2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市2026年高考一模数学试题【附答案】

/2026年黑龙江省哈尔滨市高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量a=(−1,2)，b=(x,−2)，若a⊥A.−4 B.−1 C.1 D.42.已知全集U=R，集合A={x|(A.(−1,0) B.{−1,0} C.{0} D.(−2,1)3.若以直线2x±3y=0为渐近线的双曲线经过点A.y24−x29=1 B.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=35，A.13 B.15 C.17 D.195.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有(

)A.8种 B.12种 C.16种 D.20种6.已知tanα=2，α为锐角，则sin(αA.−1010 B.1010 7.“(ax+1)6的展开式中x2的系数为60A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象满足以下特征：图象经过点(0,A.[−π18,π6] B.(−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=2iA.z在复平面对应的点位于第二象限 B.z的虚部是i

C.|z|=10.已知函数f(x)=A.曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=−x

B.函数f(x)的值域是(−∞,1e]

C.若点P是曲线y=11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2A.当P在线段BC1上运动时，四面体D1−APE的体积为定值

B.当P在正方体表面上运动时，若AP⊥B1E，则P的轨迹长度为32+5

C.当P在线段AE上运动时，直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，A=2B，a=8，b=5，则13.已知函数f(x)=x2ln14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，|PF1|=3|PF2|.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表所示．零件数x/60708090100加工时间y95104108116122经计算得i=15(xi−x−)(yi−y−)=660．

(1)建立加工时间y16.(本小题15分)

在数列{an}中，已知an+1=an2−an，a1=13．

(1)求证数列{1an−1}是等比数列；

17.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，且∠A1AB=π3．

(1)证明：AB⊥18.(本小题17分)

已知抛物线E：x2=2py(p>0)，焦点为F，A为抛物线上一动点.当A的纵坐标为14时，|AF|=12．

(1)求E的方程；

(2)设O为坐标原点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为M，直线AF交E于另一点B，证明：B、O、M三点共线；

(3)若点C，D在E19.(本小题17分)

在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=f(x)(单位：千只)与时间x(单位：月)，满足函数f(x)=e−xcosx(x>0)，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．

定义：若函数g(x)在(a,+∞)上满足；

1.震荡性：g′(x)在(a,+∞)上无限次正负交替；

2.衰减性：任意给定正实数m，存在实数n，使得当x>n时，|g(x)|<m．

答案1.【正确答案】A

2.【正确答案】D

3.【正确答案】B

4.【正确答案】C

5.【正确答案】C

6.【正确答案】D

7.【正确答案】B

8.【正确答案】C

9.【正确答案】AC

10.【正确答案】BCD

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】4513.【正确答案】±1

14.【正确答案】[215.解：(1)由题意可得x−=60+70+80+90+1005=80，

y−=95+104+108+116+1225=109，

i=15(xi−x−)2=(60−80)2+(70−80)2+(80−80)2+(90−80)2+(100−80)2=1000，

所以b=i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=6601000=0.66，

a=y−−bx−=109−0.66×80=109−52.8=56.2，

所以加工时间y关于零件数x的一元线性回归方程为y=0.66x+56.2；

(2)由(1)可知，加工时间y​与零件数x的关系为y=0.66x+56.2，

结论：加工零件的个数与加工时间呈正相关，零件每增加一个，加工时间平均增加0.66min．

16.(1)证明：1an+1=2−anan=2an−1可得1an+1−1=2(1an−1)，

故1an+1−11an−1=2，

所以{1an−1}是以1a1−1=2为首项，2为公比的等比数列．

(2)解：由(1)可知1an−1=2n，bn=log2(1an−1)=log22n=n，

cn=1bnbn+1=1n(n+1)=1n−1n+1，

Sn=c1+c2+…cn=1−12+12−13+…+1n−1n+1=1−1n18.解：(1)抛物线E：x2=2py的焦点为F(0,p2)，准线为y=−p2，

由抛物线定义|AF|=14+p2=12，解得p=12，

因此，抛物线E的方程为x2=y．

(2)证明：由(1)知，F(0,14)，

显然直线AF的斜率存在，设直线AF的直线方程为y=kx+14，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则M(x1,−14)，

联立y=kx+14x2=y，得x2−kx−14=0，

则Δ=k2+1>0，且x1+x2=k，x1x2=−14，即x2=−14x1，

而kOM=−14x1=−14x1=x2又，x22=y2，则kOB=y2x2=x2，

所以kOM=kOB，所以B、O、M三点共线．

(3)由题意，设CD的中点为(t,t)，t≠0，t≠1，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

则x3+x4=2t，y3+y4=