AD．

(1)证明：平面PAB平面PAD；

(2)设PAAB2,BC2,AD13，且点P，B，C，D均在球O的球面上．

（i）证明：点O在平面ABCD内；

（ⅱ）求直线AC与PO所成角的余弦值．

9．（2025·天津·高考真题）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E、F分别为A1D1,C1B1中点，CG3GC1．

(1)求证：GF平面FBE；

(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；

(3)求三棱锥DFBE的体积．

10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，AB8，CD3，AD53，ADC90，

21

BAD30，点E，F满足AEAD，AFAB，将△AEF沿EF翻折至PEF，使得PC43．

52

(1)证明：EFPD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

11．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C平面ABC,ACB90．

(1)证明：平面ACC1A1平面BB1C1C；

(2)设ABA1B,AA12，求四棱锥A1BB1C1C的高．

12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥ABCD中，DADBDC，BDCD，ADBADC60，

E为BC的中点．

(1)证明：BCDA；

(2)点F满足EFDA，求二面角DABF的正弦值．

解题妙法

三步解题法：

1.选判定定理：

线面垂直→线线垂直：一条线垂直平面，则垂直面内所有直线。

线线垂直→线面垂直：一条线垂直平面内两条相交直线。

面面垂直→线面垂直：交线垂直线，则面内线垂直另一面。

2.找垂直关系：

已知条件中的等腰三角形底边中线、菱形对角线、矩形邻边、直径所对圆周角等。

勾股定理逆定理证直角。

3.逻辑串联：从已知垂直出发，层层推导，最后得到目标垂直。

技巧：证明线面垂直，关键是找到平面内两条相交直线均与目标直线垂直。

考向03线面角及其方程思想的应用

13．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥PABCD中，△ADC与BAC均为等腰直角三角形，

ADC90，BAC90，E为BC的中点．

(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面PAB；

(2)若PA平面ABCD，PAAC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

14．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥PABCD,O为底面ABCD的中心．

(1)若AP5,AD32，求POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

(2)若APAD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．

15．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1C底面ABC，ACB90,AA12，

A1到平面BCC1B1的距离为1

(1)证明：A1CAC；

(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

解题妙法

三步解题法：

1.定角：直线与平面所成角是直线与其在平面内投影的夹角。找到斜足和垂足，作出（或指出）

线面角。

2.建系求角（方程法）：

建立空间直角坐标系，写出直线方向向量和平面法向量。

线面角满足：sin=。�