2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离

.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离基础过关练题组一点到直线的距离1.(2022浙江温州新力量联盟期中)点P(3,2)到直线x-y-3=0的距离为()A.1B.22.(2021山东菏泽郓城一中月考)已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为()A.2B.93.(2022辽宁沈阳一二零中学期中)已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离d的最大值为()A.234.(2022广东八校期中)若点A(-2,-1)与点B(3,2)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为.

5.(2022湖北武汉武钢三中月考)点P在曲线y=x2+1上,当点P到直线y=2x-5的距离最小时,点P的坐标是.

6.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为.

7.已知△ABC的三个顶点A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).(1)BC边的高所在直线方程为;

(2)△ABC的面积为.

题组二两条平行直线间的距离8.(2022江西南昌八一中学月考)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为()A.8B.4C.89.(2022山东济宁期中)P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.13510.(2022安徽安庆二中期中)两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则a,d的值分别为()A.6,6C.-6,511.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为()A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,17]12.(2021广东湛江一模)一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于5的直线方程为.

13.(2022北京首师大附中期中)已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.能力提升练题组距离公式的应用1.(2021宁夏银川二中期末)过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)两点到直线的距离相等,则这条直线的方程是()A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.2x+y-4=0或x+2y-5=0D.3x+2y-7=0或4x+y-6=02.(2021浙江温州新力量联盟期中)若点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.323.(2021北京八中期末)在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.44.(2020辽宁省实验中学期中)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B32A.130C.135.(2022浙江宁波北仑中学期中)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是.

6.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一点P,使得点P同时满足:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是27.(2022山东济宁邹城二中月考)已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.(1)证明:直线恒过点P;(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少?(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.答案全解全析基础过关练1.B点P到直线的距离d=|3-22.B|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,∴|PQ|min=|3×(-23.B直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0可化为x+y-2+λ(3x+2y-5)=0.由x+y-所以点P到直线l的距离d≤|PQ|,故dmax=|PQ|=(-2-14.答案-35解析由题意得|-2a-解得a=-355.答案(1,2)解析设P(x0,x02+1),所以点P到直线y=2x-5的距离d=|2x0-(x02+1)-5|6.答案2解析由x-2y因为|PQ|=(1-07.答案(1)x+y-3=0(2)8解析(1)设BC边的高所在直线为l.易知kBC=3-(-1)又点A(-1,4)在直线l上,所以直线l的方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.(2)结合(1)知BC所在直线的方程为y+1=x+2,即x-y+1=0.∴点A(-1,4)到直线BC的距离为|-1-4+1又|BC|=(-2-2∴S△ABC=12×22×428.D3x+4y-7=0可化为6x+8y-14=0.易知l1∥l2,所以直线l1与直线l2之间的距离d=|-14-19.C易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0平行,3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,所以|PQ|min=|1+24|610.B根据直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0平行,可得a2=-3-故两条平行直线为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,故d=|9-411.A易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离.由两点间的距离公式得|PQ|=(2+1)2+(-12.答案x-2y+c=0(c<-2或c>8)(写出符合条件的一条直线方程即可)解析因为所求直线与x-2y+3=0平行,所以设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).因为所求直线与x-2y+3=0的距离大于5,所以|c-3故与直线x-2y+3=0平行且距离大于5的直线方程为x-2y+c=0(c<-2或c>8).13.解析①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0.因为直线l1过点A(0,1),所以点A到直线l2的距离d=|-1-5所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.②若直线l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,满足条件.综上所述,l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.能力提升练1.D由题意知所求直线的斜率存在,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.由题意得|2k-3-故所求直线的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.2.A由题意知,点M在直线l1与l2之间且在与直线l1,l2距离相等的直线上,设其方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c3.C直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.作出点P满足的图形如图所示.旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.4.B如图,由平行线间的距离公式得|PQ|=32过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.设A'(x0,y0),则x所以A'-3连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,|A'B|=13,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥322+故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为322+5.答案2+2解析点(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离d=|cos|cosθ+sinθ-2|=2sin故当sinθ+π4=-1时,dmax=|-26.解析能.理由如下:设P(x0,y0).若点P满足条件②,则|2x0-y0+3|22+(-1若点P满足条件③,则|2x0-y0+3|22+又P是第一象限的点,∴3x0+2=0不合题意,舍去.由4x0-由12x0∴满足题意的点P的坐标为197.解析(1)证明:直线方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0可化为(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0.由-x+2所以直线恒过点P