初中数学几何角度计算十一种模型梳理

初中数学角度计算中11个经典模型（56页wo"）

A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+ZP=90°

【分析】过点。作C/〃A4,根据平行线的性质得到NBCT=Na,ZDCF=Zp,即可解答.

【解析】如图，过点。作

YAB//DE,：.AB//CF//DE,:・/BCF=/a,NOCT=Np,

'：ZBCD=70\?.ZBCD=ZBCF+ZDCF=Za+Zp=70°,Za+Zp=70°.故选B.

【小结】考查平行线性质，正确作出辅助线，掌握平行线的性质进行推理证明是解题关键.

变式1如图工8〃比,/力=90。,则。，夕，/的大小关系是（）

A.°=a+yB.£=。+丁一90。C.j3=y+900-aD.〃=a+90。—/

【解析】如图，过点C和点。作CG//AB.DH//AB,

，：CG/IAR、DH"AB、：・CGIIDH//AB,'：AB//EF、：・ABHEF//CG//DH,

VCG//A及，ZBCG=a,:.ZGCD=ZBCD-ZRCG呻CG//DH、：.ZCDH=ZGC/>p-a.

变式2综合探究：已知AB//CZ),点、M、N分别是A8、CO上两点，点G在A8、

CO之间，连接MG、NG.

(1)如图1,若GM上GN,求NAMG+NCNG的度数：

(2)如图2,若点。是CO下方一点，MG平分/BMP,ND平分/GNP,已知

N8MG=40。，求NMGN+/MPN的1度数.

【解析】(1)如图1,过G忤GH//AB、YABHCD,:.GHIIABIICD

:.ZAMG=ZHGM,/CNG=/HGN,MG工NG

4MGN=NMGH+ZNCH=ZAMG+ZCNG=90°

(2)如图2,过G作GK//A5,过点P作夕。〃48设NGN£>=a

-GK//AB,AB//CD,:.GKHCD4KGN=4GND=a,

、：GK11AB,NBMG=40。,ZMGK=ABMG=40°

•.MG平分/BMP,ND平分NGNP,:.NGMP=NBMG=40°,:./BMP=80。,

,:PQHAB,:./MPQ=4BMP=8S,・；NDN-令4CNP,:.NDNP=NGND=a,

-AB//CD,s.PQHCD,ZQPN=ZDNP=a,/.ZMG/V=40°+«,

/MPN=80。-a,/./MGN+乙MPN=40。+a+80。-a=120°

K

D

Q------

图2

模型3双垂直模型

【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【结论】NBAC=NDCE,/ACB=/CED.

【证明】•；NB=/D=NACE40。

・•.ZBAC+ZACB=90°

XZEC£>+ZACB=90a

：./BAC=/DCE

同理，NAC8+NOCE=90°,且NCEO+NOCE=90°

:.NACB=NCED,得证。

例题2如图，在△AAC中，ZACfi=90°,尸是4c延长线上一点，FDlAfi,垂足为/),

VZACB=90°,，NA+NB=90°,,NA=N8EO=55°.

变式3如图，△A3。中，NB=NC,FD1BC,DE±AB,ZAFD=152°,求NA的度数.

【解析】VDF1BC,.\ZFDC=90°,

VZAFD=152°,AZC=ZAFD-ZFDC=152°-90°=62°,

VZB=ZC,AZA=1800-Zfi-ZC=180°-62°-62°=56°.

变式4如图，在中，ZACB=90°,CO_LAB于。.

(1)求证：NACQ=N8：

(2)若AF平分NC4B分别交CD、BC于E、F,求证：/CEF=/CFE.

【解析】证明：(1)•••/ACB=90°,CO_LA8于。，

AZACD+ZBCD=90°,NB+/BCO=90。，AZACD=ZB；

(2)在即ZiAFC中，ZCM=900-ZCAF,

同理在即中，ZAED=900-ZDAE.

又广平分NCAB,：.ZCAF=ZDAE,：.ZAED=ZCFE,

又V4CEF=ZAED,:.ZCEF=/CFE.

变式5(1)如图①，在R椁ABC中，NACB=90。，CD1AB,垂足为。，NACO与N8

有什么关系？为什么？

(2)如图②，在aAABC中，ZC=90°,。、E分别在AC,八B上，且NAOE=N8,判断

△ADE的形状是什么？为什么？

在RQABC和处△OBE中，ZC=90°,Z£=9(P,AB±BD

同一直线上，/A与N。有什么关系？为J什么？

Zhz

ADBAEBCBE

图①图②图③

【解析】(1)ZACD=ZB,理由如下：•.•在RQABC中，NACB=90°,CD1AB,

:.ZACD+Z/l=ZB+ZDCB=90°,:.ZACD=ZB；

(2)&4。£是直角三角形.

•.•在即AABC中，ZC=90°,D、E分别在AC,AB上，且NAOE=N8,NA为公共角,

••.NAED=NACB=90。，；・AAOE是直角三角新;

(3)ZA+ZD=90°.•.•在凡AABC和心AOBE中，ZC=90°,ZE=90°,ABLBD,

例题3如图所示，△"(?中，ZC=75°,若沿图中虚线截去NC,则N1+N2等于多少度？

B

【解析】VZA+Z/?+ZC=180°,，N4+N8=1800・NC,

VZC=75°,AZ4+Z/?=180°-75°=105°,：/l+/2+NA+N8=360°,

.\ZI+Z2=360°-(N4+/B),/.Zl+Z2=360°-1O5°=255°.

变式6如图，已知NA=40,求/1+/2+N3+N4的度数.

【解析】VZA=40°,

r.Zl+Z2+Z3+Z4=280°.

例题4如图，AABC中，

（1）若N3=70。，点P是AABC的/8AC和NAC8的平分线的交点，求NAPC的度数.

（2）如果把（I）中/3=70,这个条件去掉，试探索/4PC和N8之间有怎样的数量关系.

【解析】(I)VZZ?=70°,.,.ZBAC+ZBC4=1IO°,

•.•点P是△八BC的N8/IC和NAC8的平分线的交点，，/雨。=工/8八。,NPC4=-1/8C4,

22

-,.Z/?AC4ZPCA=1(Z/MOZPC4)=lxllO0=55°,/.ZP=180°55°=125°；

22

(2)•.•点P是。的NA4C和NACB的平分线的交点，

：.ZPAC=^.Z13AC,NPCA=L/8CA,：.ZPAC+ZPCA=1-(ZPAC+ZPCA),

222

.*.ZP=180o-(Z/MC+ZPCA)=180°(ZBAC+ZBCA')=180°-A.(180°-ZB)

22

=90°+izB.

2

变式7如图，在△八BC中，NABC与NACB的平分线交于点O.

(1)如图1,已知NABC=40。，NACB=60。，求N80C的度数.

(2)如图2,已知NA=90。，求N80C的度数.

(3)如图1,设NA=m。，求N80C的度数.

2

•••。。平分/4。8,NAC8=60°,ZOCB=—ZACB=300,

2

ZBOC=180°-20°-30°=130°.

(2)VZA=90°,/.Z4BC+ZACB=180°-90°=90°,

又•：NOBC=LNABC,ZOCB=1.ZACB,:.NOBC+NOCB=45。,

22

.•.N8OC=180°-45°=135°.

(3)ZA=m0ZABC+ZACB=180°-〃/，

又•••NOBC=LNA3C,ZOCB=^ZACB,

22

:.NO8C+NOCB=900-Xnc,:.ZBOC=90°+-Ln°.

22

变式8已知在△A8C中，/A=100。，点。在的内部连接3。，CD,且NA8O=N

CBD,4ACD=/BCD.

(1)如图1，求N3OC的度数；

(2)如图2,延长8。交4C于点E,延长C。交48于点凡若NAE。-/A"D=12。，求

/AC”的度数.

(图1)

【解析】(1)VZA=100°,；・NA8C+NACB=80°,

又•：NABD=NCBD,NACD=/BCD,:,NCBD=L/ABC,NBCD=L/ACB,

22

:・NCBD+NBCD=L(NABC+NACB)=40°,AZBDC=180°-40°=140°：

2

(2)设N4CF=a,则N6CQ=a,VZBDC=140°,，NC8Q=40。-a=N48O,

•.•/AEO是△OCE的外角，N'AF。是ABO产的外角，

:.NAED=ZACF+ZCDF,£AFD=NABE+NBDF,

:・NAED-NAFD=NACF+/CDF-NABE-NBDE=a-(40°-a)=12%

解得a=26°,AZACF=26°.

变式9已知任意一个三角形的三个内角的和是180。.如图1,在△48C中，/ABC的角平

分线BO与NAC8的角平分线C。的交点为。

(1)若NA=70。，求NBOC的度数：

(2)若NA=〃，求N80C的度数；

(3)如图2,若80、C。分别是NA8C、N4C8的三等分线，也就是N08C=gN43C,Z

OCB=-ZACB,ZA=a,求/BOC的度数.

3

【解析】(1)VZA=70°,：.ZABC+ZACB=\S0°-ZA=110°,

,在△A8C中，N48C的角平分线80与NAC3的角平分线CO的交点为O,

."8。=*枷，/。。吟48

，/OBC+NOC8=L(/ABC+/AC8)=55。,

2

r.Z5OC=180o-(NO8C+NOC4)=125°；

(2)VZ/4=a,

・•・NA3C+NACB=180。-乙4=180。-a,

•・•在△ABC中，ZA/?C的角平分线BO与/ACB的角平分线C。的交点为O,

:.ZOBC=L/ABC,ZOCB=1-/ACB,

22

：.NOBC+NOCB=L(N48C+NAC8)=上(180°-a)=90°-in,

222

.\ZBOC=180°-(/OBCMOCB)=180°-(90°-1口)=90O+-LQ；

22

(3)VZA=a,/.ZABC+ZACB=\^00-ZA=180°-a,

•.•/O3C=工NABC,NOC8=L/AC'

33

:,NOBC+NOCB=L(N48C+NAC8)=工(180°-a)=60。」a，

333

r.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=180°-(60°-La)=120o+-k.Q.

33

例题5如图，AA8c中，NA8C与NAC3的外角的平分线相交于点E.

(1)已知NA=60。，求NE的度数；

<2)直接写出N人与NE的数量关系；.

【解析】(1)，：CE、8£分别平分N4C。、ZABC,

；・/ECD=LNACD,NEBC=LNABC,

22

AZE=ZECD-NEBD=L(ZACD-N48C)=工/4=30\

22

(2)由(1)得，NE=L/A,/.ZA=2Z£

2

变式10如图，"BC的外角NACO的平分线”与内角NA8C平分线8P交于点P,若N

BPC=40°,求NC48的度数.

【解析】在△A8C中，ZACD=ZBAC+ZABC,

在APBC中，NPCD=NBPC+NPBC,,:PB、PC分别是NABC和/4C。的平分线，

:.ZPCD=1.^ACD,ZPBC=1.ZABC,

22

・•・ZPCD=/3PC+NP3c=4J0+L/A5C,.,.lzACD=iZAfiC+40°,

222

J.ZACD-Z4SC=80°,AZBAC=ZACD-ZABC=30°,即/CAB=80°.

变式11如图所示，已知8。为AABC的角平分线，C。为外角/ACE

的平分线，且与8。交于点。：

(1)若NABC=60。，NOCE=70。，则NO=°；

(2)若NABC=70。，NA=80。，则NO=°：

(3)当NA8C和NAC5在变化，而/A始终保持不变，则N。是否发生变化？为什么？由

此你能得出什么结论？(用含NA的式子表示NO)

【解析】(1):8。为△八8c的角平分线，NABC=60。，・・・NOBC=30。,

,/ZDCE=70°,ZD=NDCE-NDBC=7。。-30°=40。；

(2)VZAfiC=70°,NA=80。，AZACE=150°

,：BD为AABC的角平分线，CD为△ABC外角ZACE的平分线，

:./O8C=L/A8c=35°,ZDCE=iZ4CE=75°,

22

:.ZD=Z.DCE-ZDBC=15°-35°=40°；

(3)不变化，理由：〈/DCE=/DBC+/D,

：.ZD=1.ZACE-LzABC=^-(ZA+ZABC)-48c=工/4

22222

变式12如图，已知8。是aABC的角平分线，C。是AABC的外角NACE的外角平分线,

CO与3。交于点。.

(1)若乙4=50。，则/。=：

(2)若乙4=80。，则/。=：

(3)若NA=130。，则ND=；

(4)若N£>=36。，则NA=；

(5)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.

【解析】如图，:B。是MBC的角平分线，C。是△ABC的外甭/ACE的平分线,

AZACE=2Z2,ZABC=2Z1,丁NAC£=NABC+NA,A2Z2=2Z1+Z/^,

而N2=N1+NO,A2Z2=2Z1+2ZD,，NA=2/。，即/0=工/4,

2

(I)当若NA=50",则N£>=25。；

(2)若4=80。,则NO=40。；

(3)若NA=130。,则ND=65。.

(4)若/。=36。，则4=72。,

(5)综上所述，ZD=1ZA：

例题6如图，“8C中，分别延长△48C的边A8、AC至lj。、E,NCBD

与/8CE的平分线相交于点P,爱幼脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

(1)若NA=60。，则NP=。；(2)若乙4=40。，则NP=°；

(3)若N4=100。，则NP=。；(4)请用数学表达式归纳NA与NP的关系

【解析】(1)VZA=60°,

N48C+NAC8=180°-60°=120°,ZD5C+ZBC£=360c-1200=240%

又与N8CE的平分线相交于点P,:.NPBC=L/DBC,NPCB=L/BCE,

22

：・/PBC+/PCB=LQDBC+/ECB)=120°,.*.ZP=60o.

2

(2)70°；(3)40°(4)ZP=90°--Z4.理由如下：

2

〈BP平分NDBC,CP平分/BCE,：.4DBC=24CBP,/BCE=24BCP

又丁NDBC=ZA+ZACBZBCE=ZA+^ABC,

：.2ZCBP=ZA+Z4C5,2^BCP=ZA+ZABC,

：.2/CBP+2NBCP=ZA+Z/tCB+ZA+Z/lfiC=180°+ZA,ZCBP+ZBCP=90°+-kZA

2

又丁/CRP+7HCP+/P=18G°.Z.ZP=90°-L/A.

2

变式13BD、CO分别是△ABC两个外向NCBE、NBCE平分线，求证N8OC=90。-'NA.

2

D

【解析】证明：＜BD、CD分别是N4O的平分线

:.NDBC=LNEBC,NBCD=LNBCF,

22

•；NCBE、N8CF是△88c的两个外角

:./CBE+NBCF=360°-(180°-ZA)=180°+/A

：・NDBC+NBCD=工(NEBC+NBCF)=工(180°+Z4)=90。+工/4,

222

在aOBC中，ZfiDC=180°-(ZDBC+ZfiCD)=180°-<9C'°+-kzA)=90°-2/人

22

变式14如图，BI,a分别平分AABC的外角NQ8C和NEC8,

(1)若乙48c=40。，NAC8=36。，求N8/C的大小；

(2)若4=96。,试求N8/C；

(3)根据前面问题的求解，请归纳NB/C和NA的数量关系并进行证明.

D

【解析】(1)如图所示，VZABC=40°,N4C3=36。,

.\ZDBC=140°,ZECS=144°,又,：Bl,C7分别平分AABC的外角/OBC和NEC8,

.*.Z3=izD«C=70°,/4=L/EC8=72。，•・•△BC/中,Z/=180°-70°-72°=38°；

22

(2)VZ-4=96°,/.Zl+Z2=84°,：.ZDBC+ZECB=276°,

又BI,CI分别平分MAC的外角4DBC和NECB,

.*.Z3+Z4=-l(ZDBC+ZECB)=l.x2760=138°,.•.△BC/中，Z/=180°-138°=42°；

22

(3)Z«/C=90°-i/4.证明：AAAC中./1+/2=180°-Z4.

2

.,.ZDBC+ZECB=360°-(180。-NA)=180°+Z/l,

又丁BI,Cl分别平分△ABC的外角/DBC和NECB,

.••/3+/4=工(/O8C+/EC8)=-lx(I8O0+/A)=90°+工NA,

222

.••△8C/中，Z/=180°-(Z3+Z4)=180°-(90。+工NA)=90°--lzA.

22

E

D

变式15如图，在“853BD,CO是内角平分线，BP,。是NA3C,NAC8的外角平

分线，分别交于点。，P.

（1）若NA=30。,求NBDC,NBPC的度数.

（2）若NA=m。，求N8QC,NBPC的度数（直接写出结果，不必说明理由）

（3）想一想，NA的大小变化，对NO+NP的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若

无影响，直接求出其值.

【解析】(1),:BD,。。是内角平分线，：.ZCBD+ZBCD=1.(ZABC+ZACB),

2

VZ4+Z4«C+ZACB=180°,ZA=30°,AZA«C+ZACB=150°,/.ZCfiD+ZZJCD=75°.

又•:N8OC+NC8Q+N8c。=180°,NBDC=105°.

VZC5E+ZBCF=360°-(NA8C+N4c8)=210°,BP,CPABC,N4C8外角平分线

:・/CBP+/BCP=L(/CBE+NBCF)=105°,

2

■:N8PC+NCBP+N8CP=I8D。，:.NBPC=75。.

(2)根据(1)的求角过程可知：/8。。=90。+工1。，/80。=90。-工1。.

22

(3)VZD+ZP=90°+^°+90°-工1。=180。为定值，

22

例题7如图，在AABC中，AD、AE分别是AABC的高和角平分线，4=50°,

ZC=60°,则ND4E=度.

【解析】在△ABC中，VZfi=50°,ZC=60°,/.ZBAC=\800-ZZC=180°-50o-60°=70°,

TAE足&4BC的角平分线，「.NEAGI/BAC=1X70°=35°,

22

'：AD是^ABC的高，，ZA£)C=90°

，在440。中，ZDAC=180°-Z4DC-ZC=180o-90°-60o=30°,

ZDAE=ZEAC-ZDAC=35°-3O°=5°.

变式16如图所示，在AA8C中，AO是高，AE、8尸是角平分线，它们相交于点0,

N84C=50。，ZC=70°,求ND4C、NBOA的度数.

【解析】•・・4。是册8。的高，「./4£©=90°

在AADC中，ZAMC=9()°-ZC=9()°-70°=20°

在A48C中，ZABC=180°-ABAC-ZC=180。-50°-70°=6(尸

\'AE.8厂是角平分线，.•.NA80=!NA8C='X60O=30。

22

ZBAO=-ZBAC=1x50°=25°

22

在AABC中，Z.BOA=180°-ZABO-ZBAO=180°-30°-25o=125°

变式17在△48。中，A。是BC边上的高，AE是N8AC的平分线，ZEAD=15°,ZB=40°.

(1)求NC的度数.

(2)若：NEAAa,N6=P，其余条件不变，直接写出用含50的式子表示NC的度数.

【解析】(I)'.'AD1BC,：,^ADC=ZADB=90°,

VZ^=40°,AZ«4D=90°-403=50°,'：ZEAD=\5°,；・N8AE=50°-15°=35°,

•••AE平分N8AC,AZCAE=^BAE=-ZBAC=35°,AZfiAC=70°,

2

/.ZC=180。-NBAC-NB=l80o-700-40o=70°；

(2)'：AD±BC,ZADC=ZADB=90°,：邛，，NZMD=90。-。，

YNEAZAa,AZ^AE=90°-p-a,平分NBAC,/.ZCAE=ZBAE=^ZZ?4C=90°-p-a,

/.ZfiAC=1800-2p-2a,AZC=18O0-ZfiAC-Zfi=18O°-(1800-2p-2a)平邛+2a.

变式18如图，BD、砥分别是AABC的高和角平分线，4=46。，ZABC=74°,求

NDBE的度数.

【解析】：8。是A48C的高，.••/48乃=90。一44二90。-46。=44。,

■:BE是AA8C的角平分线，.♦♦/4JE='NA8C='X740=37。，

22

例题8图1,线段八8、CO相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8

字形”.如图2,在图1的条件下，ND48和NBCO的平分线AP和。户相交于点P,并且与

CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出NA、/B、ZC.N。之间的数量关系：；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个：

(3)图2中，当/。=50度，NB=40度时，求/尸的度数.

(4)图2中NO和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与NO、N8之间存在着怎样

的数量关系.(直接写出结果，不必证明).

【解析】(1)VZA+ZD+ZAOD=ZC+Z/?+ZfiOC=180°,ZAOD=ZBOC,

・•・NA+/O=NC+/"

(2)①线段AB、CO相交千点形成“8字形”：

②线段AMCM相交于点O,形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点M形成“8字形”；

④线段A&CM相交于点O,形成“8字形”；

⑤线段AP、C。相交于点M,形成“8字形”；

⑥线段AN、CO相交于点O,形成“8字形”；

故“8字形”共有6个；

(3)NDAP+/D=NP+NDCP,①

NPCB+NB=N/^B+NP,②

T/O48和/3C。的平分线AP和。尸相交于点P,工NDAP=/gB,ZDCP=ZPCB,

①得：NDAP+NO+NPCB+/8=NP+NOCP+NF8+NP.

即2/尸=/。+/=又•.•/。=50度，NB=40度，

.\2ZP=50o+40o,尸=45°；

(4)美系；由NDN1iN2=NS।N31N4①

由NONC=N3+/4=NP+N2,②

①得：NO+2/4+2N1+2/3=N8+2N3+2/P+2N1,

ZD+2Z5=2ZP+Zfi,即2/P=N£>+N8.

变式19己知：如图，AM,CM分别平分NBA。和N8CD

①若N8=32。，NO=38。，求NM的度数;

②探索NM与NB、NO的关系并证明你的结论.

【解析】①根据三角形内角和定理，NB+NBAM=NM+NBaf,

AZBAM-ZBCM=ZM-ZB,同理，NMAD-NMCD=ND-NM,

•.'AM、CM分别平分/班。和N8C。，ZMAD,NBCM=4MCD,

：.Z；W-NB=ND-NM,AZA/=1(N8+N。)=-l(32°+38°)=35°：

22

②根据三角形内角和定理，NB+NBAM=NM+NBCM,：.ZBAM-ZBCM=ZM-Z/J,

同理，ZMAD-ZMCD=ND-NM,

二'AM、CM分别平分/8AQ和/BCQ,AZBAM=ZMAD,ZBCM=ZMCD,

：.ZM-ZB=ZD-NM,.・.NM=L(ZB+ZD).

2

变式如如图1,己知线段/小、CO相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这样的图形

称为“8字型”.

(1)求证：ZA+ZC=ZB+ZD；

(2)如图2,若NCA8和/BOC的平分线AP和OP相交于点尸，且与CD、人8分别相交

于点M、N.

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个：

②若NB=100。，ZC=120°,求NP的度数；

③若角平分线中角的关系改为“/CAP=L/CA&NCDP=L/CDB”,试探究NP与N8、

33

NC之间存在的数量关系，并证明理由.

【解析】(1)证明：在图1中，有NA+NC=180。-NAOC,ZB+ZD=180°-/BOD,

'：NAOC=/BOD,：.ZA+ZC=ZF+ZD；

(2)解：①3：4：②以M为交点“8字型”中，有NP+NCDP=NC+NCAP,

以N为交点“8字型”中，有/P+/BAP=NB+/BDP

：・2NPMBAP+/CDP=NB+NC+NCAP+NBDP,

\'AP.OP分别平分/CAB和/BOC,

/.ZBAP=ZCAP,NCDP=/BDP,，2NP=N〃+NC,

•••N8=100。，ZC=120°,(/8+NC)=工(1OO°+I2O°)=110°；

22

③3/P=N3+2/C,其理由是：

VZCAP=-1ZCAB,/CDP=L/CDB,ZBAP=^-ZCAB,NBDP=£CDB,

3333

以M为交点“8字型”中，有NP+NCDP=NC+NCAP,

以N为交点“8字型”中，有NP+NBAP=NB+NBDP

・••ZC-ZP=ZCDP-/CAP=L(/CDB-NCAB),

3

ZP-NB=/BDP・/BAP=2L(ZCDB-NC48).

3

A2(ZC-ZP)=ZP-NB,••・3NP=N3+2NC.

变式21(1)如图I的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明NA+/8=/C+N。

(2)如图2,AP.CP分别平分NBA。、/BCD,若NA8C=20。，NAOC=26。，求NP的

度数(可直接使用问题(1)中的结论)

(3)如图3,直线人户平分NBA。的外角NEW,CP平分N8CO的外角NBCE,若

ZABC=36°,ZADC=\6°,猜想NP的度数为

(4)在图4中，若设NC=x,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,NCDP=、NCDB,试问/P与

NC、N8之间的数量关系为(用x、)，表示NP)

(5)在图5中，AP平分NB4Q,CP平分NBCZ)的外角NBCE,猜想NP与/8、NO的关

系，直接写出结论.

【解析】(1)证明：在中，NA+N8+NAO5=180。，

在△COO中，ZC+ZD+ZCOD=180°,VZAOB=ZCOD,ZA+ZB=ZC+ZD；

(2)如图2,'：AP."分别平分NBA。，/BCD,AZ1=Z2,N3=N4,

由(1)的结论得：①，①xg)得2/尸+N2+N3=N1+Z4+Z5+ZZ),

1NP+N2=N4+ND②

.*.ZP=1(NB+ND)=23°；

2

(3)如图3,

,：AP平分NB4。的外角ZFAD,CP平分N8C。的外角NBCE,

.\Z1=Z2,Z3=Z4,：.ZPAD=\S00-Z2,ZPCD=1800-Z3,

VZP+<180°-Zl)=ZZX(180°-Z3),ZP+ZI=Z5+Z4,

.*.2ZP=ZB+ZD,.,.ZP=1(ZB+ZD)=lx(36°+16°)=26°：

22

(4)同法可得：/p=2x+L：(5)同法可得：/p=1800+/B+/D

332

模型10飞镖模型

图I图2图3

【条件】四边形A8PC如图I所示

【结论】N8PC=NA+/3+/C.

例题9(I)探究：如图I,求证：N8OC=/A+N8+NC.

(2)应用：如图2,NA8c=100。，ZDFF=130°,求NA+NC+//HN/的度数.

【解析】(1)连接OA,「N3是△A8O的外角，・・・Nl+N8=/3,①

,.•/4是4A。。的外角，.\Z2+ZC=Z4,②

①+②得，Zl+Zfi+Z2+ZC=Z3+Z4,即N8OC=NA+N84NC：

(2)连接AQ,同(1)可得，ZF+Z2+Z3=ZDEF®,Nl+/4+NC=N480®,

③+④得，ZF+Z2+Z3+Z1+Z4+ZC=ZDEF+N48C=130°-l00°=230°,

即NA+NC+N。+N产=230°.

变式22材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我们不妨把这样图

形叫做“规形图”.解决问题：

(1)观察“规形图”，试探究N5DC与NA,NB,NC之间的数量关系，并说明理由；

<2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题；

I.如图②，把一块三角尺八底/放置在△A3C上，使三角尺的两条直角边。E,。”恰好经

过点B,C,若NA=40。，则/A4D+NA8=°.

H.如图③，4D平分NA8P,C。平分NACP,若NA=40。，NBPC=130。，求NBOC度数.

【解析】（1）如图①，连接A。并延长至点F,

根据外角的性质，可得NBDF=NBAD+NB,NCQF=NC+NCA。，

又♦:/BDC=/BDF+/CDF,NBAC=NBAD+/CAD,：.ZBDC=ZA+Zfi+ZC；

（2）I.由（1）可得，ZBDC=ZABD+^ACD+ZA；

又•••/A=40。，ZZ）=90°,AZABD+ZACD=90°-40°=50°,

II.由⑴，可得NBPC=NBAC+NABP+NACP,ZBDC=ZBAC+ZABD+ZACD,

:.NABP+/ACP=NBPC-ZBAC=13O°-4O°=9O°,

又：??。平分NA8P,CD平分NACP,.../480+/4。。=工（NAW+NACP）=45°,

2

.•.ZBDC=45o+40o=85°.

变式23在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想.如图（1）中，求/

A+N3+NC+/O+/E的度数等于多少时，我们可以连接CD,利用三角形的内角和则有/

B+/E=NECD+NBDC,这样/A、NB、NC、ND、/E的和就转化到同一个zUC。中，

即/4+/B+/C+/D+/E=180°.

尝试练习：

图（2）中N4+N8+NC+ND+/E的度数等于.

图（3）中NA+N8+NC+ND+NE的度数等于.

图（4）中NA+N8+NC+ND+NE+/”的度数等于.

【解析】如图（2）,连接CE,则有/4+N3=NAEC+/3CE,

/A+N8+NOC4+ND+NOEA=180°；

同理：图（3）中NA+/Z?+NC+ND+/E=180。；

图（4）中/A+/8+/C+/D+NE+/”=360。.

变式24已知：点。是△ABC所在平面内一点，连接AO、CD.

（1）如图1,若NA=28。，NB=72。,ZC=11°,求NAOC；

（2）如图2,若存在一点P,使得PB平分NABC,同时PO平分NAOC,探究NA,NP,

NC的关系并证明：

（3）如图3,在（2）的条件下，将点。移至/ABC的外部，其它条件不变，探究NA,

NP,NC的关系并证明.

【解析】（1）如图1，延长AD交BC于£

在中，ZAEC=ZA+Zfi=28°+72°=100°,

在ADEC中，ZADC=ZAEC^-ZC=100°+11°=111。.

(2)NA-NC=2NP,理由如下:

如图2,Z5=ZA+Z1,Z5=ZP+Z3,AZA+Z1=ZP+Z3,

•.•PB平分/ABC,尸。平分NA。。，.-.Z1=Z2,N3=N4,NA+N2=NP+N4,

由（1）知N4=N2+NP+NC,AZA+Z2=ZP+Z2+ZP+ZC,・，・NA-NC=2NP.

（3）ZA+ZC=2ZP,理由如下:

同（2）理知NA+Nl=NP+/3,ZC+Z4=ZP+Z2,

AZA+ZC+Z1+Z4=2Z/J+Z2+Z3,平分NA8C,PQ平分NA。。,

例题10如图，在折纸活动中，小明制作了一张△入8C纸片，点。、E分别在

边AB、AC上，将aABC沿着OE折叠压平，A与4重合.

(1)若NA=75。，则Nl+N2=.

(2)若NA=〃。，则Nl+N2=.

(3)由(1)(2)探索NA与N1+N2之间的数量关系，并说明理由.

【解析】(1)•••△A'OE是△/