6.3.2~6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.3.2~6.3.4平面向量的正交分解及线性运算坐标表示(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．若向量，，，则等于()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，设，则有，即，解得，所以，故选：D.2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)【答案】A【解析】3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选：A.3．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))=()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)【答案】B【解析】eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3,2)，∵Q是AC的中点，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6,4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,7)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6,21)．故选：B4．已知向量,，若与共线,则实数的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，则，因为与共线，所以，解得，故选:B.5.已知向量OM=(1,0)，ON=(0,2)，NP=tNM，则当|OP|取最小值时，实数A.13 B.15 C.45【答案】C【解析】∵NP=tNM，且OM=(1,0),ON=(0,2)，

∴OP−ON=t(OM−ON)，

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下面说法正确的是（）A.相等向量的坐标相同

B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标

C.一个坐标对应于唯一的一个向量

D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应【答案】ABD【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，

故C错误，其余均正确．故选:ABD．7.在下列向量组中，不能把向量a=(3,2)表示出来的是（）A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1【答案】ACD【解析】根据a=λe1+μe2，

对于选项A：(3,2)=λ(0,0)+μ(1,2)，则3=μ，2=2μ，无解，故A不能；

对于选项B：(3,2)=λ(−1,2)+μ(5,−2)，则3=−λ+5μ，2=2λ−2μ，解得，λ=2，μ=1，故B能；

对于选项C：(3,2)=λ(3,5)+μ(6,10)，则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故C不能；

对于选项D：(3,2)=λ(2,−3)+μ(−2,3)，则3=2λ−2μ，8．已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以为A． B． C．1 D．【答案】ABD【解析】向量，，，，，，，，，点，，能构成三角形，，，，，解得．实数可以为，，．故选：．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知为坐标原点，，，则．【答案】【解析】，，，．故答案为：10．若向量，，与共线，则实数的值为_______【答案】【解析】向量，，，，又与共线，，解得.故答案为：.11．已知三点共线，则，则______，______．【答案】3【解析】由，可得，因为，即，可得，解得.故答案为：，.四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．已知，．（1）求证：，不共线；（2）若，求实数，的值：（3）若与共线，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：根据题意，，，有，故，不共线；（2）根据题意，若，且，不共线；则有，解可得；（3）根据题意，若与共线，设，即，则有，则；故答案为:．13．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP=OA+tAB．

(1)当t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第三象限角内；

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出t【答案】(1)当t=−25时，点P在x轴上；当t=−14时，点P在y轴上；当t<−2【解析】由O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，得OP=OA+tAB=(1+4t,2+5t)．

(1)点P(1+4t,2+5t)，当2+5t=0，即t=−25时，点P在x轴上；

当1+4t=0，即t=−14时，点P在y轴上；当1+4t<02+5t<0，即t<−25时，点P在第三象限；

(2)14.如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2BN，【答案】25【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，建立直角坐标系，

设AB=2m，AD=2n，则A(0,0)，B(2m,0)，M(2m,n)，N(m,2n)，

∵MN=λ1AM+λ2BN，

即(−m,n)=λ1(2m,n)+λ2(−m,2n)A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点三]下列各对向量不共线的是()A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(2,-1),b=(1,2)D.a=(1,2),b=(2,2)2.[探究点一]向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=()A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7)3.[探究点一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)4.[探究点四]已知向量a=(3,5),b=(cosα,sinα),且a∥b,则tanα等于()A.35 B.53 C.-35 5.[探究点二]已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶D的坐标为()A.2,72C.(3,2) D.(1,3)6.[探究点二]已知A(2,0),B(0,2),若AC=13AB,则点7.[探究点五]设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围是.

8.[探究点五]已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.

9.[探究点二、四]已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2).(1)若AB=a,求x的值;(2)若AB∥a,求x的值.10.[探究点二]已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及MN的坐标.11.[探究点二]如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OBB级关键能力提升练12.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有()A.OC与BA平行 C.OA+OC=OB D.13.已知AB=(-1,3),AC=(2,-2),BD=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为()A.-2 B.37 C.-115 D.14.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是()A.-1 B.0 C.1 D.215.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=mOP+n(其中O为坐标原点),则A.-1 B.-2 C.2 D.116.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使|CE|=14|17.已知向量a=13,tanα,b=(cosα,1),α∈π2,π,且a∥b,则sinα=,cos2α=.

18.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为.

19.已知点A(-1,1),B(2,-1).(1)若点C是线段AB的中点,求点C的坐标;(2)若直线AB上的点D满足AD=-2BD,求点D的坐标.C级学科素养创新练20.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是()A.存在实数x,使a∥bB.存在实数x,使(a+b)∥aC.存在实数x,m,使(ma+b)∥aD.存在实数x,m,使(ma+b)∥b21.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c)?(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.参考答案1.ABCA,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=2a,两个向量共线.2.B∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.3.D∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即2x-5+9=0,2y+6-6=0,4.B由a∥b,得5cosα-3sinα=0,即tanα=535.A设顶点D的坐标为(x,y),因为BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,所以2x=4,2y6.43,23设C(x,y),则AC=(x-2,y),AB=(-2,2),所以(x-2,y)=-23,23,得x=43,y=23,7.{m|m∈R且m≠6}∵A,B,C三点能构成三角形,∴AB,AC又∵AB=(1,1),AC=(m-2,4),∴1×4-1×(m-2)≠0.解得m≠6.∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}.8.9或92AB=OB−OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC=OC−OB=(5,-1)-(因为A,B,C共线,所以AB与BC所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得m所以m+n=9或m+n=929.解(1)AB=(2,0),因为AB=a,所以x解得x=-1.(2)因为AB∥a,所以x2-3x-4=0,解得x=-1或4.10.解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).∴5=∴m(3)设M(x1,y1),由CM=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴x∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).设N(x2,y2),由CN=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴x2+3=12∴N(9,2).∴MN=(9,-18).11.解因为OC=14OA所以C0,因为OD=12OB所以D2,设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=AD=2,32因为AM∥AD,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20因为CM∥CB,所以74x-4y-54=0,即7x-联立①②,解得x=127,y=2,故点M的坐标为1212.ACDBA=(2,-1),OC=(-2,1),又2×1-(-1)×(-2)=0,所以OC与BA平行,A正确.AB+BC=AC≠CA,所以B不正确.OA+OC=(0,2)=OB,所以C正确.AC=(-4,0),OB-2OA=(0,2)-(4,2)=13.D根据题意,已知AB=(-1,3),AC=(2,-2),则BC=AC−AB=(3,-5),若B,C,D三点共线,则BC∥BD,则有3×2a=(-5)×(a+1),14.ABC∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-2≤y≤2.∴y的取值范围是[-2,215.B由题意知,点P的坐标为(x,sinx),则OQ=mOP+n=12又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin2x所以函数y=f(x)的最小值为-2.16.83,-7∵AC=1∴A为BC的中点,AC=设C(xC,yC),则(xC-2,yC+1)=(1,-5),∴点C的坐标为(3,-6).∵|CE|=14|ED|,且点E在∴CE=