2026年高考数学终极冲刺：压轴21 圆锥曲线中二级结论的7大核心题型（压轴题专练）（全国适用）（原卷版）

压轴21圆锥曲线中二级结论的7大核心题型1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.题型01焦点三角形技法技法指导1.焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中，S△PF1F2＝b2·taneq\f(θ,2)；在双曲线中，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).2.焦点三角形的周长为2(a＋c).1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝12，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝π3，已知△F1PFA.2B.4 C.6D.12题型02周角定理（斜率积为定值）技法技法指导周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实轴)端点，则在椭圆中，kPA·kPB=-b2a2=e2-1，在双曲线中，kPA·kPB=b23.（2025·河北衡水·一模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为A． B． C． D．4.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（

）A． B． C． D．题型03椭圆、双曲线的焦点弦问题技法技法指导1.在椭圆中，焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝2b2.在双曲线中，同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为5.如图，F1，F2为椭圆x24＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是6.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－7，0），F2（7，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若AF2＝2F2B，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为题型04抛物线的的焦点弦问题技法技法指导设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）焦半径｜AF｜＝x1＋p2＝p1－cosα，｜BF｜＝x2＋p2＝p1+cosα（（3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α（α为弦AB的倾斜角），且1（4）S△OAB＝p22sinα（（5）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；以焦半径AF（BF）为直径的圆与y轴相切.7.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（）A.22 B.C.322 D.8.〔多选〕（2025·抚顺一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（）A.｜AB｜的最小值为4B.设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4C.以AF为直径的圆与y轴相切D.若BF＝2FA，则直线l的斜率为22或－22题型05切线问题技法技法指导1.设Px0,y02.设Px0,y0为双曲线x2a2−y9.已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．10.求双曲线在点处的切线方程．题型06圆锥曲线的第二定义技法技法指导1.圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时为椭圆；当e＝1时为抛物线；当e＞1时为双曲线.2.第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e.圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化.11.已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标．12.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率题型07阿基米德三角形技法技法指导抛物线的弦为，过两点做抛物线切线交于点，称为阿基米德三角形,则有:（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴（2）若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点,则另一顶点的轨迹为一条直线（3）底边为的阿基米德三角形的面积最大值为（4）若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为（5）在阿基米德三角形中,13.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知过抛物线x2=16y焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，过点A，B处的切线交于点P，若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为（A．x+2y−8=0 B．x−2y+8=0C．x−4y+16=0 D．x+4y−16=014.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为()A．8B．16C．16eq\r(2)D．321.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（

）A．1 B．2 C． D．2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)3.已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若OA·OB＝－12，则抛物线C的方程为（）A.x2＝8y B.x2＝4yC.y2＝8x D.y2＝4x5.（2025·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，A.33B.12C.32 6.设F1，F2为椭圆C：y2＋eq\f(x2,n)＝1(0<n<1)的焦点，若在椭圆C上存在点P，满足∠F1PF2＝120°，则实数n的取值范围为()A. B.C. D.7.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得∠F1MF2＝2α（α≠0），则椭圆CA.（0，sin2α] B.（0，sinα]C.[sin2α，1） D.[sinα，1）8.〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交与A，BA.弦AB的最小值为2B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4aC.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝bD.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）9.（多选）设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2A.若C的离心率为12，则直线PA1与PA2的斜率之积为－B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是（0，22D.若｜PF1｜≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是（0，3510.（多选）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，O为坐标原点，倾斜角为θ的直线l过点F且与C交于M，N两点，若△OMN的面积为33，则（）A.sinθ＝3B.｜MN｜＝24C.以MF为直径的圆与y轴仅有1个交点D.｜MF｜｜NF｜＝11.过抛物线上一点的抛物线的切线方程为.12.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为13.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过