小学四年级数学下册第一单元第10课时《最优化的学问：解决租船问题》教案

小学四年级数学下册第一单元第10课时《最优化的学问：解决租船问题》教案

一、【基础】教学内容解析

本课时的教学内容是人教版小学数学四年级下册第一单元“四则运算”中的例5，通常被称作“租船问题”或“最优化问题”。本节课并非简单的四则运算技能训练，而是将计算知识应用于解决现实生活情境中的复杂问题，旨在培养学生的数学建模能力和优化思想。教学内容的核心在于引导学生面对有限的资源和不同的价格策略时，如何通过分析与调整，找到满足条件的、成本最低的方案。教材编排遵循“阅读与理解”、“分析与解答”、“回顾与反思”三大步骤，旨在帮助学生建构系统的问题解决框架。从知识体系来看，本课是在学生已经掌握了两、三步计算的四则混合运算顺序及有余数除法的基础上进行的，是对所学知识的综合应用，同时也为后续学习“数学广角——优化”以及高年级的“最优化”问题（如行程优化、运费优化等）奠定了思维基础。因此，本节课的内容具有高度的综合性和思维价值，是连接数学知识与生活实际的桥梁。

二、【基础】学情分析

四年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们已经具备了一定的生活经验，对“租船”、“租车”这类活动并不陌生，这为理解情境提供了认知基础。在知识储备上，学生能够熟练进行四则混合运算，并能解决简单的有余数除法问题。然而，面对“租船问题”这类具有多个变量和约束条件的开放性问题，学生的思维往往会遇到挑战。具体表现为：一是思维定势，学生可能会直观地认为“人均便宜就该全租那种船”，而忽略空位带来的浪费；二是策略单一，难以自主想到需要分步调整、枚举比较的方法；三是反思不足，找到一种方案后就停止探索，缺乏对方案是否最优的验证意识。因此，教学中需要充分预估这些难点，通过小组合作、数据对比等方式，引导学生突破思维局限，经历“假设—调整—验证”的完整探究过程。

三、【核心】核心素养指向

【核心素养：数学建模】引导学生将从现实情境中提取的数学信息，转化为数学问题，并通过建立表格、计算比较等方式构建解题模型，经历模型建立、求解、验证的全过程。

【核心素养：优化思想】在多种可行方案的列举与比较中，体会在约束条件下寻求最优解的价值，感受优化思想在解决实际问题中的重要意义。

【核心素养：应用意识】通过解决身边的实际问题（如租船、租车），让学生深刻感受到数学就在身边，激发学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界的兴趣。

四、【重点难点】教学定位

【教学重点】

掌握“先假设，再调整”的策略，即先假设全部租用单价便宜的船，然后根据余数和空位情况进行合理调整，从而找到最省钱的方案。这是解决此类问题的基本通法。

【教学难点】

理解为什么“人均便宜”不一定代表“总价最省”，并能根据空位情况灵活调整，找到正好坐满或空位最少的方案。这是对优化思想的深度理解，也是学生思维进阶的关键点。

五、【顶层设计】教法与学法

【教法】采用“情境驱动—问题导向—对比建构”的教学模式。教师作为学习的组织者和引导者，通过创设真实的租船情境，激发学生的探究欲望；通过关键问题的追问（如“这样一定最省钱吗？”“还有更好的办法吗？”），驱动学生向思维的更深处漫溯；通过引导学生对不同方案的对比分析，帮助学生自主建构数学模型。

【学法】倡导“自主探究—合作交流—反思提炼”的学习方式。学生将在独立思考的基础上，尝试制定租船方案；在小组内交流各自的方案与计算过程，通过思维的碰撞，发现不同方案的优劣；最后在教师的引领下，共同回顾解决问题的过程，提炼出一般性的解题策略。

六、【实施过程】教学设计与实施

（一）【热点】创设情境，激活经验——引出“省钱”的主题

课堂伊始，教师利用多媒体课件展示一幅春光明媚、同学们在公园湖面划船的动态画面，并配以轻松愉快的背景音乐。画面定格在“租船处”的告示牌上。

师：同学们，春游是我们最期待的活动。画面中的同学们也遇到了一个难题，你们愿意用你们聪明的数学头脑帮帮他们吗？

（课件出示例5主题图及核心信息：一共有32人租船游玩，每条大船限乘6人，租金30元/小时；每条小船限乘4人，租金24元/小时。问题是：怎样租船最省钱？）

师：请大家仔细观察，从图中你能获得哪些关键的数学信息？我们要解决一个什么问题？

【设计意图】从学生熟悉且喜爱的春游场景切入，迅速拉近数学与生活的距离，激发学生的参与热情。引导学生学会审题，明确已知条件和问题，这是解决问题的第一步，也是【基础】能力的培养。

（二）【难点】初次探究，暴露思维——感知“单价”与“总价”的矛盾

1.独立尝试，初步构想

师：请每一位同学先静静地想一想，你打算怎样租船？把你的初步想法简单地记录在本子上。

（学生独立思考，教师巡视，了解学生的初始想法。此时学生的想法可能五花八门：有的可能随意搭配，有的可能只租一种船，有的可能凭感觉乱凑。）

2.汇报交流，呈现典型方案

师：谁愿意来分享一下你的租船方案？

教师有意识地板书两种具有代表性的方案：

方案A（全租小船）：32÷4=8（条），8×24=192（元）。

方案B（全租大船）：32÷6=5（条）……2（人），剩下的2人也要租一条小船，所以租5条大船和1条小船。5×30=150（元），150+24=174（元）。

3.引发认知冲突

师：我们看到了两种不同的方案，一种192元，一种174元。大家认为哪种更省钱？（学生齐答：174元的。）

师：那是不是说，方案B就是最省钱的呢？有没有同学有不同的意见，或者认为还有更省钱的方案？

（此时，部分思维活跃的学生可能会提出异议，认为可以调整，把空位减少。）

师：大家发现了吗？在方案B中，我们租了5条大船和1条小船，小船坐了几个人？（4人）我们实际需要坐的是几个人？（32人）大船每条坐6人，5条大船坐了30人，加上小船的4人，一共坐了34人。我们只有32人，这意味着什么？

生：有2个空位。

师：对！有2个空位。这2个空位是我们花了24元钱买来的，但却没有发挥作用。有没有可能通过调整，把这2个空位也利用起来，让我们的钱花得没有一点浪费呢？

【设计意图】通过两种简单方案的对比，初步得出“全租大船比全租小船便宜”的结论，并引导学生分析“人均单价”（大船5元/人，小船6元/人），这是解决此类问题的【重要】切入点。同时，通过追问“空位”问题，巧妙地制造了认知冲突，将学生的思维从简单的“单价比较”引向更深层次的“空位优化”，为后续的探究指明了方向。

（三）【核心】合作探究，建构模型——经历“假设-调整”的全过程

1.提出核心任务

师：刚才的方案出现了空位，造成了浪费。那么，我们能不能调整一下，在尽量多租大船（因为大船人均便宜）的基础上，通过减少一些大船、增加一些小船，让所有的船都刚好坐满，没有空位呢？请大家以4人小组为单位，合作探究，看看哪个小组能最快找到最省钱的方案。

2.小组合作，深度探究

（教师巡视指导，参与小组讨论，关注学生的思考过程。对于陷入困境的小组，可以适时引导：“你们能不能试着减少1条大船，看看总人数和船的数量会有什么变化？”鼓励学生用画图或列表的方式辅助思考。）

3.汇报展示，思维碰撞

小组代表上台展示本组的探究成果。

组1：我们尝试了减少1条大船。原来是5大1小，总座位34个。减少1条大船，就变成了4条大船。4条大船坐24人，还剩下32-24=8人。这8人刚好需要2条小船（8÷4=2）。这样租船方案就是4条大船和2条小船。总费用是：4×30=120（元），2×24=48（元），一共120+48=168（元）。我们算了一下，168元比174元更便宜！而且所有船都坐满了，没有空位！

（教师根据学生的汇报，板书方案C：租4条大船和2条小船，总价168元。）

师：太棒了！这个小组通过“减少大船，增加小船”的调整，不仅消灭了空位，还让总价降低了。大家对这个方案还有什么疑问或者补充吗？

生：我们还想验证一下，是不是没有空位就一定最省钱？

师：这个问题提得非常有价值！没有空位，说明资源被充分利用了，但它一定对应着最低的价格吗？我们需要进一步的验证。

4.枚举验证，完善模型

师：为了确保我们找到的168元就是最低价，我们还需要看一看其他可能的租船方案。数学上最保险的方法就是把所有可能的租船方案都列出来，然后比较总价。

（教师引导学生按照大船数量从多到少的顺序，共同完成一个租船方案的列举表格，边说边在黑板或课件上呈现。）

【非常重要】租船方案枚举表

大船条数（每条30元） 小船条数（每条24元） 可坐人数 空位个数 总租金（元）

6 0 36 4 180

5 1 34 2 174

4 2 32 0 168

3 3 30 （不够） ——

3 4 34 2 186

2 5 32 0 180

1 6 30 （不够） ——

1 7 34 2 198

0 8 32 0 192

（注：在列举过程中，要引导学生理解必须保证总座位数≥32人，且每条船不能超载。）

师：请大家仔细观察这张表格，你们发现了什么？

生1：我们发现，并不是空位为0的方案（4大2小、2大5小、0大8小）价格都一样，有的180元，有的192元，只有168元是最低的。

生2：表格中所有方案的价格，168元的确是最低的！

师：那为什么同样没有空位，价格却不一样呢？

生：因为168元的方案里，大船的数量最多，而大船的人均价格便宜。

师：总结得太精彩了！通过这张完整的表格，我们不仅验证了168元是最省钱的方案，更深刻地理解了：要想最省钱，首先要尽可能多地租用那种人均便宜的船型（大船），在这个前提下，再通过调整，尽量做到没有空位。这才是最完美的策略。

【设计意图】这一环节是本课的核心。通过小组合作探究，让学生亲身经历“假设（全租大船）—发现空位—调整方案—对比优化”的全过程。最后通过枚举法构建完整的方案表格，不仅培养了学生思维的严密性（不重复、不遗漏），更让学生在数据对比中，深刻地建构起解决租船问题的数学模型，突破了本课的【难点】，达成了【核心素养】中建模与优化的目标。

（四）【高频考点】回顾反思，提炼策略——形成“解决问题”的通法

师：同学们，让我们回过头来看看，我们是怎样一步步找到最省钱方案的？

引导学生回顾并总结：

第一步：【基础】阅读与理解，弄清已知条件和问题。

第二步：【重要】分析与解答。

（1）先算单价，比一比：大船人均5元，小船人均6元，得出租大船便宜的策略。

（2）再假设，全租大船，发现有余数，有空位。

（3）后调整，减少大船，增加小船，调整到没有空位或空位最少为止。

（4）为确保万无一失，可以用列表法进行枚举验证。

第三步：【核心】回顾与反思，检查计算是否正确，思考策略是否最优。

师：这就是我们今天学习的“解决问题”的秘诀。以后遇到这类“最省钱”、“最合算”的问题，我们就可以用上“先假设，再调整”的策略。这种策略不仅在租船问题中适用，在生活中的租车、买票、购物等很多方面都有广泛的应用。

【设计意图】及时归纳总结，帮助学生将零散的探究经验上升为系统的解题策略，形成解决此类问题的一般性方法，实现从“一道题”到“一类题”的跨越，这也是课程改革强调的“授人以渔”。

（五）【重要】巩固练习，内化迁移——检验模型应用能力

1.【基础性练习】（仿照例题，巩固方法）

课件出示P11“做一做”：我校共有老师15人，学生325人。大车可坐40人，租金900元；小车可坐20人，租金500元。怎样租车最省钱？

学生独立完成，教师巡视，指名板演。

集体订正时，重点追问：为什么先考虑租大车？你是如何根据余数进行调整的？你的方案有没有空位？最终花了多少钱？

（计算过程：总人数340人；大车人均22.5元，小车人均25元；全租大车340÷40=8（辆）…20（人），需9辆，租金7200元；调整为8辆大车和1辆小车刚好坐满，租金8×900+1×500=7700元。此处需注意，调整后总价并非最低，因有余数时直接加一辆大车有空位，与加一辆小车刚好坐满相比，后者更优。通过此题进一步强化“调整”的必要性。）

2.【变式练习】（灵活运用，避免思维定势）

课件出示：有28人乘车。面包车限乘6人，每辆租金80元；轿车限乘4人，每辆租金60元。怎样租车最省钱？

（此题中，面包车人均约13.3元，轿车人均15元，面包车便宜。全租面包车：28÷6=4（辆）…4（人），需5辆，租金400元；但若调整为3辆面包车（坐18人），剩下10人需3辆轿车（10÷4=2…2，需3辆），租金3×80+3×60=420元，比400元贵；再调整为4辆面包车和1辆轿车，4辆面包车坐24人，剩下4人刚好1辆轿车，无空位，租金4×80+1×60=380元，比400元更便宜！）

通过此题让学生明白，当余数较大时，调整方案可能得出更优解，进一步巩固“调整”策略的灵活性。

【设计意图】两道练习题层次分明。第一题是基本情境的迁移，巩固解题模型；第二题是变式，当全租便宜车出现余数时，直接加一辆车不一定是最优，必须通过调整来寻找刚好坐满或空位最少的方案，深化了对模型的理解。

（六）【拓展】课堂总结，畅谈收获

师：同学们，这节课快要结束了。请大家闭上眼睛，在脑海里像放电影一样，回顾一下我们今