2026届新高考数学考前热点冲刺复习排列与组合问题综合分点突破

2026届新高考数学考前热点冲刺复习排列与组合问题综合分点突破分类问题例1.小红有4件不同的衬衣，3件不同的半身裙，另有2套不同的连衣裙，现在需要选择1套服装参加演出，则有多少种？类型一：分步问题加法计数原理乘法计数原理注意区分不重不漏4件3件2套14种排队问题类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（1）、老师不站中间．优先问题优限法先排老师第一步：第二步：再排学生6分步进行A66排队问题类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（2）、老师不站中间，女生不站两端．优先问题优限法双重限制思考：1.老师不站中间，能去哪儿呢？2.老师的选择对女生的站位有没有影响？情形1：老师也不站两端情形2：老师恰站两端4再排2名女生第二步第三步A424名男生填补4空位A442再排2名女生第二步A52第三步4名男生填补4空位A44类型二：（3）、2个女生必须相邻而站.例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？相邻问题捆绑法捆绑之前要先排A22作为整体①②③④⑤⑥A66第一步第二步A22A66类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？相邻问题捆绑法捆绑之前要先排（4）、甲、乙、丙三位同学要求相邻而站.A33作为整体①②③④⑤A55第一步第二步A33A55类型二：（5）、4名男生互不相邻例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？不相邻问题插空法遵循:

少插多第一步第二步先排4名男生A44男生与男生产生5个空位但是我们的目的是要用剩下的3人把4个男生隔开。在4名男生之间的3个空插入剩下的3人.A33A44A33类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？不相邻问题插空法遵循:

少插多（6）、甲和乙不相邻第一步第二步先排另外5人A555人产生6个空位在6个空位中找2个插入甲和乙2人.A62A55A62想一想：需不需要去掉两端的空位？类型二：（7）、若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递增的顺序站.例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？等概率问题乘概率只确定了相对位置第一步第二步暂不考虑身高排序，将7人全排A77注意：事实上，7人全排时，包含男生的所有排法.单考虑男生排序共有：A44身高依次递增的顺序只是其中的1种情况.发生的概率为A441所以A77A441类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？等概率问题乘概率（8）、若4名男生身高都不等，按身高顺序站.高矮矮高类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？等概率问题乘概率（9）、7人站成一排，其中甲在乙的左边，乙在丙的左边（均可以不相邻）.甲乙丙思考：甲、乙、丙的中间能不能站人？如果能，能站多少人？相对位置已经确定某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有多少种?例2.（9-1）

选自章末复习题B组1.P39类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？等概率问题乘概率（10）、7人站成一排，其中甲和乙在丙的同侧.甲乙丙甲乙有5个身高均不相等的学生要排成一排合影留念，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法共有多少种?例2.（10-1）

选自章末复习题B组2.P39类型二：（11）、7人站成前后两排，其中前排3人，后排4人；例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？多排问题单排处理类型二：例2.

7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？多排问题单排处理（12）、7人站成前后两排，其中前排3人，后排4人，且老师不站后排的两端。类型二：例2.

已知一排共有8个座位，仅4名男生坐成一排照相留念，要求间隔而坐，共有多少种不同的安排方式？间隔问题携凳而坐第一步：摆4个空位，无顺序之分，只有1种.第二步：4个男生带着自己的凳子，一起插到5个空隙中。A54插空法8=4个空位+4名男生产生5个空隙。注意：凳子虽然顺序，但是坐上男生后有顺序。信箱投递问题类型三：例3.将5封信从校门口的3个信箱投递出去，共有多少种投递方法？（注：任何一封信投任何一个信箱，投递任务完成。）可重复的排列求幂关键:

看主语1号2号3号先投第1封3种选择！再投第2封还是3种选择！思考：

第一封的结果对第二封的选择有没有影响？投第5封时还是3种选择！贺卡问题类型四：例4.同班4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？不配对问题记口诀规则：

为了确保拿不到自己的，上一位拿的卡是谁写的就让他作为下一位来拿.乙甲丙丁贺卡D贺卡C贺卡B贺卡A3种贺卡问题类型四：例4.同班4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？不配对问题记口诀规则：

为了确保拿不到自己的，上一位拿的卡是谁写的就让他作为下一位来拿.乙甲丙丁贺卡D贺卡C贺卡B贺卡A贺卡问题类型四：例4.同班4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？不配对问题记口诀规则：

为了确保拿不到自己的，上一位拿的卡是谁写的就让他作为下一位来拿.乙丙丁贺卡D贺卡C贺卡A3种贺卡问题类型四：例4.同班4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？不配对问题记口诀规则：

为了确保拿不到自己的，上一位拿的卡是谁写的就让他作为下一位来拿.乙丙丁贺卡D贺卡C贺卡A贺卡问题类型四：例4.同班4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？不配对问题记口诀规则：

为了确保拿不到自己的，上一位拿的卡是谁写的就让他作为下一位来拿.丙丁贺卡D贺卡A贺卡问题类型四：例4.同班4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？不配对问题记口诀规则：

为了确保拿不到自己的，上一位拿的卡是谁写的就让他作为下一位来拿.丙丁贺卡D贺卡A乙贺卡C甲贺卡B类型四：例4.不配对问题将a,b,c填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复的字母，则不同的填写方法共有多少种?选自章末复习题C组6.P40不同元素的分配问题类型五：例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)、分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本.先分组，再分配不均匀类型五：(2)、分给甲、乙、丙三个人

，甲得一本，乙得两本，丙得三本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？定向分配类型五：(3)、分给甲、乙、丙三个人

，一人得1本，一人得2本，一人得3本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？不均匀非定向分配类型五：(4)、平均分成三堆；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？均匀分组注意去重类型五：(5)、平均分给甲、乙、丙三个人；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？均匀定向分配类型五：(6)、分成三堆，一堆4本，另两堆各1本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？部分均匀分组部分去重类型五：(7)、分给甲、乙、丙三个人

，甲得4本，乙、丙各得1本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？部分均匀定向分配类型五：(8)、分给甲、乙、丙三个人

，一人得4本，另两人各得1本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？部分均匀非定向分配类型五：(9)、分成四堆，两堆各1本，另两堆各2本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？多部分均匀分组多部分分别去重类型五：(10)、分给甲、乙、丙、丁四个人

，甲、乙各得1本，丙、丁各得2本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？多部分均匀定向分配类型五：(11)、分给甲乙丙丁四个人

，两人各得1本，另两人各得2本；例5.6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？多部分均匀非定向分配类型五：(12)、将23本不同的书分给10位同学，其中1位各得4本，3位各得3本，4位各得2本，2位各得1本，有多少种分法？例5.多部分均匀非定向分配类型五：(13)、将23本不同的书分给10位同学，其中甲得4本，乙丙丁各得3本，戊己庚辛各得2本，壬癸各得1本，有多少种分法？例5.多部分均匀定向分配类型五：(14)、安排5名同志去8个乡镇工作，每个乡镇去一人，每人至少去一个乡镇，有多少种安排方式？例5.注意：每一组的数量没有定8=4+1+1+1+15个人的分工情况8=3+2+1+1+18=2+2+2+1+1先分组再分配C84C41C31C21C11A44C83C52C31C21C11A33C82C62C42C21C11A33A22A55（15）将3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，共有多少种不同的分配方案?选自章末复习题A组4.P38例5.（16）某小组有3名女生、4名男生，从中选出3名代表，要求女生与男生都至少要有一名，共有多少种不同的选法?例5.选自章末复习题A组5.P38类型六：例6.抽取问题已知30件产品中有27件合格品，3件次品，从中抽取5件进行检查：（1）都是合格品的抽法有多少种?选自章末复习题A组6.P38类型六：例6.抽取问题已知30件产品中有27件合格品，3件次品，从中抽取5件进行检查：(2)恰好有2件次品的抽法有多少种?选自章末复习题A组6.P38类型六：例6.抽取问题已知30件产品中有27件合格品，3件次品，从中抽取5件进行检查：(3)至少有2件次品的抽法有多少种?选自章末复习题A组6.P38相同元素的分配问题类型七：例7.（1）将8颗相同的篮球放进4个盒子里面（盒子不能为空），共有几种情况？盒子不空隔板法抽象为3块隔板类型七：（1）将8颗相同的篮球放进4个盒子里面（盒子不能为空），共有几种情况？例7.盒子不空隔板法类型七：（1）将8颗相同的篮球放进4个盒子里面（盒子不能为空），共有几种情况？例7.盒子不空隔板法类型七：（2）将8颗相同的篮球放进4个盒子里面（盒子可以为空），共有几种情况？例7.盒子可空插刀法刀是元素可混淆抽象为3把刀类型七：（2）将8颗相同的篮球放进4个盒子里面（盒子可以为空），共有几种情况？例7.盒子可空插刀法刀是元素可混淆类型七：（2）将8颗相同的篮球放进4个盒子里面（盒子可以为空），共有几种情况？例7.盒子可空插刀法刀是元素可混淆[2024年遵义市高二下期末考试8.]方程

的非负整数解个数为（

）

A.220 B.120 C.84 D.24类型八：例8.涂色问题如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种?策略：从相邻区域最多的地方开始逐一分析。染到某个区域时，会不会和另一个区域同色。如果是，那就要分开讨论这两种情况。‌类型八：例8.涂色问题某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6个点A,B,C,A₁,B₁,C₁上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有多少种?选自章末复习题C组7.P40类型九：例9.最短路径问题(2016卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少种？EGF第一：最短路径到达，即不走回头路。类型九：例9.最短路径问题(2016卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少种？EGF第二：从E到F点最短路径共有7“步”.其中这7步由向右的4步和向上的3步组成.关键问题：7步中选择哪4步向右？C74同理：从F到G点最短路径有：C53[2021年甲卷理]10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A．

B．

C．

D．排序问题(去重)第1步：将6个元素看成不同元素，共有：第2步：去掉重复：4个12个0与等概率问题，分组问题思想一致分母分子不相邻问题用插空第1步：先排4个1：少插多1种产生5个空第2步：在5个空中，找2个放0种所以：真题演练

[2022年甲卷理15.]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为__.[2019年Ⅲ卷文]3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）

A．

B．

C．

D．[2019年Ⅰ卷理6.]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（

）

A．

B．

C．

D．[2020年Ⅱ卷理14.]4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.[2019年Ⅰ卷理15.]甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_________．[2018年Ⅰ卷理15.]从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）14.已知有序实数组(a1,a2,a3,a4,a5)满足下列条件：（1）a1+a2+a3+a4+a5是3的倍数；（2）a1+a2+a3+a4+a5是3的倍数；（3）对任意1≦k≦5，k∈N，ak∈{2024,2025,2026}.若ak中恰有3个数取2025，则符合条件的有序实数组(a1,a2,a3,a4,a5)的个数为______；若对于任意

ak，都有ak∈{2024,2025,2026}，则符合