2026年高考数学终极冲刺：专题05 导数中的极值点偏移问题（抢分专练3大热点题型）（原卷版）

4/4专题05导数中的极值点偏移问题题型考情分析考向预测1．对称构造解决极值点偏移问题 2025年全国二卷：第18题考查了极值点偏移问题2022年全国甲卷（理）：第22题考查了极值点偏移问题极值点偏移的结构创新，例如含减法式、根式等2．比值代换解决极值点偏移问题3．对数均值不等式解决极值点偏移问题题型1对称构造解决极值点偏移问题若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；假设此处在上单调递减，在上单调递增.（2）构造；注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.1．（2024高三·全国·专题练习）设函数．(1)判断函数的单调性；(2)若，且，求证：．2．已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若有两个零点，，则．3．（25-26高三下·江苏南通·开学考试）设函数．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，，且．①求实数的取值范围；②证明：．4．已知函数，.(1)若，求a的取值范围；(2)若有两个实数解，，证明：.题型2比值代换解决极值点偏移问题比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：．2．（25-26高三上·河北石家庄·开学考试）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，若函数有2个不同的零点，．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．4．（24-25高三下·河北保定·月考）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若函数的图象在点处的切线方程为.（i）求的最小值；（ii）若关于x的方程有两个根，，证明：.5．已知函数．(1)若，求实数的取值范围；(2)若有2个不同的零点，求证：．题型3指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题对数均值不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立．指数不等式在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系：1．已知函数.若有两个零点，证明：.2．（2024·天津·一模）设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设函数（i）当时，取得极值，求的单调区间；（ii）若存在两个极值点，证明：.3．已知函数.(1)若方程有3个零点，求实数的取值范围；(2)若有两个零点，求证：，且.4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)设，求的零点并判断的单调性；(2)若，且，证明：（i）；（ii）．1．已知函数有两个不同的零点.求证：.2．（25-26高三上·河南·期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，函数有两个零点，，求证：.3．（2026高三·全国·专题练习）已知，若有两个不等实根，，求证：．4．已知函数.(1)若有两个零点，求的取值范围；(2)若方程有两个实数根，且，证明：.5．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：.6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．8．曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为．(1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小；(2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为．（i）求的取值范围；（ii）证明：．9．已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；10．（2026高