2025-2026学年华中师范大学附属中学数学周练试题（三）教师版【附答案】

/数学周练试题（三）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.）1．等差数列中，，则（

）A．3 B．6C．9 D．【正确答案】B【详解】因为等差数列中，，所以由等差中项的性质得.故选：B.2．已知抛物线的准线刚好平分圆的周长，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【正确答案】C【详解】圆的圆心为，抛物线的准线为，由抛物线的准线刚好平分圆的周长，得直线过点，则，解得，所以抛物线的焦点坐标为.故选：C3．从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中依次不放回地随机选取两个数字，记事件：“第一次抽到的数字是奇数”，事件：“第二次抽到的数字是偶数”，则（

）A． B．C． D．【正确答案】A【详解】：第一次抽到奇数的概率，总共有7个数字，奇数4个，故.:第一次抽到奇数且第二次抽到偶数的概率，分步计算：第一次抽奇数有4种选择，第二次抽偶数有3种选择，总情况数为，故.根据条件概率公式代入得.故选：A.4．边长为2的等边三角形的外心为，则（

）A． B．2C． D．【正确答案】A【详解】取BC边的中点D，连接AD，因为O为边长为2的等边三角形的外心，所以，所以，所以.故选：A.

5．正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【正确答案】D【详解】在正三棱柱中，以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

，不妨取则，，设异面直线与所成角为，则，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．6．任何一个复数都可以表示成的形式，通常称为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则的值为（

）A． B．C． D．【正确答案】C【详解】，故选：C7．已知，若函数恰有1个零点，则（

）A．e B． C．1 D．3【正确答案】B【详解】由，可得恒为的一个零点，令，则恰有1个零点，等价于的唯一零点是，或无零点.因为，且，所以恒成立，在上单调递增.又时，时，因此必然存在唯一零点.当的零点是时，可得即，解得，.8．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，连接并延长交轴于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．4【正确答案】C【详解】因为，所以为线段的靠近的三等分点，又因为，即.所以，解得，所以，又因为的内切圆圆心为，所以平分，又因为三点共线，由角平分线定理可得，所以，由双曲线的定义可得，所以，设，则有，即，解得，又因为，即，所以，即，解得，

设圆与分别相切于点，设，由内切圆的性质可知，，所以又因为,所以，解得，所以，即，所以，整理得：，即，解得或，当时，，此时点与双曲线的右顶点重合，不满足题意；当时，，满足条件，所以，所以双曲线的离心率.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．下列命题中，正确的有（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．若，则C．若实数满足，则的最小值为D．【正确答案】BD【详解】对于，当，时，，，此时，所以“”是“”的不充分条件；当，时，，，此时，所以“”是“”的不必要条件.综上，“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；对于，因为，又，所以，即成立，故正确；对于，因为，所以，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故错误；对于，因为在单调递减，所以；因为在上单调递减，所以；因为在上单调递增，所以.所以，故正确.故选.10．已知，则下列结论正确的有（

）A．B．C．D．中，与最大【正确答案】ACD【详解】对于A，令可得，故A正确；对于B，令可得，所以，设展开式的通项为，取，可得，所以，故B错误；对于C，令可得①，令可得②，由①②可得，故C正确；对于D，由选项B可知，，若最大，则所以，，解得，则，故或，又，所以中，与最大，故D正确.故选：ACD.11．已知正项数列满足，则下列说法正确的是（

）A．B．存在，使得C．D．【正确答案】ABD【详解】由，可得，所以，所以是等差数列，又，所以，所以等差数列的首项为3，公差为2，所以，所以，所以，故A正确；，所以，令，解得，所以存在，使得，故B正确；对于，故C错误；对于D，令，求导得，所以，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，即，所以，所以，化简得，仅当时等号成立；令，得，此时等号不成立所以，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，集合，则_____．【正确答案】【详解】由，得，所以，所以.因为在上单调递增，又，所以，即.所以.故答案为.13．据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元)服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学，则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人．【正确答案】8【详解】由，，得，所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有.故814．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则______．若为锐角三角形，则的取值范围为______．【详解】①已知，由正弦定理得，又，故，代入上式得化简得，中，因此，即，②由​，得​，故​，即，因为为锐角三角形，所以由正弦定理得，因为，故，代入得，设​，则，对所求式子变形：，函数​在单调递增，代入端点得​，，因此.四、解答题：本题共5小题，共13+15+15+17+17分．15．已知中，角的对边分别为的面积为且满足(1)求角的大小；(2)若的平分线交于点，且，求的面积．【详解】（1）由余弦定理，得所以，又，所以，可得，所以，，则；（2）由，则，即，则，由余弦定理有，即，所以，可得，所以，则，可得，所以.16．如图，四棱锥中，平面，，，，，，为线段上一点，且满足，记平面平面．

(1)求证：；(2)若直线与交于点，求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）因为，且平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以.（2）

由题可知，两两相互垂直，以为原点建立空间直角坐标系，连接如图所示，由得，,由（1）可知，所以,所以，设平面的法向量，、则,即，设，则，设直线与平面所成角为，则.17．函数．(1)令，若函数存在唯一零点，求实数的取值范围；(2)若，求函数的值域．【详解】（1），，，时，函数存在唯一零点，，时有唯一交点，，的图像如下：；（2），，当时，，，，且，，即在单调递减，当时，，，，且，，即在单调递增，，，，的值域为．18．平面直角坐标系中，，其中,直线与直线交于点的轨迹为椭圆的一部分．(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与E交于两点，①若，求实数的取值范围；②已知点，直线与分别交于另一点为，令直线的斜率为，求的值．【详解】（1）由题意可得，直线的方程为；直线的方程为，即；两式相乘得，化简得；故结合题意可知椭圆E的方程为；（2）①由于直线l的斜率大于0.故设直线l的方程为，，由得，需满足，解得，则，而，由，可得，由于，故，则，则，故，即；②由于三点共线，所以，即，整理得，设直线（斜率不为0）的方程为，联立，得，，则，又，，故，所以，同理可得，则，将代入上式，得，故.19．元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次（且）后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖；游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记1分，未命中记分，当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖．现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立．已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为．(1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望；(2)当时，求甲同学获奖的概率(用含的表达式表示)；(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．【详解】（1）由题可知：的取值可能为2,3,4，，,,故的分布列