第1课时 椭圆的简单几何性质

.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质基础过关练题组一椭圆的简单几何性质及其应用1.(多选)(2022河北保定唐县第一中学期中)若椭圆C:x2A.m=2B.C的长轴长为3C.C的短轴长为22D.C的离心率为32.(2022北京第一七一中学期中)已知P1(1,1),P2(0,1),P3-P4A.8B.6C.4D.23.已知F1,F2分别为椭圆x216+y2A.6B.15C.674.(2022江苏连云港期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.他用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的截口曲线是圆;把平面再渐渐倾斜,得到的截口曲线是椭圆.若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ,且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为x2A.x2C.x25.(2022四川资阳中学期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为FA.23题组二求椭圆的离心率的值或取值范围6.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为()A.1C.27.(2022陕西西安七校联考)已知椭圆x2A.-∞,C.08.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是FA.0C.19.比较椭圆①x2+9y2=36与②x29+10.在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:x2a211.(2022吉林田家炳中学期中)设e是椭圆x24+y题组三椭圆的简单几何性质的综合运用12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为A.x23+C.x213.(多选)(2022重庆凤鸣山中学期中)已知F1,F2为椭圆x2A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1||MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为x22+14.(2022河南濮阳范县第一中学月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为34,点P为椭圆上一点,若∠F1PFA.x2C.x215.(2022四川永安中学期中)如图,椭圆x2a2+y2b能力提升练题组一椭圆的几何性质及其应用1.(多选)若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.aC.a12-a22D.a1-a2<b1-b22.(2022四川成都树德中学期中)已知两定点A(-3,0)和B(3,0),动点P(x,y)在直线l:y=-x+5上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的短轴长的最小值为()A.22C.263.(2021四川成都七中期中)已知椭圆x2a2+yA.(1,3)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(3,+∞)4.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为.

5.(2022安徽宣城七校联考)已知椭圆x24+y23=1的右焦点为F,点M在☉O:x题组二求椭圆的离心率的值或取值范围6.如图所示,一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角θ=60°的平面所截,截口曲线是一个椭圆,则椭圆的离心率为()A.27.(2022福建莆田二中月考)过椭圆C:x2a2A.1C.08.(2021浙江丽水五校共同体阶段性考试)已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2bA.0C.19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上一点,M为线段F1=πA.6C.510.(2022河南三门峡月考)黄金分割比例5-12①椭圆x2②若椭圆x2a2③设椭圆x2④设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2,若|F1F其中说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.4题组三椭圆几何性质的综合运用11.(2021浙江丽水五校共同体期中)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于D,E两点,|DF1|=5|F1E|,|DF2|=2,且DF2⊥x轴.若点P是圆O:xA.[3,5]B.[2,5]C.[2,4]D.[3,4]12.(多选)(2021江苏泰州中学检测)已知椭圆x2A.当m=0时,△FAB的面积为3B.不存在m,使△FAB为直角三角形C.存在m,使四边形FBEA的面积最大D.存在m,使△FAB的周长最大13.(2022安徽师范大学附属中学期中)已知点P在椭圆x216+y2

答案全解全析基础过关练1.ACD由已知可得m2-1-m∴a2=3,b2=2,c2=1,∴长轴长2a=23,短轴长2b=22,离心率e=ca=13=2.D由于椭圆关于y轴对称,且P3-1,32,P41,32关于y轴对称,故P3若P1(1,1)在椭圆上,则1a2+1b2=1.因为P3,P4都在椭圆上,所以1a因此P2(0,1),P3-1,32,P41,32三个点在椭圆上,故1b23.D由椭圆方程x216+y29=1得A(0,3),F1(-7,0),F∴|F1F2|=27.∴S△AF1F2=12|F1F2|·|yA4.A由题意知椭圆的焦点在x轴上,故排除B,D.∵矩形ABCD的四边与椭圆相切,∴矩形的面积为2a·2b=144,即ab=36.在椭圆x281+在椭圆x2100+5.B令O为坐标原点.由∠F1PF2=120°知∠PF1O=30°,又F1(-3,0),∴|PO|=|F1O|tan30°=3,即b=3,∴a2=b2+c2=3+32=12,∴长轴长2a=43.故选B.6.B椭圆的方程化为标准形式为x2m2∴a2=m2,b2=m3,∴c2=a2-b2=m6,∴e2又0<e<1,∴e=337.C由题意得椭圆的长半轴长为b,短半轴长为3,所以离心率e=b-9b=b-9b=1-8.C由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即23a≤2c,所以e≥13,又0<e<1,所以9.答案①解析x2+9y2=36化为标准形式为x236+y24=1,故离心率e1=x29+y25=1的离心率e因为e1>e2,所以①更扁.10.答案2解析依题意得b=c,所以b2=c2⇒a2-c2=c2⇒a2=2c2⇒e2=c2a2又e=ca>0,所以e=211.解析当0<k<4时,e=ca=4-k即12<4-k当k>4时,e=ca=k-4即12<k-4k<1⇒14<k-4k<1⇒14<1-4综上,实数k的取值范围为(0,3)∪16312.A由△AF1B的周长为43及椭圆的定义可知4a=43,∴a=3.∵e=ca=33,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为x213.BCD由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,因此F1(-1,0),F2(1,0).选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误.选项B中,|MF1|·|MF2|≤|MF1|+选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,令M(0,3),则tan∠F1M∴∠F1MF2选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,∴|x2-x12|=2,即x12=x2-2或又x124+y23=1,∴x2-化简得x26+2y29故选BCD.14.A易知△F1PF2中,内切圆半径r=|PF1|+|PF2|-|F1F2|15.解析由题易知A(a,0),F(-c,0).∵e=ca=1设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c.∵PF=(-c-x0,-y0),PA=(a-x0,-y0),∴PF·PA=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)=-ac+cx0-ax0+x02=-ac+cx0-ax0+x02+b2=c2a2x0=19x02-(a-c)x0+a=19x02=19(x0-9c)2-4c2∴当x0=-3c时,PF·PA有最大值,且最大值为12c2,∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,∴椭圆的方程为x29+能力提升练1.AB依题意,e=c1a1=c2a2,即1-b1a12=1-b2a22,所以b1a1=b2a2,所以a1a2=b1b2,因此B正确;因为a1>a2,所以b1>b2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设b1a1=b2a2=m,其中0<m<1,则有(a12-b12)-(a22-b22)=(1-m2)(a12-2.B设点A(-3,0)关于直线l:y=-x+5的对称点为A'(x0,y0),则y0-0根据椭圆的定义可知,2a=|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|=(5-3当A',P,B三点共线时,长轴长2a取最小值217,即amin=17,又a2=b2+c2且c=3,所以b=a2-c2=a2-93.A因为b>3c,所以a2-c2>3c,即a2>4c2,所以0<e=易知m=a+c,n=a-c,∴mn=a+ca-由0<e<12得12<1-e<1,所以1<11-e<2,所以2<24.答案x25+y2=1或y2解析直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0).当焦点在x轴上时,设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),由题意知,c1=2,b当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为x2b22+y2a22=1(a2>b2>0),由题意知,b2=2,c故椭圆的标准方程为x25+y2=1或y2易错警示当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时要防止遗漏导致错误.5.答案4解析由椭圆方程得F(1,0).设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,则|PF|2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+3-34x12=14易知x1<2,∴|PF|=2-12x1.同理,|QF|=2-12x又|PM|2=|OP|2-(3)2=x12+y1∴|PM|=12x1.同理,|QM|=12x∴△PFQ的周长为2-12x2+2-12x1+12x2+1解题模板椭圆上一点到焦点的距离为焦半径,与两条焦半径有关的问题通常用椭圆的定义求解;与一条焦半径有关的问题常用焦半径公式求解,点P(x1,y1)到左焦点F1(-c,0)的距离为|PF1|=a+ex1,到右焦点F2(c,0)的距离为|PF2|=a-ex1.6.B由题意易知椭圆的短半轴长b=4.∵截面与底面所成的角θ=60°,∴椭圆的长轴长2a=2×4cos60所以c=a2-b2=所以离心率为ca=4387.B由题意可得A(a,0).因为点B在x轴上的射影恰好为左焦点F(-c,0),所以点B的横坐标为-c.将x=-c代入x2a2+y2b2=1中,可得因为14<k<23,所以y=-b2所以k=-b2a-c-a所以14<1-e<23,解得138.A设点P的坐标为(xP,yP).由题意得12×(2a+2c)×22c=12∴(a+c)×c=2c×|yP|≤2bc,∴a+c≤2b,∴(a+c)2≤2b2,∴a2-2ac-3c2≥0,∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,∴0<e≤139.B设|AF1|=r1,|AF2|=r2,在△F1AF2中,由余弦定理得r12+r22-2r1r2cosπ3=4c2,即r12+r22-r1r2=4c2,则(r1+r2)2-3r1r2=4c2,所以3r1r2=4a2-4c2.易知S△F1AF2=S△F1AM+S△F2AM,所以12r1r2sinπ3=12r1|AM|sinπ6+12r2|AM|sinπ6,化简并整理,得3r10.C①由题意得a2=5+1,b2=2,故e=1-b2a2=5-12,故椭圆x22+y25+1=1是“黄金椭圆”;②b2=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-1=0,解得e=5-12或e=-5-12(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;③由∠ABF=90°得(a+c)2=a2+b2+b2+c2,化简可知e11.A不妨设D(c,2),则E-7将D,E的坐标分别代入椭圆方程,得c2a2+2b2=1所以椭圆方程为x28+所以椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).由P在圆x2+y2=1上,设P(cosθ,sinθ),所以|PF1|·|PF2|=(cosθ=25-16cos2θ12.AC如图所示.对于A选项,当m=0时,直线为x=0,代入椭圆方程得y=±3,∴S△FAB=2×3×1×12=3,故A正确;对于B选项,当m=0时,∠AFE=π3,当m=1时,∠AFE<|AE|-|BE|,∵|AE|+|BE|≥|AB|,∴|AB|-|AE|-|BE|≤0,当且仅当AB过点E时取等号,∴4a+|AB|-|A