【课件】第2课时 直角三角形斜边上的中线性质 2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

1.等腰三角形的性质有哪些？2.30°角的直角三角形的特殊性质你还记得吗？等边对等角、三线合一30°角所对直角边是斜边的一半出示直角三角形教具：“直角三角形斜边上的中线，和斜边会有什么数量关系？”18.1.2第2课时

直角三角形斜边上的中线性质1.理解直角三角形斜边上中线的性质，能应用其解决其他多边形的证明与判定等问题.已知矩形

ABCD

中，AC=BD，AO

=

OC，BO

=OD.若擦去半个矩形，你发现

BO

与斜边

AC

有什么关系?ABCDO擦去半个矩形ABCO

如何证明？证明：如图，延长

BO

至点

D，使

OD=OB，连结

AD

和

CD.在四边形

ABCD

中，∵OA=

OC，OB=OD，∴四边形

ABCD

是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴四边形

ABCD

是矩形.从而

AC=BD

，BO=BD=AC.如图

，在

Rt△

ABC中，BO为斜边

AC

上的中线，求证：ABCOD直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何语言描述：ABCO∵

BO

是

Rt△ABC

斜边

AC

上的中线

1.如图，在Rt△ABC

中，∠ABC

＝90°，∠C

＝60°，D

为边AC

的中点，且BD

＝2，则BC

的长为()A.4

B.3

C.2

D.1ABCDC例题：如图，已知

BD，CE是△ABC不同边上的高，点

G，F分别是

BC，DE的中点，试说明

GF⊥DE.解：连接

EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵点

G是

BC的中点，∴EG＝

BC，DG＝BC.∴EG＝

DG.又∵点

F是

DE的中点，∴GF⊥DE.

在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．

当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．2.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形

AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分

AD.解：(1)∵AD是△ABC的高，E、F分别是

AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长：AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段

AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分

AD.试一试

写出上述结论的逆命题，观察下图，试判断该逆命题是否成立.ABCD原命题逆命题

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。分析

图中，CD=AD=BD.即边

AB上的中线CD

将整个三角形分成了两个等腰三角形利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明∠ACD

与∠BCD的和为90°，即该三角形确实是一个直角三角形.ABCD命题证明：如图

，在△ABC中，CD为斜边

AB

上的中线，AB=2CD

，求证：△ABC为直角三角形.证明：∵CD

是

AB中线，∴AD=BD=AB.又∵AB=2CD，

∵AD=CD，BD=CD，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD.故

CD=AB，

即

AD=BD=CD.在

△ABC

中，∠A+∠B+∠ACB=180°，且∠ACB=∠ACD+∠BCD，∴∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°，∴2∠ACD+2∠BCD=180°，即∠ACD+∠BCD=90°.∴∠ACB=90°，即

△ABC

为直角三角形.几何语言：判定定理：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形.

∴△ABC为直角三角形.ABCO直角三角形斜边上的中线的性质性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定定理：一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形1.如图，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB

于点

D，E

是

AB

的中点.若AB=8，则

DE

的长为()A.1B.2C.4D.6B2.如图，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD

为

AB

边上的中线，DE⊥AC，则图中与

∠A

互余的角共有().A.2个B.3个C.4个

D.5个C3.如图，△ABC

中，AB=AC=10，BC=6，AD平分∠BAC

交

BC于点

D，