小学五年级数学下册《因数和倍数》精讲教案（人教版）

小学五年级数学下册《因数和倍数》精讲教案（人教版）

第一部分：设计理念与整体思路

一、设计理念：从“知识传授”到“概念建构”

本节内容的教学设计，立足于当前数学教育从“双基”向“核心素养”转型的宏观背景。因数和倍数的认识，绝非仅仅是记忆两个定义和掌握求法，而是学生数论领域学习的正式开端，是培养学生数感、抽象能力、推理意识和模型思想的绝佳载体。本设计遵循以下核心理念：

1.概念形成的过程性：摒弃直接告知定义的方式，引导学生在具体操作（如拼摆长方形）、观察算式、比较分类中，自主归纳、抽象出因数和倍数的本质属性，实现从“具体实例”到“数学概念”的意义建构。

2.数形结合的直观性：充分利用“形”来理解“数”。通过用单位正方形拼摆不同长方形的活动，将抽象的因数、倍数关系可视化，帮助学生建立“因数对应长方形的长和宽”、“倍数对应长方形的面积”等几何表象，深化理解。

3.变式与迁移的发展性：在理解概念的基础上，通过精心设计的变式练习和问题链，引导学生探究因数和倍数的特性（如一个数的因数个数有限、倍数个数无限），并自然迁移到后续最大公因数、最小公倍数等内容的学习，构建知识网络。

4.语言与思维的严谨性：高度重视数学语言的规范使用。在描述因数和倍数关系时，强调表达的逻辑性与完整性（必须说清“谁是谁的因数/倍数”），以此训练学生思维的严谨性。

二、教材与学情深度解析

（一）教材地位与作用分析

本课内容选自人教版小学数学五年级下册第二单元《因数与倍数》的起始课。在此之前，学生已经系统掌握了整数的认识、四则运算（尤其是乘除法）及其应用，积累了大量的整数乘除法计算经验和事实。这为本节课从乘除法算式中抽象出因数和倍数的概念奠定了坚实的认知基础。

从知识体系来看，因数和倍数是数论中最基本、最重要的概念之一。它不仅是学习质数与合数、最大公因数、最小公倍数等知识的直接基础，更是贯穿整个数论学习的主线。同时，它也为分数单元中约分、通分的学习提供了核心概念支持（约分、通分本质上是应用最大公因数和最小公倍数）。因此，本课具有承上启下的枢纽作用，其概念建构的扎实与否，直接关系到后续一系列内容的学习质量。

（二）学情分析与教学预设

五年级学生的抽象逻辑思维开始迅速发展，但仍需具体形象材料的支撑。他们具备以下学习起点和潜在困难：

1.认知起点：

1.2.熟练掌握乘除法的意义及各部分名称（因数、积、被除数、除数、商）。

2.3.具备在整数范围内进行准确乘除法计算的能力。

3.4.有一定的观察、比较、归纳的学习经验。

5.潜在困难与迷思概念：

1.6.概念的混淆：容易将“因数”与乘法中的“乘数”（因数）完全等同，忽视其表示“整除关系”这一数论本质；对“倍数”的理解可能停留在“扩大几倍”的生活语言层面。

2.7.关系的单向性理解困难：理解“因数和倍数是相互依存的一对概念”存在障碍，常会孤立地说“X是因数”，“Y是倍数”。

3.8.探寻方法的有序性缺失：在寻找一个数的全部因数或部分倍数时，思维缺乏条理，易产生遗漏或重复。

4.9.对“0”与“1”的特殊性认识不足：在因数和倍数的讨论范围（非零自然数）上容易模糊，对1是所有非零自然数的因数等特性感到困惑。

基于以上分析，教学的关键在于创设有效情境，引导学生在活动中对比、辨析，完成概念的精准建构，并掌握有序思考的方法。

三、素养导向的教学目标

1.数学眼光（抽象与直观）：

1.2.结合具体情境和操作活动，理解因数和倍数的意义，能正确判断两个数之间的因数与倍数关系。

2.3.初步学会从数学的角度观察整数间的整除关系，并尝试用几何直观（长方形模型）进行表征。

4.数学思维（推理与有序）：

1.5.掌握求一个数的因数和倍数的方法，体会有序思考的重要性，并能正确、完整地写出一个数的因数或倍数。

2.6.在探究活动中，发现并理解一个数的因数个数有限、倍数个数无限的特性，以及1和它本身这两个特殊因数。

7.数学语言（表达与建模）：

1.8.能用规范的数学语言表述“X是Y的因数”、“Y是X的倍数”，体会因数和倍数概念的相互依存性。

2.9.初步尝试用字母（如a×b=c）概括因数和倍数的关系，建立基本的数学模型。

四、教学重难点

1.教学重点：理解因数和倍数的意义，掌握求一个数的因数和倍数的方法。

2.教学难点：

1.3.理解因数和倍数是一对相互依存的概念，不能孤立存在。

2.4.体会有序地找出一个数的全部因数，理解因数个数的有限性。

3.5.明确本单元研究的因数和倍数时，所说的数一般指非零自然数。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件、学习任务单、若干张画有方格（如12个、18个方格）的纸或对应的磁贴小正方形。

2.学生准备：铅笔、直尺、草稿本。

第二部分：教学实施与过程（详案）

第一环节：创设情境，孕伏概念(约8分钟)

活动一：动手操作，感知关系

1.情境导入：出示问题：“老师这里有12个大小完全一样的正方形，请你用它们拼成一个长方形（包括正方形）。可以怎样拼？每排摆几个？摆了几排？你能用一道乘法算式表示你的摆法吗？”

2.学生独立操作与记录：学生在学习任务单上画图或思考，并列出算式。

3.汇报交流：教师根据学生回答，利用课件或磁贴动态展示三种拼法：

1.4.摆成1排，每排12个。算式：1×12=12

2.5.摆成2排，每排6个。算式：2×6=12

3.6.摆成3排，每排4个。算式：3×4=12

（引导学生理解，正方形是特殊的长方形，所以“摆成1排”也符合要求。）

7.初步孕伏：教师引导观察：“这些拼法都和数字12有关。看这些乘法算式，1，12，2，6，3，4这些数与12有什么关系呢？”学生可能回答：“它们乘起来等于12。”教师板书所有乘数：1,12,2,6,3,4。

设计意图：从直观的拼长方形活动入手，将抽象的“数”与形象的“形”建立联系。学生在活动中自然地运用乘法，并聚焦于“积是12”这一组特定的数对，为引出因数的概念提供了丰富的感性材料，有效激活了学生的已有认知。

第二环节：合作探究，建构概念(约20分钟)

活动二：基于算式，抽象定义

1.揭示课题：教师指出：“在数学上，像这样，在整数乘法中，乘得的积是12，那么1，2，3，4，6，12这些数就与12有了一种特殊的关系。今天我们就来研究这种关系——因数和倍数。”（板书课题）

2.引导自学与交流：出示课本定义，让学生阅读：“在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。”

1.3.关键提问1：定义是从哪种运算的角度说的？（整数除法）和我们刚才的拼图活动（乘法）有联系吗？

2.4.引导学生将乘法算式改写成除法算式。例如：由3×4=12，可以得到12÷3=4，12÷4=3。

3.5.关键提问2：根据定义，在12÷3=4中，谁是谁的倍数？谁是谁的因数？

4.6.学生尝试回答，教师规范语言：“因为12÷3=4（商是整数且没有余数），所以，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。”

7.概念辨析与巩固：

1.8.请学生仿照例子，说一说由算式2×6=12，可以得出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

2.9.同桌互说：一人说一个算式（如20÷4=5），另一人说出因数与倍数关系。

3.10.强调相互依存性：教师通过追问：“能单独说‘12是倍数’或‘3是因数’吗？为什么？”引导学生发现必须说清“谁是谁的”，就像“爸爸”和“儿子”的关系一样，是相互依存、同时存在的。

4.11.沟通乘除法联系：小结：乘法和除法是互逆运算，所以我们既可以从乘法角度（a×b=c）说a和b是c的因数，c是a和b的倍数；也可以从除法角度（c÷a=b）得出同样的结论。

活动三：尝试应用，深化理解

1.即时判断练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。

1.2.（1）因为2.4÷0.6=4，所以2.4是0.6的倍数。（强调：我们研究因数和倍数时，所说的数一般指非零自然数。）

2.3.（2）因为24÷6=4，所以24是倍数，6是因数。（强调：表述不完整，缺少相互依存关系。）

3.4.（3）因为15÷5=3，所以15是5的倍数，5是15的因数。（正确，请学生完整复述。）

5.回归“形”的验证：指着之前拼出的3×4的长方形，“在这个长方形中，长是4，宽是3，面积是12。能不能用今天学的知识解释长、宽和面积的关系？”（引导学生说出：12是3和4的倍数，3和4是12的因数。初步感受数的关系与图形度量的统一。）

设计意图：此环节是概念建构的核心。通过阅读定义、改写算式、反复表述、正误辨析等递进活动，引导学生多角度理解概念内涵，突出概念的“整除关系”本质、表达规范以及研究范围，实现概念的精准建构。

第三环节：探索方法，发现规律(约25分钟)

活动四：如何找到一个数的所有因数？——以18为例

1.抛出任务：“我们已经知道3和4是12的因数。那么，18有哪些因数呢？怎样才能一个不漏地找出来？”

2.独立探究与小组讨论：学生先独立思考，再在小组内交流方法。

3.方法汇报与优化：

1.4.方法1（乘法思路）：想哪两个整数相乘得18？1×18=18，2×9=18，3×6=18。所以因数有：1,18,2,9,3,6。

2.5.方法2（除法思路）：用18依次除以1,2,3…，看商是否是整数且无余数。18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6,18÷6=3…（发现开始重复）。

3.6.引导发现有序性：对比两种方法，引导学生发现“成对地找”既快又不漏。从最小的因数1开始找起，1×18=18，找到一对（1,18）；接着试2，2×9=18，找到（2,9）…一直试到两个因数接近或相等（如试4不行，试5不行，试6时，因为6×3=18，但3已经出现，说明找完了）。

7.规范书写与发现特性：

1.8.教师演示有序书写的两种方式：列举法：18的因数有：1,2,3,6,9,18。集合法（初步接触）：{1,2,3,6,9,18}。强调按从小到大顺序排列。

2.9.观察发现：

1.3.10.18的最小因数是（1），最大因数是（它本身，18）。

2.4.11.一个数的因数的个数是（有限的）。

12.巩固练习：找出16和30的所有因数，并观察其特点。

活动五：如何找到一个数的倍数？——以2为例

1.迁移任务：“我们会找一个数的因数了，那如何找出2的倍数呢？”

2.自主探索：学生很容易想到用2依次乘1,2,3,4…

3.汇报与规范：

1.4.方法：用这个数依次乘非零自然数1,2,3,4…所得的积就是它的倍数。

2.5.表示：2的倍数有：2,4,6,8,10…（用省略号表示无穷无尽）。

3.6.简便写法：2的倍数：2,4,6,8,10,…

7.发现特性：

1.8.一个数的最小倍数是（它本身）。

2.9.一个数的倍数的个数是（无限的）。

3.10.没有最大倍数。

11.对比小结：将“求因数”和“求倍数”的方法、结果特点进行对比，形成清晰认知结构。

求一个数的因数

求一个数的倍数

方法

想乘法算式，成对有序地找。

用这个数依次乘1,2,3...

个数

有限的。

无限的。

表示

全部列出，用逗号隔开。

写出几个后加省略号。

最小

1

它本身

最大

它本身

不存在

设计意图：本环节旨在引导学生探索求一个数的因数和倍数的科学方法，并从中发现数学规律。通过对比，学生不仅能掌握技能，更能深刻理解因数与倍数这两个概念在“个数有限/无限”等本质属性上的区别，思维从“会求”走向“悟理”。

第四环节：分层练习，深化拓展(约20分钟)

（一）基础巩固层（考法提炼：概念辨析与直接应用）

1.判断题（易错点覆盖）：

1.2.（1）8是倍数，2是因数。（）

2.3.（2）因为3.6÷0.9=4，所以3.6是0.9的倍数。（）

3.4.（3）一个数的倍数一定比它的因数大。（）（反例：一个数的最小倍数等于它的最大因数，即它本身）

4.5.（4）36÷9=4，所以36是9的倍数，9是36的因数。（）

5.6.（5）一个数的因数的个数是无限的。（）

7.选择题：

1.8.下面各组数中，有因数和倍数关系的是（）。

A.2.5和0.5B.17和34C.8.1和0.9D.12和36

2.9.一个数既是12的因数，又是3的倍数，这个数可能是（）。

A.1B.2C.3D.6

10.完成课本做一做：写出指定数的因数或倍数。

（二）综合应用层（考法提炼：理解关系与有序思考）

1.“猜数”游戏：

1.2.一个数是42的因数，同时也是7的倍数。这个数可能是多少？（7,14,21,42）

2.3.它是48的因数，又是8的倍数，还是2的倍数。这个数是多少？（8,16,48）

3.4.（提升）一个两位数，是5的倍数，各个数位上的数字之和是8。这个两位数是（）。它有哪些因数？

5.解决问题：

1.6.把24块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？（列出所有可能的因数对，联系生活实际选择合理方案。）

（三）思维拓展层（考法提炼：探究规律与模型思想）

1.观察发现：

1.2.找出1、4、9、16、25…（完全平方数）的因数个数有什么特点？（奇数个）为什么？（因为成对出现的因数中，中间那个因数与自己相乘，只算一个）。

2.3.一个数的最小因数和最大因数的和是25，这个数是多少？（24，因为最小因数是1，最大因数是它本身，所以1+它本身=25，它是24。）

4.初步渗透集合图：用韦恩图表示一个数的因数与倍数集合，直观感知有限集与无限集的区别。

设计意图：练习设计体现梯度，覆盖常见考法。基础题巩固概念本质，纠正易错点；综合题强调概念间的联系与灵活应用；拓展题激发学有余力学生的探究兴趣，渗透数学思想方法，为后续学习质数、合数等埋下伏笔。

第五环节：总结反思，构建体系(约7分钟)

1.知识梳理：引导学生回顾，“这节课我们认识了哪两个新朋友？（因数和倍数）它们是在什么条件下产生的？（整数除法，商是整数无余数）怎样求一个数的因数？（有序、成对）怎样求倍数？（依次乘非零自然数）它们各有什么特点？”

2.方法提升：我们用了哪些方法来学习新知识？（动手操作、观察算式、比较分类、归纳概括）

3.思想感悟：在找因数的过程中，体会到了什么？（有序思考的重要性）；在因数和倍数的关系中，体会到了什么？（相互依存的辩证思想）。

4.板书再现：结合结构化的板书，形成清晰的知识网络。

5.布置作业（分层）：

1.6.必做题：课本练习二第1、2、3、4题。

2.7.选做题：

（1）探究：一个数的最大因数加上它的最小倍数，和是56，这个数是多少？

（2）生活链接：你的学号是多少？写出你学号的所有因数，以及它的前5个倍数。

第三部分：教学评价与板书设计

一、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在操作活动、小组讨论、汇报交流中的参与度、思维状态和语言表达的规范性。

2.3.任务单分析：通过检查学生“拼长方形”的记录、因数倍数的寻找过程，评价其动手能力、有序思考习惯和概念理解水平。

4.终结性评价：

1.5.课堂练习反馈：通过分层练习的完成情况，诊断学生对基础知识、基本技能的掌握程度，以及对易错点的辨析能力。

2.6.课后作业分析：通过必做题和选做题的完成质量，评估教学目标达成度，并为个别辅导提供依据。

二、板书设计（思维导图式）

因数和倍数的认识

一、意义

在整数除法中（商是整数，无余数）：

被除数是除数和商的倍数。

除数和商是被除数的因数。

相互依存，不能单独说。

一般指非零自然数。

二、求法

1.找因数（个数有限）：

例：18的因数

1×18=18

2×9=18

3×6=18

↓（有序，成对找）

18的因数有：1，2，3，6，9，18。

特点：最小是1，最大是它本身。

2.找倍数（个数无限）：

例：2的倍数

2×1=2，2×2=4，2×3=6…

↓（依次乘1,2,3…）

2的倍数有：2，4，6，8，…

特点：最小是它本身，没有最大。

三、关系

a×b=c(a,b,c都是非零自然数)

则：a和b是c的因数，c是a和b的倍数。

第四部分：易错点深度剖析与教学对策

1.易错点：概念表述不完整、不准确。

1.2.错误示例：“12是倍数”、“3是因数”。

2.3.成因分析：对因数和倍数相互依存的关系理解不深，受生活化语言（如“扩大几倍”）干扰。

3.4.教学对策：在概念建立初期，严格要求学生说完整的句子“X是Y的因数/倍数”。通过大量正反例子辨析，利用“父子关系”等类比强化相互依存性。教师在课堂语言中要率先垂范。

5.易错点：研究范围不清晰，将小数、分数等纳入讨论。

1.6.错误示例：根据4.8÷0.6=8，判断4.8是0.6的倍数。

2.7.成因分析：定义中“整数除法”的前提条件被忽视，对“数”的范围约定不明。

3.8.教学