3.1.1 椭圆及其标准方程

第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程基础过关练题组一椭圆的定义及其应用1.(多选)(2021山东莱州一中开学测试)设F1,F2为定点,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹可能是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段2.(2022北京通州月考)设椭圆x22+y2=1的两个焦点为F1,F2,且点P的坐标为22,3A.1B.2C.2D.223.(2022宁夏银川一中期中)设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PFA.5B.4C.3D.14.(2022湖北仙桃中学、天门中学月考)若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2,B为AFA.1B.2C.3D.45.(2021吉林长春外国语学校月考)已知F1,F2是椭圆x29+y23=1的两个焦点,过F1的直线交此椭圆于A,B两点.若|AF题组二椭圆的标准方程6.(2021安徽蚌埠二中月考)若点M(x,y)满足方程x2A.x2C.y27.(2022广西玉林期中)焦点坐标为(0,-4),(0,4),且过点(0,6)的椭圆方程为()A.x2C.x28.(2022重庆巴蜀中学开学考试)某椭圆过点P35,-4A.y225+xB.x225+yC.x225+y2=1或y2D.以上都不对9.(2021河北邯郸一中月考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F10.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,a=2b,点P在椭圆上,且PF题组三椭圆标准方程的应用11.(2022宁夏海原一中期中)椭圆x2A.(-14,0),(B.(-2,0),(2,0)C.(0,-14),(0,D.(0,-2),(0,2)12.(2022四川成都树德中学月考)已知椭圆x2A.4B.5C.7D.813.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F14.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.15.(2022河南南阳月考)已知椭圆M与椭圆N:x216+(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.16.(2021上海南洋模范中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M1,32(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且PF1·能力提升练题组一椭圆的定义及其应用1.(2022河北邯郸八校联盟期中)如图,椭圆C:x236+y29=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则|P1F|+|P2F|+|PA.20B.153C.36D.302.(2021浙江丽水五校共同体阶段性考试)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()A.x2C.x23.(2022重庆第七中学校期中)已知A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,点P是椭圆上的动点,则|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为()A.6+2C.6+224.(多选)(2022湖北黄石期中)已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,FA.点P的纵坐标为3B.∠F1PF2>πC.△F1PF2的周长为42+4D.△F1PF2的内切圆半径为3题组二椭圆的标准方程及其应用5.(2022黑龙江黑河期中联考)对于曲线C:x24-A.①③B.②③C.①②D.①②③6.(2022湖北新高考协作体联考)点P为椭圆x2A.37.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,(1)求圆心C的轨迹E的方程;(2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|.

答案全解全析基础过关练1.AD由椭圆定义可知,当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆;当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时,动点M的轨迹是线段F1F2;当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时,轨迹不存在.故选AD.易错警示椭圆的定义中,动点到两定点距离之和是常数,且必须大于两定点的距离,这是判断曲线是不是椭圆的限制条件.2.D易得点P在椭圆上,a=2,∴|PF1|+|PF2|=2a=22.故选D.3.B由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=25,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为12·|PF1|·|PF2|=14.B由椭圆方程x29+y设椭圆的另一个焦点为F2,连接AF2.∵A到焦点F1的距离为2,∴|AF2|=6-2=4,∵O是F1F2的中点,B是AF1的中点,∴OB是△AF1F2的中位线,∴|OB|=|A5.答案4解析由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+|AF2|+|BF2|=4a=12,因此|AB|=12-(|AF2|+|BF2|)=4.6.C由题意及椭圆的定义知,动点M(x,y)的轨迹是以(0,±2)为焦点的椭圆,且2a=12,即a=6,则b2=a2-c2=36-4=32,故动点M的轨迹方程为y236+7.D由题意得椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以椭圆的方程为y236+8.A设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m+16n=1,1625m+9n=1,9.答案x29+解析记O为坐标原点,连接PO,则|PO|=95+165=5=c,故F1(-5,0),F∴|PF1|+|PF2|=-5-3∴椭圆的标准方程为x29+10.解析∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,又|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,∴b2=1,∴a2=4.∴椭圆的标准方程为x24+y11.D椭圆x25+y212.D依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得6<m<10.由焦距为4,得c=2.由c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.13.答案120°解析由椭圆方程知a=3,b=2,∴c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,∴|F1F2|=27.∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.∴cos∠F1PF2=|=42+2又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.14.解析设点M的坐标为(x,y).根据题意,得(x-2)2+y2|8-15.解析(1)由题意知椭圆N的焦点坐标为(-2,0),(2,0).设椭圆M的方程为x2a2则a2-b2=4解得b2=1或b2=-165(舍去),所以a2故椭圆M的标准方程为x25+y(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为12×4×|y0|=1,所以y0=±1又x025+y02解得x0=±152所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为152,1152,-116.解析(1)由题意得2c=2∴椭圆C的标准方程为x24+y(2)设P(x,y)(x>0,y>0),又F1(-3,0),F2(3,0),∴PF1=(-3-x,-y),PF∴PF1·PF2=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=x又x24+y2=1,即y2=1-∴PF1·PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2∵x>0,∴0<x≤3,∴点P的横坐标的取值范围是(0,3].能力提升练1.D由题意知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称.设椭圆的左焦点为F1,连接P1F1,P2F1,则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P4F|=2a,|P3F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30.故选D.2.B由题意得|BC|=8,故|AB|+|AC|=12>|BC|.所以顶点A的轨迹是以B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6)).设椭圆的方程为y2a2所以b2=a2-c2=20.故顶点A的轨迹方程为y236+易错警示本题隐含A,B,C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉y轴上的两点,防止漏掉x≠0导致错误.3.A由已知可得x29+设F2为椭圆的右焦点,则F2(2,0).连接PF2,AF2.∴|AF2|=12+1根据椭圆的定义得|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|.根据三角形的任意两边之差小于第三边,有||PA|-|PF2||<|AF2|=2.当P,A,F2三点共线时,||PA|-|PF2||=|AF2|=2.∴-2≤|PA|-|PF2|≤2.∴2a-2≤|PA|+|PF1|≤2a+2,即6-2≤|PA|+|PF1|≤6+2.∴|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为6+2,6-2.故选A.方法总结与|PF1|,|PF2|的和、差有关的最值问题,一般利用平面几何知识,转化为三点共线问题.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F(1)-|QF1|≤|MQ|-|MF1|≤|QF1|;(2)2a-|QF1|≤|MF2|+|MQ|≤2a+|QF1|.4.CD由已知得a=22,b=2,c=2.不妨设P(m,n),m>0,n>0,则S△F1PF∴m28+3224∴|PF1|2=142+2|PF2|2=142-∴|PF1|2+|PF∴cos∠F1PF2=|P∴∠F1PF2<π2△F1PF2的周长为2a+2c=42+4,故C正确.设△F1PF2的内切圆半径为r,则12r·(42+4)=3,∴r=3225.B①当4-k>0,②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则4-k>k-1>0,解得1<k<52③由①知,当k∈1,52∪56.A设P(x,y)(x>0,y>0).因为x24+y23=1≥2x2当且仅当x=2,y=62所以S△PMO=12xy≤32,所以△PMO的面积的最大值为7.解析(1)如图,设动圆C的半径为R.由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C