2026年高考数学终极冲刺：专题09 数列的不等式、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项问题（抢分专练7大热点题型）（原卷版）

4/4专题09数列的不等式、奇偶项、插项类、公共项、取整数、存在项、新定义问题题型考情分析考向预测1．数列不等式 2024年新高考卷Ⅰ：第19题考查了数列的新定义问题2025年北京卷：第21题考查了数列的新定义问题2023年新高考卷Ⅰ：第18题考查了数列的奇偶项问题数列的奇偶项和新定义问题依旧是需要重点掌握的。2．奇偶项问题3．插项类问题4．公共项问题5．取整数问题6．存在项问题7．新定义问题题型1数列不等式1、以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值问题.恒成立；恒成立.2、常见放缩公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．（9）．1．（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列．(1)求的通项公式；(2)记为数列的前n项和，证明：．2．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）.(1)求的通项公式；(2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.3．（25-26高三·全国·三轮复习）已知数列的前项和为，，．(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式：(2)求数列的前项和；(3)若，求的取值范围．4．（25-26高三上·浙江温州·月考）已知正项数列满足．(1)求证：是等比数列(2)设，记数列的前项和为，求证：．5．（2025·吉林长春·三模）记为数列的前项和，已知，．(1)判断是否为等比数列，并求出的通项公式；(2)设递增的等差数列满足，且、、成等比数列．设，证明：．6．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和；(3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立.题型2奇偶项问题1、等差数列中①若项数为偶数，则；；．②若项数为奇数，则；；．2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．3、项数问题①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项；②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项；③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数；4、常见类型①，求的值；则②，求的值（1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则（2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则5、其他类型①数列中连续两项和或积的问题：或②含有类型1．（25-26高三下·湖北武汉·月考）已知数列满足．(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前2n项和；2．数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知.(1)求数列和的通项公式；(2)若，令，求数列的前项和．3．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若，求的值.4．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，且满足，，求．5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知数列中，．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．6．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足，求数列的前n项和.7．已知，数列满足，当时，.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，证明：；(3)若数列满足，，求数列的前n项和.题型3插项类问题1、插入数构成等差数列在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解个数构成等差数列，公差记为，所以：2、插入数构成等比数列在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解个数构成等比数列，公差记为，所以：3、插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。1．（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式;(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求2．（25-26高三上·天津·期中）已知数列满足，，数列满足.(1)求和的通项公式；(2)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求（请用数字作答）.3．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知数列满足(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和．4．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列．(1)求数列，的通项公式；(2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值.6．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求；(3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求题型4公共项问题在两个等差数列的公共项问题中，可以有两种方法：1、不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；2、周期法：即寻找下一项；通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．1．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和．2．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足．(1)求数列、的通项公式；(2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．3．（25-26高三上·河北·月考）已知数列的前项和为，且.(1)求实数的值；(2)若，求的通项公式；(3)将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值.4．（2025·四川乐山·模拟预测）北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，，，…，的和．(1)若，．①求的值；②求．(2)已知数列的通项公式为，其前n项和记为．数列满足，且．将与的所有公共项按照它们在原数列中的顺序组成一个新的数列．设，证明：．题型5取整数问题1．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）已知数列满足，．(1)证明：是等差数列，并求的通项公式；(2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值．2．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)记的前项和为，求满足的最大整数．3．（2026高三·浙江·专题练习）已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)记，求数列的前项的和；(3)若，求满足条件的最大整数．4．已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若，．(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前项和；(3)求使得成立的最大整数．题型6存在项问题1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q.(1)请推导前n项和公式；(2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.2．（2025高三上·陕西咸阳·专题练习）在数列中，，，数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)是否存在正整数，使得是与的等差中项？若存在，求出；若不存在，请说明理由．3．设数列的首项为常数，且．(1)证明：是等比数列；(2)若，（ⅰ）求使成立的n的最小值．（ⅱ）中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由．4．已知首项为的等差数列满足：成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：；(3)若数列满足，试问中是否存在不同的三项能构成等比数列？若存在，请找出对应的项，若不存在，请说明理由.题型7新定义问题1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.1．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；(2)已知二阶等差数列满足，，．①求数列的通项公式；②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．2．（2026·河北·模拟预测）若对于给定的正整数正整数数列同时满足①②其中，则称数列为数列．(1)若数列为数列，证明：(2)若数列为数列，请写出所有满足条件的数列(3)已知数列为数列，求的所有可能的值．3．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知数列：，，，…，的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．(1)若数列：2，4，6，7，求集合T，并写出的值；(2)若A是递增数列，求证：“A为等差数列”的充要条件是“”；(3)已知数列A：2，，，…，，求证：．4．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列的各项互不相同，且，若对任意，都有则称数列A具有性质P；若对任意，都有则称数列A具有性质T.(1)若，写出所有具有性质T的数列A；(2)证明：具有性质P的数列A一定具有性质T；(3)记所有具有性质T的数列A的个数为，证明：数列是等比数列.5．（25-26高三上·广东·月考）已知数列，给出以下两个定义：①若，且对于任意，都有，则称与为“型相关数列”；②.(1)若数列与为“型相关数列”，证明：；(2)已知数列与为“1型相关数列”.（i）若，从中随机抽取4项，表示这4项的和，求的期望；（ii）若数列满足，且，求的最大值.6．（25-26高三上·广西·月考）已知数列中，，．若数列同时满足以下条件：①对于任意的正整数n，恒成立；②对于给定的正整数k，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”．(1)求数列的通项公式；(2)判断数列是否是“数列”，并说明理由；(3)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，成等差数列，求证：是等差数列．1．已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.2．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和.3．（24-25高三上·广东江门·月考）已知数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等差数列；(2)记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数.4．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，，若，求满足条件的最大整数.5．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)求的通项公式；(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.6．（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若不等式对任意的正整数恒成立，求整数的最大值．7．已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由．8．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和；(3)令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和．9．（2026·河北邯郸·二模）已知数列满足，且．(1)证明：数列为等比数列；(2)令，若保持中各项先后顺序不变，在与之间插入k个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项积为，求（化为最简形式）．10．已知数列，的通项公式分别为，，数列是由，的公共项从小到大排列构成的数列，(1)求，，，及的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，①求，的值；②在数列中是否存在项，，（其中）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．11．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，(1)求和的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围.12．（24-25高三下·天津宝坻·月考）已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，.(1)求与的通项公式；(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最小值.13．（2025·陕西西