全书综合测评

全书综合测评(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)2.若直线l1:3x-y-1=0与直线l2:x-ay=0的夹角为π6A.3B.0C.2D.0或33.已知椭圆的方程为x2a2+y225=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1A.10B.20C.2414.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是22,则☉O1与☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交5.已知点P为抛物线y=12x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是6A.8B.196.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.37.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4,直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是()A.|M1M3|·|M2M4|B.|FM1|·|FM4|C.|M1M2|·|M3M4|D.|FM1|·|M1M2|8.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2A.1C.2二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.已知空间三点A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是()A.AB·AC=3B.AB∥ACC.|BC|=23D.cos<AB10.已知F1,F2是双曲线C:y24-x2A.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±2D.△MF1F2的面积为2311.如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别表示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是()A.距离坐标为(0,0)的点只有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足rA.椭圆B.双曲线C.直线D.抛物线三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,则实数m的值为.

14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值等于.

15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,22)x0>p2是抛物线C上一点,以点M为圆心的圆与直线x=16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑PABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE=,点E的轨迹的长度为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l的斜率为-34(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.18.(12分)如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求平面ACB与平面ACE夹角的正弦值;(3)求点D到平面ACE的距离.19.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点(B在A的左侧),线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.20.(12分)从①CD⊥BC;②BC∥平面PAD这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并解答.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E为PB的中点,.

(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PB上是否存在一点F,使得AF∥平面PCD?若存在,求出|PF注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.21.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.22.(12分)已知点A,B在直线l:y=x+2上(B在A的上方),P(2,0),|AB|=2,斜率为k1的直线AP交抛物线Γ:y2=4x于点M,N,直线BP交Γ于点R,S,如图所示.(1)求k1的取值范围;(2)若0<k1<15,求S△MPR·S△SPN答案全解全析1.A设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=02.D直线l1:3x-y-1=0的斜率为3,所以直线l1的倾斜角为π3.因为直线l2:x-ay=0与直线l1的夹角为π6,所以直线l2的倾斜角为π6或π2.当直线l2的倾斜角为π2时,a=0;当直线l2的倾斜角为π6时,直线l2的斜率为tanπ6综上所述,实数a的值为0或3.故选D.3.D因为a>5,所以椭圆的焦点在x轴上.因为|F1F2|=8,所以c=4,所以a2-25=42,所以a=41.由椭圆的定义,可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|BF1|+|BF2|+|AF2|+|AF1|=4a=441.4.D☉O1的标准方程为x-a22+y2=a24(a>0),所以☉O1的圆心坐标为a2,0.圆心a2,0到直线x-y=0的距离d=a22=a25.B设抛物线的焦点为F,则F0,12根据抛物线的定义可得|PM|=|PF|-12,所以|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1此时问题转化为求|PF|+|PA|的最小值,显然当P,A,F三点共线时,|PF|+|PA|的值最小,为|FA|.由两点间距离公式得|FA|=62所以|PA|+|PM|的最小值为|FA|-12=196.A如图所示,过B作BC的垂线交AC于D,以B为原点,BD,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=BC=CC1=1,∴A32,-12,则AB1=-3设异面直线AB1与BC1所成角为θ,则cosθ=|AB1·B∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为347.C设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4.由题意知抛物线C的焦点与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.由抛物线的定义得|FM1|=x1+2,又因为|FM1|=|M1M2|+2,所以|M1M2|=x1.同理,|M3M4|=x4.将y=k(x-2)代入抛物线方程,整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1x4=4,所以|M1M2|·|M3M4|=4.故选C.8.A易得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0),所以可设直线l的方程为y=k(x+a),k≠0.令x=-c,得y=k(a-c);令x=0,得y=ka,所以|FM|=|k|(a-c),|OE|=|k|a.因为OE∥MF,所以在△BMF中,12|OE||FM|=|OB||BF9.AC∵A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),∴AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(-2,-2,2).AB·AC=0×(-2)+2×0+1×3=3,∴A正确;不存在实数λ,使得AB=λAC,∴AB,AC不共线,∴B错误;|BC|=(-2)2cos<AB,AC>=AB·AC|AB|·|10.ACD由题意知a=2,b=2,焦点在y轴上,所以渐近线方程为y=±abx=±2x,A正确;c=a2+b2=6,所以以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,B错误;由x2+y2=6,y=2x,得x=2,2=23,D正确.故选ACD.11.ABC对于A,若距离坐标为(0,0),即P到两条直线的距离都为0,则P为两直线的交点,则距离坐标为(0,0)的点只有1个,A正确;对于B,若距离坐标为(0,1),即P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,则P在直线l1上,此时到直线l2的距离为1的点有2个,B正确;对于C,若距离坐标为(1,2),即P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,符合条件的点有4个,即与直线l1相距为1的两条平行线和与直线l2相距为2的两条平行线的交点,C正确;对于D,若距离坐标为(x,x),即P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点在两条相互垂直的直线上,D错误.故选ABC.12.BC由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4.设动圆P的半径为r.当r1+r2<4时,两圆相离,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切.①若均内切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r2-r1|,当r1≠r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,当r1=r2时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,此时|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r1+r2.此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC.13.答案-3或1解析①当m>0时,双曲线方程可化为x2m3-y②当m<0时,双曲线方程可化为y2-m-x故实数m的值为-3或1.14.答案5解析由y=2x,x+y=3,解得x=1,y15.答案y2=4x解析如图所示,作MD⊥EG,垂足为D.因为M(x0,22)x0所以8=2px0,得px0=4.①易知|DM|=x0-p2因为sin∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|=13x0+p2,所以x由①②解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程是y2=4x.16.答案2;2解析建立空间直角坐标系,如图所示.设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则DE=(-m,t-2,0),又PC=(0,4,-2),所以由PC⊥DE,可得PC·DE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,E(0,2,0).当E为AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',连接DE',由PC⊥DE,PC⊥EE',DE∩EE'=E,得PC⊥平面DEE',所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.设PE'=λPC=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以EE'=(0,4λ-2,2-2λ),由EE'⊥PC所以E'0,125,417.解析(1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5),(2分)因此l:y-5=-34(2)设直线m的方程为3x+4y+b=0(b≠-14),则3=3×(-所以直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.(10分)18.解析(1)证明:因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(1分)因为二面角D-AB-E为直二面角,所以平面ABCD⊥平面ABE.又CB⊥AB,平面ABD∩平面ABE=AB,所以CB⊥平面ABE.所以CB⊥AE.(2分)又BF∩CB=B,所以AE⊥平面BCE.(3分)(2)取AB的中点O,连接OE,以O为原点,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过点O且平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.(4分)因为AE⊥平面BCE,BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE.在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则AE·n=0,AC所以平面ACE的一个法向量是n=(1,-1,1).(7分)易得平面ACB的一个法向量为OE=(1,0,0).cos<OE,n>=OE·n|OE||n|=1所以平面ACB与平面ACE夹角的正弦值为63(3)因为AD∥z轴,AD=2,所以AD=(0,0,2),(10分)所以点D到平面ACE的距离d=|AD·n||19.解析(1)圆C的方程x2+y2-8y=0可变形为x2+(y-4)2=16,所以圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.(1分)设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).(2分)由题意得CM·MP=0,即x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,整理得(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(5分)(2)由(1)知M的轨迹是以点(1,3)为圆心,2为半径的圆,记(1,3)为N,如图所示.因为|OP|=|OM|,所以O在线段PM的垂直平分线上.又点P在圆N上,所以N在线段PM的垂直平分线上,连接ON,所以ON⊥PM.(6分)因为kON=3,所以直线l的斜率为-13所以直线l的方程为y-2=-13因为点N到直线l的距离为|1×1+3×3-8所以|PM|=22-105又因为O到直线l的距离为|-8|1所以S△POM=12×4105×420.解析(1)证明:选择①.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=22.又∵PC=23,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(2分)又∵CD⊥BC,∴AD∥BC.∵AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(4分)选择②.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=22.又∵PC=23,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(2分)∵BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BC∥AD,又AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(4分)(2)过A作AD的垂线交BC于点M.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0),E1,-∴AE=1,-12,1设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·设直线AE与平面PCD所成的角为α,∴sinα=|cos<n,AE>|=-12×1+1×1∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26(3)存在.设|PF||PB|∴AF=AP+PF=(2λ,-λ,-2λ+2).(10分)∵AF∥平面PCD,∴AF·n=0,即-λ-2λ+2=0,解得λ=2321.解析(1)直线AB的方程为xa+y由圆O与直线AB相切,得aba2+b2=4设椭圆的半焦距为c,则e=ca=32,∴b2a2由①②得a2=4,b2=1.故椭圆的标准方程为x24+y(2)k1·k