《平面几何中的向量方法》课件

第6章平面向量及其应用6.4.1平面几何中的向量方法学习目标：1.会用向量方法解决简单的几何问题；2.体会向量在解决几何问题中的作用；3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养。学习重点：

用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”；学习重难点：能够将几何问题转化为平面向量问题。回顾旧知1.平面两个向量的数量积公式：2.向量平行的判定的充要条件：

3.向量平行与垂直的判定的充要条件：若两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)4.平面内两点间的距离公式为：：5.向量模的公式：回顾旧知例1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.例题讲解思考：如何利用向量来刻画平面几何中的线线垂直1.选好基底2.建立直角坐标系引入坐标证明法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，法二：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．小结思考：你能总结向量的线性运算法的四个步骤吗？如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，所以(DP)＝(x，x－1)，(EF)＝(1－x，x)，由于(DP)·(EF)＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以(DP)⊥(EF)，即DP⊥EF.坐标法①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．小结思考：你能总结向量的坐标运算法的四个步骤吗？思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？小结“三步曲”：(1)构建平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为平面向量问题；(2)通过平面向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、模等问题；(3)将平面向量运算运算结果“翻译”成平面几何关系.变式训练：

如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.解：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，（基底法）设AB＝a，AD＝b，（坐标法）例题讲解解：因为是的中点，所以又因为所以例题讲解所以即变式练习在梯形中，，，，若点M在线段BD上，则求的值解：建立如图所示平面直角坐标系：因为所以变式练习在梯形中，，，，若点M在线段BD上，则求的最小值设则的最小值为本节课小结1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”；2.向量的线性运算法（基底法）的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．向量的坐标运算法（坐标法）的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．平面几何向量化处理1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=(

)B123456789101112131415161712345678910111213141516172.[探究点二(角度1)]体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(

)(参考数据:取重力加速度大小g=10m/s2,=1.732)A.64 B.62

C.76

D.60B12345678910111213141516171234567891011121314151617C123456789101112131415161712345678910111213141516174.[探究点二(角度2)]一条河宽为80000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为

h.

51234567891011121314151617解析

根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=20

km/h,|v2|=12

km/h,12345678910111213141516175.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10N,则每根绳子的拉力大小为

N.

10解析

设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10

N,∴每根绳子的拉力都为10

N.12345678910111213141516176.[探究点一(角度3)·2023河南洛阳月考]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长是

.

1234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516177.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.123456789101112131415161712345678910111213141516178.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.1234567891011121314151617解

设v1表示20

km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.12345678910111213141516171234567891011121314151617B级关键能力提升练A.内心 B.外心

C.重心 D.垂心

B1234567891011121314151617123456789101112131415161710.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是(

)A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变AC1234567891011121314151617123456789101112131415161711.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8km,则河水的流速是

km/h.

解析

如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.12345678910111213141516175123456789101112131415161713.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东2km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距250m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,航行的合速度方向与正西方向的夹角为

,小货船的速度大小为

km/h.

30°1234567891011121314151617∴∠CAB=60°,∴∠CAD=90°+60°=150°,∴合速度的方向与水流的方向成150°角,与正西方向的夹角为30°.设小货船的速度为v1,水流速度为v2,合速度为v,则v1=v-v2,123456789101112131415161714.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.1234567891011121314151617123456789101112131415161715.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:AP=AB.1234567891011121314151617123456789101112131415161716.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.12345678910111213141516171234567891011121314151617123456789101112131415161