1.1.2 空间向量的数量积运算

.1.2空间向量的数量积运算基础过关练题组一数量积的概念及其运算1.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是空间中相互垂直的单位向量,则a·b=()A.1B.2C.3D.42.(2022福建三明一中开学考试)在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则AB·CD等于()A.-2B.2C.-233.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为.

题组二利用空间向量的数量积求夹角4.(2021河北张家口尚义第一中学期中)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是()A.120°B.60°C.30°D.45°5.(2020贵州铜仁一中开学考试)已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12A.30°B.60°C.120°D.150°6.(2021天津西青期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则B1C·A1P=,B1C与A题组三利用空间向量的数量积求长度(模)7.(2021黑龙江双鸭山一中期末)已知|a|=2,|b|=3,<a,b>=60°,则|2a-3b|等于()A.978.(2021辽宁朝阳第一高级中学期中)在底面是正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,∠A1AD=∠A1AB=π3,则|AA.22题组四利用空间向量的数量积解决垂直问题9.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=.

10.(2020广西柳州高级中学期中)如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(1)证明:AE⊥BC;(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.能力提升练题组一利用空间向量的数量积求异面直线所成角(或余弦值)1.(2020甘肃兰州模拟)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD所成角的余弦值为()A.-52.(2022天津塘沽一中月考)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=AB=2,∠BAD=60°,M是BB1的中点,则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A.-10题组二利用空间向量的数量积求距离(长度)3.(2022湖北武汉洪山高级中学月考)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60°,M为CC1的中点,则AM的长度为.

4.(2022安徽合肥六中月考)如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=AB=BD=6,则C,D间的距离为.

题组三利用空间向量的数量积证明垂直5.(2020上海复旦大学附属中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BE⊥PD;(2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求线段PF的长.答案全解全析基础过关练1.A∵p⊥q且|p|=|q|=1,∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.2.AAB·CD=AB·(AD-AC)=AB·AD-AB·AC=0-2×2×cos60°=-2.3.答案k>-7且k≠-1解析由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k+(2k-1)×4×8×cos120°-128=-16k-112<0,解得k>-7.又当k=-12∴k>-7且k≠-12名师点睛两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角.故在实际解题中,要考虑两向量同向、反向的情形.4.A由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=e12-e1·e2-2e-2=-32,|a|=a2=(e1+e2|b|=b2=(e1-2e2∴cos<a,b>=a·b|a||b5.B设向量a,b的夹角为θ,则cosθ=a·b|易错警示异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°,故此题中异面直线所成的角应为120°的补角.6.答案1;60°解析解法一:B1C·A1P=(A1A+由题意可得PA1=B1C=2,所以cos<B1C,A1P>=12×2解法二:连接A1D,PD,则∠PA1D(或其补角)就是B1C与A1P所成的角.在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=2,故△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即B1C与A1P所成角的大小为60°.所以B1C·A1P=7.C|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12×2×3×cos60°+9×32=61,∴|2a-3b|=61.8.D|AC1|2=|AB+AD+AA1|2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2·AA1+2AD·AA1=12+12+22+2×1×1×cosπ2+2×1×2×cosπ3+2×1×2×cos9.答案-3解析由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,∴18+(λ+1)×32×4cos135°+16λ=0,即2λ+3=0,∴λ=-3210.解析(1)证明:连接DE,则AE=DE-DA=12(DB+DC)-DA,BCDC-DB,所以AE·BC=12DB+12DC-DA-12DB·DB+12DC·DC-12DC·DB-DA·(2)AE·DC=12DB+12DC-DA·DC=12DB=0+2-0=2,|AE|=(2)2所以cos<AE,DC>=AE·DC|AE||即直线AE与DC所成角的余弦值为66能力提升练1.D∵PD⊥平面ABCD,DA,DC⊂平面ABCD,∴PD⊥DA,PD⊥DC.∵底面ABCD为正方形,∴DA⊥DC.易知PA=DA-DP,DB=DA+DC,∴PA·DB=(DA-DP)·(DA+DC)=DA2+DA·DC-DP·DA-DP·DC|PA|=(DA-DP)2=DA|DB|=(DA+DC)2=DA∴|cos<PA,DB>|=|PA·DB||∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为10102.D由题意可得A1M=A1B1+B1M=AB-12B5,|B1C|=22,∴A1M·B1C=AB-12BB1·(BC-BB1)=AB·∴异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为1053.答案26解析∵AM=AB+AD+12∴|AM|2=AB+AD+12AA12=|AB|2+|AD|2+1AA1·AB+AD·AA1=22+22+14×42+2×2×2×1∴|AM|=26.4.答案12解析∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴CA·AB=0,BD·AB=0.∵二面角α-AB-β的平面角为120°,∴<CA,BD>=180°-120°=60°.∴CD2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2CA·BD+2BD·AB=3×6∴CD=12.5.解析(1)证明:∵E为PC的中点,∴BE=12(BP+BC)=12(AP-AC-AB)=12(AP+AC-DC)=12(AP+AD),又DP=AP-∴BE·DP=12(AP2-(2)∵F为PC上一点,∴设PF=λPC