2026年秋季初2数学提优训练2：线段和角的对称性

几何世界，变幻无穷，却也暗藏规律。对称性，便是其中最为和谐与优美的规律之一。在我们初中阶段的几何学习中，线段与角是构成图形的基本元素，深入理解它们的对称性，不仅能帮助我们更深刻地把握图形的性质，更是解决许多几何问题的关键钥匙。本次提优训练，我们就一同聚焦线段和角的对称性，通过梳理核心知识、剖析典型例题、提炼解题方法，来提升我们的几何素养与解题能力。一、核心知识回顾与深化理解要运用对称性解决问题，首先必须对线段和角本身的对称性有清晰且准确的认识。这不仅仅是记住几条性质，更要理解其内在逻辑。（一）线段的对称性——垂直平分线的“馈赠”我们知道，线段是轴对称图形，它的对称轴是什么呢？没错，是这条线段的垂直平分线。这条看似简单的直线，却赋予了线段诸多特殊的性质。1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*理解要点：这个定理揭示了“垂直平分线上的点”与“线段两端点”之间的距离关系。这里的“距离”指的是两点间的线段长度。反过来思考，如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？答案是肯定的，这就是线段垂直平分线的判定定理。*判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*对称性的体现：线段的垂直平分线是线段的对称轴，意味着如果我们沿着垂直平分线将线段对折，线段的两个部分能够完全重合。（二）角的对称性——角平分线的“魅力”角也是一种轴对称图形。那么，角的对称轴又是什么呢？它不是角的边，而是角的平分线所在的直线。1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*理解要点：此处的“距离”与线段垂直平分线性质中的“距离”含义不同，它特指“点到直线的距离”，即从该点向角的两边所作垂线段的长度。这个性质是通过全等三角形（AAS或ASA）可以严格证明的，它是我们证明线段相等的重要依据。*判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。*对称性的体现：角平分线所在的直线是角的对称轴。沿着这条直线对折，角的两边能够完全重合。温馨提示：性质定理和判定定理是几何推理中非常重要的“互逆”关系，同学们在学习时要注意区分“性质”是由“位置”（如在垂直平分线上、在角平分线上）得到“数量关系”（如距离相等），而“判定”则是由“数量关系”得到“位置”。这种互逆思维对于解决复杂几何问题至关重要。二、易错点剖析与避坑指南在运用线段和角的对称性解决问题时，同学们常因概念不清或考虑不周而出现错误，以下几点需特别注意：1.“距离”的混淆：线段垂直平分线上的点到两端点的“距离”是两点间距离；角平分线上的点到两边的“距离”是点到直线的垂线段长度。若在题目中看到“距离相等”，务必先明确是哪种距离，避免张冠李戴。*反例警示：若一个点P到∠AOB的两边OA、OB的连线长度相等（即PA=PB），不能直接得出P在∠AOB的平分线上。因为PA、PB不一定是垂线段。2.“垂直”与“平分”的缺失：在应用线段垂直平分线的性质时，必须确保该直线是“垂直且平分”这条线段，二者缺一不可。不能仅看到“垂直”或仅看到“平分”就滥用性质。3.角平分线判定的前提：角平分线的判定定理中，“在一个角的内部”这个条件不可或缺。如果点在角的外部，即使到角两边距离相等，也不在这个角的平分线上（可能在其邻补角的平分线上）。三、解题方法与策略掌握了基本性质和判定，接下来我们来探讨如何运用这些知识解决具体问题。1.“见对称，思性质”：当题目中出现“垂直平分线”或“角平分线”的条件时，应立即联想到它们的性质定理，尝试构造出相应的相等线段或相等角，为后续证明或计算铺路。2.“证相等，用判定”：当要证明某条直线是线段的垂直平分线，或某个射线是角的平分线时，可以考虑使用它们的判定定理。即证明直线上的点到线段两端点距离相等，或射线上的点到角两边距离相等。3.“辅助线添加技巧”：*遇到线段垂直平分线问题，常连接垂直平分线上的点与线段的两个端点，利用其距离相等的性质。*遇到角平分线问题，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造出相等的垂线段。有时也会在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。4.“方程思想的渗透”：在涉及角的度数或线段长度计算时，若图形具有对称性，可设未知数，利用对称性质或角平分线、垂直平分线的性质建立方程求解，使问题更简洁明了。四、典型例题精讲例题1：已知，如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠A=40°，求∠EBC的度数。分析：题目中出现“垂直平分线”，应联想到其性质。DE是AB的垂直平分线，所以AE=BE，从而得到∠ABE=∠A=40°。又因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C。根据三角形内角和定理可求出∠ABC的度数，进而求出∠EBC。解答：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。∴∠ABE=∠A=40°（等边对等角）。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C（等边对等角）。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，∴∠ABC=(180°-40°)/2=70°。∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°。点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练运用“等边对等角”是解题关键。例题2：已知，如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，交AD于点G。求证：AD垂直平分EF。分析：要证AD垂直平分EF，根据线段垂直平分线的判定定理，可证AD上的点到E、F两点的距离相等，且AD与EF垂直。由AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，易知DE=DF（角平分线性质），从而∠DEF=∠DFE。再通过证明△AED≌△AFD得到AE=AF，进而证明△AEG≌△AFG，可得EG=FG且∠AGE=∠AGF=90°。证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）。∴点D在线段EF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。在Rt△AED和Rt△AFD中，AD=AD（公共边），DE=DF（已证），∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）。∴AE=AF（全等三角形对应边相等）。∴点A也在线段EF的垂直平分线上。∵两点确定一条直线，∴AD是线段EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF。点评：本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的判定。证明一条直线是线段的垂直平分线，通常证明直线上有两个点到线段两端点的距离相等。五、提优训练A组（基础巩固）1.如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长是18cm，求AC的长。2.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=3cm，则PE=______cm，理由是____________________。3.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点。求证：BE=CE。B组（能力提升）4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13。求证：BD平分∠ABC。5.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=16，且BD:DC=5:3，求点D到AB的距离。6.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D。求证：AD+BD=BC。（提示：在BC上截取BE=BA，连接DE）学习建议：在完成上述练习时，请同学们务必先独立思考，尝试运用今天所复习的知识和方法去解决。对于有困难的题目，可以先回顾例题的解题思路，或者与同学进行讨论。解题后，要养成反思的习惯，总结本题考查了哪些知识点