2026年辽宁省沈阳市中考数学《几何动点问题》专项训练

几何动点问题专项训练

一.选择题（共15小题）

1.如图，甲乙两人同时沿着边长为30米的等边三角形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度,

乙从B以71米/分的速度行走，当乙第•次追上甲时在等边三角形的（）

C.BC边上D.4c边上

2.如图，矩形ABC。中，AB=3,4C=4.动点P从A点出发，按A-8-*C的方向在/W和8C上移动,

记必=斯点。到直线物的距离为》则y关于X的函数图象大致是（）

3.如图，在△4/3。中，NA=90°,Ali=20cm,AC=\2cmt点。从点8出发以3。〃?/秒的速度向点4运

动，同时点E从点A出发以左加秒的速度向点C运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运

动，当NAOE=45°时，运动的时间是（）

C.3.5秒D.4秒

4.如图所示，P是菱形A8CO的对角线AC上一动点，过户垂直于AC的直线交菱形A4C。的边于用、N

两点，设AC=2,BD=1,AP=x,则△AMN的面积为y,则y关于X的函数图象的人致形状是（）

C.O

5.如图所示，在△ABC中，Z5=90°,AB=6cm,BC=3cm,点P以lc〃?/s的速度从点A开始沿边48

向点8移动，点。以2c〃八的速度从点8开始沿边BC向点。移动，且点P,Q分别从点A,8同时出

发.若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动.要使P，Q两点之间的距离等于4&sn,则需要经

62

C.~sD.-s或2s

55

6.如图，在钝角△A4C中，AB=6cm,AC=\2cm,动点。从点A出发到点4止.动点七从点C出发到

点八止.点Q运动的速度为1。加$,点E运动的速度为2c”心.如果两点同时运动，那么当以点人、D.

E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）

C.4.5sD.4.5s或4.8s

7.如图1,矩形4BCO中，点E为的中点，点P沿8C从点B运动到点C,设8,P两点间的距离为

x,以-PE=），，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是（)

图1

A.276B.5C.6D.4V6

8.如图1,在平面直角坐标系中，口48。。在第一象限，且BC〃x轴.直线），=x从原点0出发沿x轴正

方向平移.在平移过程中，直线被口ABC。截得的线段长度〃与直线在入•轴上平移的距离m的函数图象

如图2所示，那么的面积为（）

2一,

O467m

图2

C.3D.6

9.如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N-P-Q-M方向运动至点M处停止.设点R

运动的路程为x，△MNR的面积为），，如果），关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是

)

图①

A.当x=2时，y=5B.矩形MNP0的周长是18

C.当x=6时，），=10D.当y=8时，x=10

10.如图I,在8c中,。是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿A&8C两边匀速运动，运动

到点C时停止.设点P运动的路程为x,OP的长为y,y关于x的函数图象如图2所示，其中例，N分

别是两段曲线的最低点.点N的纵坐标是（）

图1图2

116120112116

A.一B.一c.一D.一

17171515

11.如图1,在平行四边形A8C0中，点。沿方向从点4移动到点C,设点。移动路程为x,线

段AP的长为)，，图2是点。运动时y随1变化的关系图象，则4c的长为()

6

12.如图,在平面直角坐标系中，。为原点，△QAB是直角三角形，A(4,0).N4OB=90°,ZABO=

30°,点8在)，轴正半轴，等边△OC。的顶点Q(-4,0),点。在第二象限.将△OC。沿x轴向右

平移，得到△◊'C。'，点O,C,。的对应点分别为O',C',.设。。'=x,AOCD'

)

13.如图，在△4/3c中，NACB=90°,AC=/3C,4。是角平分线.点E从点A出发,沿A8方向向点4

运动，连接CE,点、F在BC上,且NCE产=45°.设AE=x,FD=y,若y关于x的函数图象过点（0,

2-V2）,则该图象上最低点的坐标为（）

B.喙|一物

V2「

C.(-,3-2V2)D.(—,3-2匹)

22

14.如图，在长方形ABC。中，AB=6cm,BC=8c〃?，点E是AB上的一点，且AE=28£点P从点C出

发，以2°,次的速度沿点C・O・A・E匀速运动，最终到达点£设点P运动时间为风若三角形PCE

的面积为18cm2,则t的值为()

9,、19427

B.一或一或一

844

927

D.一或6或——

44

15.如图，正方形A8CO的边长为2cm,动点P,。同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A-O-C,

A-3—。的方向，都以10心的速度运动，到达点。运动终止，连接PQ,设运动时间为xs,的

面积为”苏，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是()

16.等腰RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,BD=3CD,P是△A8C内一点，且NCBP=N/^B,当

。。最小时，此时△3P。的面积为.

A

17.对于平面直角坐标系中任意两点M(川，户)，N(X2,y2),g-m|+|.yi-必为M,N两点的直角距离，

记作：d(M,N).如：M(2.-3),N(1,4),则d(M,N)=|2-I|+|-3-4|=8.若P(加和)

是一定点，Q(工，y)是直线y=kt+〃上的一动点，称d(P,Q)的最小值为。到直线)，=履+〃的直角

距离，则夕(0,-3)到直线x=l的直角距离为.

18.如图△A8C中，AB=6,AC=675,NB=9()°,点夕从A开始沿AB边向点B以心的速度移动，

1秒后点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，那么。从B出发，经过秒,

△PBQ的面积等于6cm2.

19.如图，一根2.5加长的木杆48斜靠在竖直的墙AC上，这时8到墙底端。的距离为0.7小，木杆的顶

端沿墙面下滑0.4〃?，那么点B将向外移动相：木杆在下滑过程中，3c面积最大为

20.如图，正方形/WC。中，/W=8,M是C。边上一个动点，以CM为直径的圆与相交于点Q,P

为CO上另一个动点，连接4P,PQ,则M+PQ的最小值是.

B

21.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,点。为8C边上一动点，点。从点8出发，以

1个单位每秒的速度沿BC向点C运动，到达点C时停止运动.设运动时间为t秒，则当t=

秒时，ZADC=2ZC.

22.如图，正方形人BCO的边长为4VLE为BCk一点、,且BE=/，尸为/W边上的一个动点，连接E尸,

以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为；

23.如图，四边形A8CD为矩形，AD=3,A8=4,点E是4D所在直线的一个动点，点尸是对角线8。

上的动点，且BF=DE,则AR5E的最小值是.

24.如图，在QA4CD中，ZZ?=60°,AI3=4,点〃、G分别是边C。、〃。上的动点.连接“/、HG,点

E、户分别是人〃、G”的中点，连接E立则E尸的最小值为

25.如图，在边长为4国的等边AABC中，点。，E分别是8C,AC上两个动点，且满足AE=CD，连接

BE、4。相交于点P,则线段CP的最小值为

A

E

R

BDC

26.如图，正方形A8CD的边长为8,点E是A8边上一个动点，点尸是CD边上一个动点，且AE=CR

过点8作BG_LE/于点G,连接AG,则AG长的最小值是.

27.如图，在RtZ\A8C中，ZABC=90c,ZACB=30°,AB=2cm,E、尸分别是AB、AC的中点，动

点P从点E出发，沿4方向匀速运动，速度为"〃而，同时动点。从点81H发，沿方向匀速运动，

速度为2cmk,连接PQ,设运动时间为ts(0<r<l),则当t=时，4PQF

为等腰三角形.

28.如图，有一张平行四边形纸条ABC。，AD=5cm,AB=2cnuN4=I20°,点E,产分别在边A。，BC

上，DE=\cm.现将四边形沿E/折叠，使点C,。分别落在点C',上.当点C'恰好落

在边AO上时，线段C”的长为cm.在点/从点B运动到点C的过程中，若边FC

与边AD交于点M,则点M相应运动的路径长为cm.

29.如图，在矩形纸片44C。中，48=10,AO=12,点E是A3的中点，点尸是A。边上的一个动点,

将△AE"沿£厂所在直线翻折.得到AA'EF,贝i」A'C的长的最小值是.

30.如图，四边形ABC。为菱形，AB=2,/8CO=30°,点E在CO延长线上，且NE=45°,点”是

AC上的一个动点，则的最小值为.

31.如图，数轴上点A表示的数为・5,点8表示的数为7,动点C从点AIH发，以每秒2个单位长度的

速度沿数轴向右匀速运动，同时动点。从点/，出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设点

C运动时间为/秒(r>0).

(I)①人、8两点之间的距离为,线段的中点表示的数为.

②用含/的代数式表示：，秒后，点C表示的数为，点。表示的数为.

(2)当1=4时，描述C、。两点的位置关系.

(3)点。运动4秒后，动点E从点8出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE

-CD的值是否随着时间/的变化而变化？请说明理由.

AB

—J---------------1-----------------------------1—»

-507

32.如图，在△43C中，8c=10,AD是4c边上的高，3£是人。边上的高，AD.8七相交于点O,且AE

(I)求证：△AOEg△BCE

(2)动点P从点。出发，沿线段OA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发

沿射线8c以每秒8个单位长度的速度运动，P、。两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同

时停止运动.设点户的运动时间为，秒，点尸是直线AC上的一点且。尸=80.是否存在，值，使以点

B、0、。为顶点的三角形与以点尺C、。为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的/值；若

不存在，请说明理由.

33.综合与探究：

如图1,在平面直角坐标系中，。是坐标原点，长方形04cB的顶点A、8分别在x轴与y轴上，已知0A

=6,OB=10.点。为），轴上一点，其坐标为（0,2）,点尸从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段

的方向运动，当点尸与点8重合时停止运动，运动时间为，秒.

0

图1图2

（I）当点P经过点C时，求直线。。的函数解析式；

（2）①求△0P。的面积S关于/的函数解析式；

②把长方形沿着。尸折叠，点8的对应点夕恰好落在4c边上，求点P的坐标.

（3）点P在运动过程中是否存在使△8。。为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

34.在矩形43CQ中，4B=6,4C=8,E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、。同时出发相向而

行，速度均为每秒I个单位长度，运动时间为/秒，其中0W/WI0.

（I）若G,“分别是人O,BC中点，则四边形EGF"一定是怎样的四边形（E、尸相遇时除外）？

答：;（直接填空，不用说理）

（2）在（I）条件下，若四边形EGH7为矩形，求，的值；

（3）在（1）条件下，若G向。点运动，”向8点运动，且与点E,/以相同的速度同时出发，若四

边形EG/7/为菱形，求，的值.

几何动点问题专项训练答案

一.选择题（共15小题）

题号I234567891011

答案ADDCAACADBC

题号12131415

答案BBCA

一,选择题（共15小题）

1.解：设乙第一次追上甲需要4分钟，根据题意得：（71・65）%=60,

解得：x=10,

故甲走的路程为650米，

V6504-90=7-20,

・••甲此时在A8边上.或者按照乙来考虑，乙走的路程为710米，

710・90=7...80,也说明此时乙在A8边上，

故选：A.

2.解：当点P在48上运动时，y=4

所以当0VxW3,），=4,

当点P在BC上运动时，即3VxV5

.ADDF

AP~AB

♦•

x3

.12

。•kT

只有。选项是第一象限的反比例函数

故选：。.

3.解：设运动的时间为x秒，则AO=20-3x,AE=2x,

当NADE=45°时，有AO=AE,即20・3x=2r,

解得：x=4.

故选：。.

4.解：(1)当OVxWl时，如图,

在菱形A8C。中，AC=2,BD=1,AO=\,且4C_LB。；

•：MNLAC,，MN〃即；

/.MAMNsXABD,

APMN

••-=一,

AOBD

„XMN

l即4，［=—^~,MN=x；

：.y=^APXMN=^x2(OVxWl),

••尚>0,・••函数图象开口向上；

(2)当l<x<2,如图，

同理证得，丛CDBs丛CNM,

CP_MN_

0C~BD'

.'.y=^APXMN=^xX(2-x),

y=-#+x；

•••一/vo,・•・函数图象开口向下;

综上，答案。的图象大致符合；

故选：C.

5.解：设点P、。分别从点4、B同时出发，注后P、Q之间的距离等于4&CM,

\,AP=19x=xcm,BQ=2xcm,

：,BP=AB-AP=(6-x)cm.

：.BP1+BQ1=PQ1,

即(6-x)2+(2r)2=(4V2)2,

解得…=1，虫=2(不合题意，舍去).

2

，要使p,。两点之间的距离等于4V2cm,则需要经过甘，

故选:A.

6.解:如果两点同时运动，设运动，秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△A4C相似,

则CE=2t,AE=AC-CE=\2-2t.

①当D与B对应时，有△4DES/\4BC.

：,AD：AB=AE：AC,

・•・/：6=(12-2r)：12，

**./=3；

②当D与C对应时，有

：.AD：AC=AE：AB,

：.h12=(12-2/)：6,

・Z=4.8.

所以当以点A、。、E为顶点的三角形与△A8C相似时，运动的时间是3秒或4.8秒.

故选：A.

7.解：根据函数图象可得，当x=0,即点。与点8重合时，BA-BE=\,

在△布£中，

•・•三角形任意两边之差小于第三边，

工以-PE<AE,

当且仅当点P与点E重合时有PA-PE=AE,

・・・y有最大值为AE,

・"E=5,

设BE为a,则8A=〃+1,

在R&8E中，AB2+BE2=AE2,

/.(a+1)2+a2=52,

解得：41=3,42=-4（舍去）,

・・.BC=2BE=2a=2X3=6.

故选：C.

8.解：存在两种情况：

如图1,过B作。于点M,分别过以D作直线y=x的平行线，交AO于E,如图1所示,

由图象和题意可得，

AE=6-4=2,DE=J-6=1,BE=2,

・"。=2+1=3,

•.•直线平行直线），=%，

:・BM=EM=V2,

J平行四边形ABCD的面枳是：AQ・4M=3xV2=3A/2.

如图2,过。作。M_L8C于M,延长C8交直线。尸于E,

*：AD//BC,

・•・ZDAF=ZEBF=ZEFB,

1,EF=BE=1,

1+2=3,

VZDEM=45°,ZDME=9(r，

3342

；,DM=EM=

质=R

••・平行四边形ABCD的面积是：AQ+OM=2x孥=3企.

故选:A.

9.解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，MN=5,NP=4,

选项A,x=2时，△MNR的面积=*x5x2=5,正确

选项从矩形周长为2X(4+5)=18,正确

选项C,x=6时，点R在QP上，△A/NR的面积=*x5x4=10,正确

1[64

选项。，y=8时，&x5x高=8,则高=号，点R在0N或QM上，距离QP有g个单位，对应的工值

都不为10,错误

故选：D.

10.解：根据图2,人。=20,CO=8,BD=15,点。到AB的距离OE=12,点N的纵坐标表示点。到

的距离OF.如图：

在RtA^DE中利用勾股定理，得AE=\]AD2-DE2=V202-122=16,

在RtABDE中利用勾股定理，得BE=y/BD2-DE2=V152-122=9,

则A8=AE+8£=16+9=25,

AD^+BD1=202+152=625,AB2=252=625,

：.AD1+Bb1=AB2,

AZADB=90°,

.\ZBDC=180°-NADB=90°,

在RtASCD中利用勾股定理，得BC=yjBD2+CD2=V152+82=17,

则如

BDCD15x8120

解得

DF=BC

，点N的纵坐标是詈

故选：B.

II.解：如图I,过A点作AEJ_BC于E,连接4C,

根据图2知：当点P与点8重合时，AP=AB=3,

当。与E重合时，A8+80=4.8,

：・BP=BE=L8,

：,AE=ylAB2-BE2=J32-1.82=

当点P到达点。时，AP=AC=4,

：,EC=yjAC2-AE2=/_(第2=?,

••・BC=BE+EC=1.8+学=5.

图1

12.解：①当0WxW2时，△O'CZ)'与△QAB重叠部分为△00'M,如图1：

由平移得：NC'O7J=NCOD=6()°,

：,OM=OO'•tanZCO'D-x*tan600=V3x,

S=，()'•OM=XA-•y/3x=^r2，

乙乙乙

・•・此时s为一个二次函数，开口向上；

②当2VxW4时，△OC77与△Q48重叠部分为四边形0。'CM,如图2：

由题意得：0/7=0'D1-00'=4-x,NC。'O'=NC7)O=60°,

A0M=0D'・lan60°=(4-x)x百=4四一岳，

x42-|x(4-A)(4冉-岳)=-^?+4V3x-4V3,

S=S四边形oocw=S^oco'-S^.DOM=

,此时S为一个二次函数，开口向下；

③当4VxW8时，△OC77与△Q4B重叠部分为△46M,如图3：

y4

则AZ7=0O-O'4-0。'=OO'-20'A=8-x,且NC。'。'=/"/10=60°,

是等边三角形，

S=SMDM=苧(8-x)2=苧/_4V3x+16V3,

・•・此时S为一个二次函数，开口向上.

故选：B.

13.解：・・・NAC8=90°,AC=BC,4D是角平分线，

：.ZCAB=ZCBA=45°，ZCAD=ZBAD=22.5a，

设AC=BC=m,

：,AB=>JAC2+BC2=V2m,

如图，在AC上取点Q,使AQ=OQ,

・・・NQAZ)=NQZM=22.5°，

••・NCQQ=45°=NCOQ,

CQ=CD=导QD=导AQ，,

\[2CQ+CQ=m,

解得：CD=CQ=(V2-l)7n,

ZCEF=45°=NCAB,/CEF+NBEF=NACE+/CAE,

:"BEF=NACE,

ACAEmx(V2?n-x)x

:•△ACES^BEF,，————BF*~~，

BEBFx/2m-xBFm

：.DF=y=m-(42-l)m-“哈"=(2-&)m-迤胃纥

•・》关于x的函数图象过点(0,2-V2),

.\(2-^)m=2-V2,

解得：m=I,

/.y=2—V2-(V2—x)x=x2—V2x+2—\[2,

3

••・该图象上最低点的坐标为伴,

2--

故选：B.

14.解：如图1,当点P在。。上，即0V忘3时,

•••四边形人8C。是长方形，

工AB=CD=6cm,AD=RC=Scm.

\'CP=2tCan),

：・SAPCE=7x2rX8=18,

如图2,当点尸在4。上，即3V/W7时，

'：AE=2BE,

2

：.AE=^AB=4.

•j

VDP=2/-6,4尸=8-(2r-6)=14-2r.

：.S^PCE=ix(4+6)X8-1(2r-6)X6-1(14-2r)X4=18,

乙乙乙

解得：f=6；

当点P在A£上，即7V/W9时，

F£=18-It.

ASACPE=I(18-2/)X8=18,

解得：/=竽＜7(舍去).

综上所述，当f=W或6时AAPE的面积会等于18.

故选：C.

BC

图2

AD

8图1C

15.解：①当0WxW2时，

;正方形的边长为2c〃?，

'•y=S^APQ=^AQ*AP=#：

②当2VxW4时，

y=S"PQ

=S正方形ABC。-S4cpQ-SMBQ-SMPD,

1)11

=2X2-1(4-x)2-1X2X(x-2)-1x2X(x-2)

=-#+2t

所以，)，与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合.

二,填空题(共15小题)

16.解：.•,等腰RtAA/SC,

AZCBA=ZCBP+ZABP=45°,

•：4CBP=/PAB,

，N%8+NABP=45°,

/.ZAPB=\35°,

以AC,BC为边作正方形ACBE,

则点。一定在以石为圆心，以EA为半径的。足上，连接EQ，与。七交于点P,此时。。最小,

•:BC=BE=4,BD=3CD,

•"0=3,DE=5,

..PD=1,

过点P作P以LB。于点F,

,/ZPDF=ZEDB,NPFD=4EBD,

:.APDFSEDB,

PFPD

••,

EBED

4

-»

5

1146

3

--♦*P-XX-=-

D=2F=255

故答案为:

17.解：在直线x=l上任取一点Q,以PQ为斜边构造直角三角形，两条直角边的长度之和即为直角距离,

所以点P到直线x=l的垂线段即为直角距离

故答案为1.

18.解：设。从。出发，秒后，△P3Q的面积等于6c7〃2,根据题意得出：

1、

-[6-(/+1)]X2r=6,

解得：。=2,总=3,

故Q从8出发，经过2或3秒，△P8Q的面积等于60宿.

故答案为：2或3.

19.解：在Rtz^ABC中，

*»AB—fl.Suu8c=0.7，〃,

：.AC=y/AB2-CB2=J2.52-0.72=2Am,

又'・•"'=0.4/77,

・・・A'C=2.4-0.4=2m,

在RtZXA，B'C中，

B'C=,2.52-22=1.5〃?，

则83,=CB'-C8=1.5-().7=0.8〃i.

如图，作48边上的中线CO,

1

B=-

在RtZ\43C中，CD=2x2.5=1.25/n.

|or

当CD为高时，△人4c取得最大面积为：-x2.5X|.25=y1/n2.

20.解：连接CQ,以CQ为一条边在右侧作正方形CQE凡则NMQC=90°,

AZBQC=90°，

・•・点。在以BC为直径的圆上运动，

*：AD=DE,/ADP=/EDP,DP=DP,

:.丛ADPm丛EDP(SAS),

：.AP=EP,

:・AP+PQ=EP+PQ?EQ、EO-0N=y/OF2+EF2-2=V82+122-4=4713-4,

：,AP+PQ的最小值为4V13-4,

故答案为：4同一4.

21.解：过点4作AE_LBC,垂足为点E,在BC上取一点F,使得A/=CR

在RtA/i«C中，

•・・/W=6,4C=8,

:,BC=yjAB2+AC2=10,

•：AE1BC,

11

-AC=-AE-BC,

22

・但24

••AE-

在RtZUCE中，

24

V4C=8,八七=等，

.・.CE=yjAC.2-AE2=急

*：AF=CFt

AZC4F=ZC

，/AFD=24C,

•.*NAOC=2NC,

:.AAFD=ADC,

：.AD=AF,

设AO=AF=CF=x,

.厂厂32

..EF=-g—X,

在RtZXAE/中，

VAF2=/\E2+EF2,

・•・/=(g)2+(^-X)2,

解得x=5,

7

则EF=看,

*：AD=AF,AE=AE,ZAED=ZAEF=90°,

:AAEDWXAEF(HL),

7

：・DE=EF=g,

/.BD=BC-DE-EF-CF=告

D

•・•点D从点B出发，以1个单位每秒的速度沿BC向点C运动，

・，11.111

••仁可丁1=丁.

11

故答案为：v

22.解：由题意可知，点尸是主动点，点G是从动点，点尸在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运

动

将△£/•/绕点E旋转60°,使K”与EG重件，得到△£773且△£7/G

从而可知△石B”为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上

作CM1HN,则CM即为CG的最小值

作EPLCM,可知四边形HEPM为矩形，

则CM=MP+CP=HE+：EC=&+警=|V2,

A

BEC

故答案为：fV2.

23.解：如图1,延长8c到点G,使8G=OB,连接4G交8。于点”，连接产G,

•••四边形A8C。是矩形，

：,CB//AD,

・•・NGBF=NBDE,

♦：BF=DE,

・•・△GB侬4BDE(545),

:・GF=BE,

：.AF+BE=AF+GF；

YAF+G尸24G,

・••当从r与GV在一条直线上，即点尸与点“重合时，AF+GF=AG,

如图2,此时AF+G/的值最小，4P+8E的值也最小，

VZBAD=90°,人£)=3,AB=4f

：.BG2=DB2=AD2+AB2=32+42=25,AB2=42=16,

VZABG=90°,

・・・AG=y/AB2+BG2=V16+25=低，

••.AF+BE的最小值为面，

故答案为：V41.

GG

24.解：如图1,连接AG,

•・•点E、尸分别是4"、G〃的中点，

：,EF=^AG,

・•・£尸的最小值,就是AG的最小值,

当AG_L8C时，AG最小，如图2,

RtZ\ABG中，N8=60°,

・・・N84G=30°,

VA«=4,

：・BG=2,4G=2V3,

：.EF=^AG=V3,

・・・E尸的最小值是VI

故答案为：V3.

图1

25.解：•••△ABC是等边三角形,

：,AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=6Q°,

\'AE=CD

:.BD=CE,

:、△ABD@XBCE(SAS),

:・NBAD=NCBE,

ZAPE=ZBAD+ZABE,

JZAPE=NCBE+NABE=/ABC,

AZAPE=60°,

连接。。交。。于N,则。C_LA8,

根据圆周角定理可得N4OB=120°,ZOAF=60°,AF=^AB=2>/3,

..0。AF24343

・・sin60=OA=OA=T>

AOA=4,

二.OC=2OA=8,

当点P与N重合时，CP的值最小,

最小值=oc-OA=8-4=4,

故答案为:4.

26.解:如图，

连接4C与EF相交于O,

•・•四边形ABC。是正方形,

：.ZOAE=ZOCF,

VZAOE=ZCOF,AE=CF,

：,/\AOE^ACOF(ASA),

：.OA=OC,

工点。是正方形的中心，

连接OB,取OB中点M,连接MA,MG,则M4,MG为定长，过点M作MH1AB于“.则

=2,AH=C)9

由勾股定理可得MA=\lAH24-HM2=2V10,MG=*B=2\£

VAG2AM-MG=2V10-272,

当A,M,G三点共线时，AG最小=2VIU-2&.

故答案为：2旧一2企.

27.解：•.•N/WC'=90°,NAC8=30°,AB=2cm,

：.AC=2AB=4cm,BC=V42-22=2A/3,

*：E、-分别是45、AC的中点，

EF=\BC=V3C7«,BF="C=2cm,

由题意得：EP=t,BQ=2t,

.\PF=V3-6FQ=2-2t,

分三种情况：

①当尸尸=尸。时，如图1,ZXPQ尸为等腰三角形.

则V5-t=2-23

r=2-V3；

②如图2,当PQ=FQ时，为等腰三角形，过Q作QO_L石产于。，

APF=2DF,

，：BF=CF,

AZFfiC=ZC=30°,

,:E、尸分别是AB、AC的中点，

:.EF〃BC,

：.ZPFQ=ZFBC=3()°,

VF0=2-2/,

1

：.DQ=抨Q=1-3

：.DF=V3(1-/),

：.PF=2DF=2V3(1-/),

•；EF=EP+PF=V3,

Az+2>/3(1-/)=V3,

6+y3

i=TT;

③因为当夕尸=尸。时，NPFQ=NPQ/；=30°,

AZFPQ=120°,

而在P、Q运动过程中，/尸尸。最大为90°,所以此种情况不成立;

综上，当/=2-百或三子时，△打?r为等腰三角形.

故答案为：2一8或9：：土

11

28.解；（I）当点C'恰好落在边A/）上时，如图；

•・•平行四边形纸条人BC。，AD=5cm,AB=2cm,NA=I2（）'，

：.CD=AB=2cm,ND=60°,NBCD=120°,AD//BC,

:"CFE=/CEF,

•・•折叠,

:CD'=CD=2cm,DE=D'E=\cm,NO'=/。=60°,ZCFE=AC'FE,CF=C'F,

AZCrFE=/C'EF,

:・CE=CF=CF,

过点E作EG_LC'D'于点G,

则：ZEGDr=ZC'GE=90°,

:・NGED'=30°,GDz=^EDr=^cm,

冬3

=122=c/G=c/D/GD

N--2-

:CE=y/C'G2+EG2=V3,

:・CF=V3（厘米）；

（2）当点户与点4重合时，此时人M最短，如图：

VC,F=V3,CD'=2,D'E=l,

•QE?+C£2=4=DfU2,

・•・"ED'=90°,

：./EC'D'=30°,

：.ZMCE=/BCD'-ZECD'=ZBCD-ZEC'D1=90°

同（1）法可得：

设则：CM=BC'-BM=BC-BM=5-x,

在RtZ\MC'七中，ME^=C'修+CM2,即：』=3+（5-J）2,

解得：“告

•••_ME14=

：.AM=AD-DE-ME=1：

当点U在AO上时，此时M与U重合，AM最大，

由（1）可知，AM=AD—DE—C'E=4一6,

6

，点"运动的路径长为4一通5-(2£-6)(厘米),

故答案为：V3»2.8—y/3.

，点H在以E为圆心，以AE的长为半径的圆上，

如图，连接CE,交圆E于点4,此时AC的长取最小值,

VAB=10,AD=12,点E为AB的中点,

：.AE=A'E=8E=5,CE=\3,

：.A'C=EC-A'E=\3-5=8.

故答案为：8.

30.解：连接5七交AC于“，连接过点A作AM_LEC于点M,过点七作日V_LZM交BA的延长线

于点N,

，B、D关于AC对称，

:・DH=BH\

JDH+EH=BH+EH''=BE,

故当〃与“重合时，的值最小，最小值为8E,

•・•四边形人8CQ为菱形，

：,AD//BC,

：.ZADM=ZBCD=30°,AD=AB=2,

：.AM=^AD=\,

VZAEC=45°,

••・NMA£：=9(r-45°=45°,

・•・ZAEC=ZMAE,

：,AM=EM=\,

*：AMA.EC,EN1BN,

NAMf=90°,N人NE=90°,

■:CEHBN,

••・NM4N=180°-90°=90°,

，/AME=/ANE=/M4N=90°,

・•・四边形AMNE是矩形，

又・・・A/W=£M=1,

••・四边形AMNE是正方形，

:.AN=EM=AM=EN=I,

・・・8N=2+1=3,

在RtZ\BNE中，

BE=7BN2+NE?=V324-I2=V10,

故HD+HE的最小值JIU,

故答案为：x^lO.

三,解答题(共4小题)

31.解：(1)①A、B两点之间的距离为7-(-5)=12,线段A8的中点表示的数为(7・5)4-2=1.

故答案为：12,1；

②/秒后，点C表示的数为-5+23点。表示的数为7-

故答案为:-5+2/,7-/；

(2)当f=4时，点。表示的数为-5+2/=3,点。表示的数为7-f=3,

所以C、。两点相遇；

(3)CE-CO的值不随着时间/的变化而变化，理由如下：

点。运动4秒后，动点£表示的数为7+5(/-4)=5t-13,

则CE=5t-13-(-5+2r)=3/-8,

CD=-5+2/-(7-f)=3/72,

WIJCE-CD=3t-8-⑶-⑵=4.

故CE-CD的值不随着时间/的变化而变化.

32.(1)证明：・・・A。是8c边上的面，8E是AC边上的高，

JZBEC=ZAEO=ZODB=90°,

：,ZOAE+ZAOE=90a,NOBD+NBOD=90°,ZBOD=ZAOE,

:,NCBE=NOAE,

在△人。石和中，

(4BE=^OAE

\AE=BE，

(△BEC=Z.AEO

・••△AOE也△BCE(ASA).

(2)解：存在，

:A