第三章 圆锥曲线的方程

第三章圆锥曲线的方程(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y2A.12.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在()A.一个椭圆上B.双曲线的一支上C.一条抛物线上D.一个圆上3.如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为()A.224.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2A.25.已知F1,F2是椭圆x210+y28=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且△F1PFA.16556.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是直线CD,AB上的动点,点P是△A1C1D内的动点(不包括边界),记直线D1P与MN所成角为θ,若θ的最小值为π3A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分7.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射,再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论中错误的是()A.x1x2=1B.kPQ=-4C.|PQ|=254D.l1与l28.设A,B分别是双曲线x2-y23=1的左、右顶点,过P12,tA.9二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是()A.若m=0,n>0,则C是两条直线B.若m=n>0,则C是圆,其半径为nC.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-m10.以下关于圆锥曲线的说法不正确的是()A.设A,B为两个定点,k为非零常数,||PA|-|PB||=k,则动点P的轨迹为双曲线B.过圆O上一定点A作圆的动弦AB,若OP=12(OAC.若曲线C:x2D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,则这样的直线有2条11.已知抛物线y2=8x的焦点为F,点A是抛物线上的动点,设B(-2,0),当|AFA.AB的斜率为±2B.|AF|=4C.△ABF内切圆的面积为5+1D.△ABF内切圆的面积为(24-162)π12.如图,F1,F2是双曲线C1:x2-y23=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点,设C2的方程为A.a2+b2=4B.△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1,0)C.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率为2D.若AF1⊥AF2,则椭圆方程为x2三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.与双曲线x23-14.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则p=,直线l的方程为.

15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且依次交抛物线及圆(x-1)2+y2=14于A,B,C,D四点,则|AB|+9|CD|的最小值为四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)求与双曲线x216-(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=3218.(12分)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,|AB|=8.(1)求抛物线的方程;(2)已知P(x0,-1)为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足kPM·kPN=-2,试探究直线MN是否过一定点,若是,求出此定点;若不是,请说明理由.19.(12分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2⊥F1F(1)当λ=13(2)求双曲线的离心率e的取值范围.20.(12分)已知点E到直线l:y=-2的距离与点E到点F(0,1)的距离之差为1.设点E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若P(x0,y0)为直线l上任意一点,过点P作曲线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求点F到直线MN的最大距离.21.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.22.(12分)已知椭圆G:x2a2(1)求椭圆G的方程;(2)若直线l的斜率为2,求|MN|;(3)设A为椭圆的左顶点,AM,AN分别交y轴于点P,Q,在x轴上是否存在点T,使得以PQ为直径的圆恒过点T?如果存在,求出点T的坐标;如果不存在,请说明理由.答案全解全析1.B抛物线y2=4x的焦点为(1,0),其到双曲线x2-y23=1的一条渐近线3x-y=0的距离为|32.B设圆x2+y2=1的圆心为O,半径为r1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为F,半径为r2,动圆的圆心为P,半径为r.依题意得O(0,0),F(4,0),r1=1,r2=2.易知|PF|=2+r,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|=4,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选B.3.D如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为O1,圆柱的底面中心为O,则∠OAB=60°,∴椭圆的长半轴长a=|O1A|=|OA|cos60∴椭圆的焦距为242-24.D由抛物线的方程可得F(1,0),准线l:x=-1,则|AB|=2ba,|OF|=1,所以b=2a,所以c=a2+b2=5.B由题意得a2=10,b2=8,∴c2=a2-b2=2.设椭圆的上顶点为B,由c<b得∠F1PF2≤∠F1BF2<90°,因此PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2.当PF1⊥F1F2时,|PF1|=b2a=∴S△F1PF2=12|F1F2||PF1|=1同理,当PF2⊥F1F2时,S△F16.B延长D1P,交平面ABCD于点Q,连接DP,DQ,则直线MN与D1Q所成角为θ,又直线D1Q与平面ABCD内的直线所成角的最小值为π3,所以直线D1Q与平面ABCD所成的角为π3,则∠DQD1=π3.设正方体的棱长为a,则|DQ|=33a,所以点Q在以D为圆心,33a为半径的四分之一圆上运动,即在圆锥DD1的底面四分之一圆上运动.用过底面圆心D的平面A17.D如图所示,易知y1=1,∴12=4x1,即x1=14,∴P1易知F(1,0),∴kPF=1-01∴直线PF的方程为y=-43由y2=4x,当y=1时,x=14∴Q(4,-4),∴x1x2=14kPQ=kPF=-43|PQ|=4-14易知l1的方程为y=1,l2的方程为y=-4,∴l1与l2之间的距离为5,故D中结论错误.故选D.8.A双曲线x2-y2又P12,t,∴直线PA的方程为x=3y2t-1,直线PB的方程为x=-y2t+1.由x=将y=36t27-4t2代入x=由x=-y2t+1,x2将y=12t3-4t2代入x=-设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,∴yM-y将M,N的坐标代入,化简可得-12t9解得s=2,即Q(2,0).设过Q的直线方程为x=my+2,S(x1,y1),T(x2,y2),由x2-y23则y1+y2=-12m3m2-1,y1y2=∵SQ=2QT,∴y1=-2y2,∴-y2=-12∴S△BST=12|BQ|·|y1-y2|=12|y1-y2=12·36m2+36|9.AD若m=0,n>0,则C:ny2=1,即y=±1n,为两条直线,故A中说法正确;若m=n>0,则C:x2+y2=1n,是圆,半径为1n,故B中说法错误;若m>n>0,则0<1m<1n,所以C:x21m+y210.ABD根据双曲线的定义,必须有k<|AB|,动点P的轨迹才为双曲线,故A中说法不正确;∵OP=12(OA+OB),∴P为弦AB的中点,故∠APO=90°,则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆,故B中说法不正确;显然C中说法正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y211.BD显然B为抛物线的准线与x轴的交点.过点A作准线的垂线,垂足为C.由抛物线的定义可得,|AF|=|AC|,则|AF||当|AF设AB的方程为y=k(x+2),由y2=8x,y=k(x+2),消去y可得k2x2+(4k将k=±1代入(*)中得x2-4x+4=0,所以x=2,所以|AF|=|BF|=4,所以选项B正确.不妨设A在第一象限,则A(2,4),所以|BF|=|AF|=4,|AB|=42.设△ABF内切圆的半径为r,则12(|AB|·r+|AF|·r+|BF|·r)=12×4×4,解得r=1642+8=4-2212.BCD由双曲线C1:x2-y23=1可得c=1+3=2,∴a2-b2=c设△AF1F2的内切圆的圆心为I,圆I与边AF1,F1F2,F2A相切于点N,M,K,连接NI,MI,KI,则|AN|=|AK|,|F1M|=|F1N|,|F2M|=|F2K|,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2,即(|AN|+|F1N|)-(|AK|+|F2K|)=|F1N|-|F2K|=|F1M|-|F2M|=2①,又|F1M|+|F2M|=4②,∴由①②解得|F2M|=1,|F1M|=3,∴M(1,0),∴圆I与x轴相切于点(1,0),故B正确;椭圆C2中,|F1A|+|F2A|=2a,又|F1A|-|F2A|=2,∴|F1A|=a+1,|F2A|=a-1,由|F1F2|=|F1A|,得4=a+1,解得a=3,则C2的离心率为ca=2若AF1⊥AF2,则|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2,即(a+1)2+(a-1)13.答案x26-解析设所求双曲线方程为x23-y24=λ(λ≠0),∵点(3,2)在所求双曲线上,∴323-14.答案2;x-y-1=0解析由抛物线的焦点F(1,0),得p2所以抛物线方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4.直线l的斜率显然不为0,设直线l的方程为x=ny+1,由y2=4x,x=ny+1所以直线l的方程为x-y-1=0.15.答案3解析∵|PT|=|PF2|当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为a-c,∴(a-c)2-(b∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),即5c2+2ac-3a2≥0,∴5e2+2e-3≥0,解得e≥35或e≤-1(舍去).又e∈(0,1),∴3∵b>c,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<12,∴0<e<2由①②得35≤e<22.故椭圆离心率的取值范围为16.答案11解析抛物线y2=4x的准线为x=-1,所以|AF|=xA+1.又|AF|=|AB|+12,所以|AB|=xA+12.同理,|CD|=xD+当直线l的斜率不存在时,xD=xA=1,所以|AB|+9|CD|=15.当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),由y2=4x,y=k(x-1)得k2所以|AB|+9|CD|=5+xA+9xD≥5+29xAxD=11,当且仅当xA=3,x综上,|AB|+9|CD|的最小值为11.17.解析(1)∵所求双曲线与双曲线x216-∴设所求双曲线的方程为x216-∵所求双曲线过点(32,2),∴1816-λ(4分)∴所求双曲线的方程为x212-(2)方程x2+(m+3)y2=m(m>0)可化为x2m+∵m-mm+3=m(∴a2=m,b2=mm+3,∴c=a2由e=32得m+2m18.解析(1)易知Fp2,0,kAB由y2=2px,y=x-p2所以|AB|=xA+xB+p=4p=8,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(5分)(2)将(x0,-1)代入y2=4x可得P14设直线MN的方程为x=my+t,M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=4x,x=my+t,消去x,得y2-4my-4t=0,则y1由题意得kPM·kPN=y1+1x1-14×y所以t=94所以Δ=16m2+16t=16m2+9此时直线MN的方程为x=m(y-1)+94,所以直线MN过定点919.解析(1)如图,由题意知△OHF1∽△PF2F1,故|OH||PF2|=|OF1||PF1|,故λ=|OH||当λ=13时,b所以双曲线的渐近线方程为y=±x.(5分)(2)结合(1)得e2=c2a2=1+b2a2=1+易知函数y=21-λ所以当λ=12时,e2取得最大值3;当λ=19时,e2取得最小值所以54≤e2≤3,所以52≤e≤故双曲线的离心率e的取值范围是5220.解析(1)由题意得,点E到直线l':y=-1的距离等于点E到点F(0,1)的距离,则点E的轨迹是以F为焦点,直线l'为准线的抛物线.(2分)设其方程为x2=2py(p>0).由题意得p2=1,解得p=2.所以曲线C的方程是x2(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=k(x-x1).由x2=4y,y-y1令Δ=(-4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又x12=4y1,所以k=x12.所以过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=x12(x-x又切线过点P(x0,y0),所以y0=x12x0-x124,即y0=x同理,过点N(x2,y2)的切线方程为y=x22x-又切线过点P(x0,y0),所以y0=x22x0-x224,即y0=x所以点M(x1,y1),N(x2,y2)均满足y0=x2x0-y,即x0x=2(y0又P(x0,y0)为直线l:y=-2上任意一点,所以y0=-2,所以直线MN的方程为x0x=2(y-2).所以点F(0,1)到直线MN的距离d=2x02+4,当x所以点F到直线MN的最大距离为1.(12分)21.解析(1)方程x2+y2-2x