2.1.1 倾斜角与斜率

第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率基础过关练题组一直线的倾斜角与斜率1.(多选)下列说法中正确的是()A.任何一条直线都有唯一的倾斜角B.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等C.若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为αD.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)2.(2022北京贸大附中质检)已知直线l的倾斜角为α-15°,则下列结论中正确的是()A.0°≤α<180°B.15°<α<180°C.15°≤α<180°D.15°≤α<195°3.直线l的倾斜角是斜率为33A.1B.34.(2022福建龙岩长汀龙宇中学期中)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k25.(2022辽宁沈阳二中段考)已知直线l的斜率为k,倾斜角为α,若45°<α<135°,则k的取值范围为()A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)6.(2022山东东营一中月考)设直线l的斜率为k,且-1≤k<3,则直线l的倾斜角α的取值范围为()A.0C.π题组二直线的斜率公式及应用7.(2022吉林长春外国语学校月考)若直线l经过原点和(-1,1),则直线l的斜率为()A.0B.1C.-1D.不存在8.(2021安徽亳州二中期末)已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,x),若A,B,C三点共线,则x的值为()A.2B.-2C.4D.-49.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为.

10.(2022山东菏泽一中月考)已知直线l的一个方向向量为d=(3,-4),则直线l的斜率为.

11.(2022江苏南京三校联考)若A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三点能构成三角形,则实数k的取值范围为.

能力提升练题组一直线的倾斜角与斜率1.(2021湖南长沙雅礼中学期末)若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.0≤α≤π4C.π2.(2022天津新华中学月考)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是π4A.(0,2]B.(0,4)C.[2,4)D.(0,2)∪(2,4)3.(2021黑龙江哈尔滨六中开学考试)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围为.

题组二直线斜率的综合运用4.(2022辽宁葫芦岛检测)王老师在课堂上与学生探究直线时,有四位同学分别给出了一个结论.甲:直线经过点(1,2).乙:直线经过点(3,9).丙:直线经过点(0,-1).丁:直线的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁5.(2022浙江台州椒江书生中学月考)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则yxA.1B.356.(2021安徽六安一中期末)如图,在矩形ABCD中,BC=3AB,直线AC的斜率为33A.37.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为.

8.(2022辽宁沈阳八十三中期初)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.

答案全解全析基础过关练1.ADA、D显然对;若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,故B错误;若一条直线的斜率为tan(-60°)=-3,则此直线的倾斜角为120°,故C错误.2.D∵直线的倾斜角θ的取值范围是0°≤θ<180°,∴0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°.故选D.3.B易知斜率为33∴直线l的倾斜角为60°,∴直线l的斜率为tan60°=3.故选B.易错警示倍数关系指的是倾斜角而不是斜率.4.D由题图可知,直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;直线l2与直线l3的倾斜角为锐角,且直线l2的倾斜角较大,所以k2>k3>0,所以k2>k3>k1.5.B由45°<α<135°可知,k>tan45°=1或k<tan135°=-1,所以k的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.6.D由-1≤k<3,得-1≤tanα<3,又α∈[0,π),∴α∈0,π3故选D.7.C直线l的斜率为1-8.C由题意得kAB=2-10-(-1)=1.因为A,B,C三点共线,所以k规律方法用斜率解决三点共线的方法9.答案(3,0)或(0,-3)解析设点P的坐标为(x,0),则0-(-设点P的坐标为(0,y),则y-(-综上,点P的坐标为(3,0)或(0,-3).10.答案-4解析设直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量n=(1,k).又直线l的一个方向向量为d=(3,-4),∴n∥d,即1×(-4)-3k=0,解得k=-4311.答案k≠1解析由于A,B,C三点能构成三角形,故kAB≠kAC,即k-1-能力提升练1.C由题意可知直线l的斜率k=1+m22-1=1+m22.B当直线的倾斜角α的取值范围是π4,π2∪π2,3π4综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.易错警示已知倾斜角的取值范围确定斜率的范围时,要注意倾斜角的取值范围中是否含有90°的情况,若有,斜率的范围需分成两段.3.答案[0,2]解析当直线l的倾斜角为0°时,斜率为0;当直线经过原点时,斜率为2.∵直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,∴直线l的斜率的取值范围为[0,2].4.B假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁同学的结论正确,由乙、丙同学的结论正确可知直线的斜率k=9-(-1)5.Cyx-3表示过点P(x,y)与点(3,0)的直线的斜率.记点(3,0)为C,则kAC=3-02-3=-3,kBC=2-0-6.A在Rt△ABC中,∠ABC=π2,BC=3AB,所以tan∠ACB=ABBC=33,即∠ACB=π6.设直线AC的倾斜角为θ,则tanθ=33,直线BC的倾斜角为θ+π6,故kBC=tan7.答案1信息提取①目标球从A(-2,3)无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点反弹后,经过B(5,7).数学建模将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A',P,B三点共线或A,P,B'三点共线.再用所学公式解决问题.解析设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P=0-(-3)x-(-2)=3∵A',B,P三点共线,∴kA'P=kA'B,即3x+2=107故点P的坐标为110解题模板求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点向P