全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷40

全国自考公共课线性代数（经管类）模

拟试卷40

一、单选题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

1、设A、B为n阶可逆矩阵，下列选项等式不成立的是

A、IABI=IBAI

B、（AB）T=BTAT

C、（AB）"=B"A-1

D、（A+B）/=A」+B/

标准答案：D

知识点解析：因为IABI=IAI-IBI,所以IABI=IBAI=IAI•I

BI,故A成立.而B、C也都符合矩阵运算的规律，故B、c成立.因此D不成

立.

2、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则（）

A、AA*=IAI

B、AA+=IAI*

C、A*A=IAI

D、A*A=IAI*1

标准答案：C

知识点解析：A.A*=IAII.答案为C.

3、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有（）

A、|A|二|B|

B、|A罔B|

C、若|A|=0,则一定有|B|二0

D、若|A|>0,则一定有|B|>0

标准答案：C

知识点解析：设B=PAQ,其中P,Q为可逆矩阵，于是当|A|二0时，

|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0.故选C.

4、设n阶矩阵A非奇异（nN2）,A*是矩阵A的伴随矩阵，则（）

A、（A*）*=|A|n-1A

B、（A*）*=|A|n+1A

C、（A*）*=|A|n'2A

D、(A*)*=|A|n+2A

标准答案：C

知识点解析:AA*=|A|E两边取行列式,得|A||A*|二|Ap|E|,又⑶点,得|A*|二|A

1.又(A*)*A*=|A*|E=|AF/E,故(A*)*=⑷

5、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，贝I")

A、A=P或B=O

B、A+B=O

C、IAI+IBI=0

D、IAI=0或IBI=0

标准答案：D

知识点解析：由于IABI=IAI.IBI=I0I=0,所以IAI=0或IBI

=0.答案为D。

6、设A为四阶方阵，若।21=1,贝IJ|2A_1I=

A、-1

B、2

C、1/2

D、1

标准答案：D

11.*

由—A=(0)|Ai=1,得，A?二

16,而=击=表"2AT|=(2)4|4"=

16X2r=l.故选I).

知识点解析:

7、已知三阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为1,2,4,则IB」I=

A、1/8

B、8

C、1/7

D、7

标准答案：A

知识点解析：相似矩阵必有相同的特征值，因A〜B,则A与B有相同的特征值,

即B的特征值为1,2,4,则IBI=聂'，即IBI=lx2x4=8,而IB“I=

]=_1_

!B18,故选人.

8、实二次型f（Xl，…,Xn户XTAX为正定的充要条件是（）

A、f的秩为n

B、f的正惯性指数为n

C、f的正惯性指数等于f的秩

D、f的负惯性指数为n

标准答案：B

知识点解析：由正定的性质即得.答案为B。

9、设£|,£2,£3是Ax=o的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（）

A、£1，82，£3的一个等价向量组

B、£1，&2，£3的一个等秩向量组

C>£|+E2，£1+£2+£3

D、E）一£2，£2一£3，£3—61

标准答案：C

知识点解析：A错误，这是因为等价向量组所含向量的个数不一定相同，如

£2，£3，g1+£2也与£1，£2,83等价，但它不是基础解系.B也错误，等价自然等

秩.C正确，一方面它与£],£2,£3等价，且另一方面个数也为3.D错误，£]一

£2，£2一£3,£3一£1线性相关.

10、设从与人2是矩阵A的两个不同的特征值，e,T]是A的分别属于从，入2的特

征向量，则（）

A、存在常数k#0,k2#）,使ki£+k2n是A的特征向量

B、存在唯一的一组常数ki#）,k2#hBg+k2n是A的特征向量

C、对任意k]#）,k2/0,k]£+k2n，是A的特征向量

D、当k#0,k2#）时，kie+k2n不可能是A的特征向量

标准答案：D

知识点解析：假设ki£+k2n是A的属于入的特征向量，即

A（k隰+k2r|）=，（kie+lgn），即（ki1]e+k2入2n尸入kie+Xk2n,即（kiAj—ki>）£+（k2M一

k2X）q=0,W£与T）分属于A的两个不同特征值的特征向量，

Ai-A•

故线性无关，故1

AM=AM又k”k2都不为0,得入=加=入2与大浮入2矛盾.故当

k/o,k2和时,ki£+k2中不可能是A的特征向量，选D.

11、n元线性方程组Ax=O有非零解的充要条件是()

A、方程个数mVn

B、方程个数m>n

C、方程个数m=n

D、秩(A)Vn

标准答案：D

知识点解析：对于线性方程组Ax=O来说，若r(A)<n^Ax=O有非零解(充分条

件)；同样，若Ax=O有非零解->r(A)Vn(必要条件).答案为D。

12、若可逆矩阵A有特征值入=2,则(产产必有特征值()

A、4

1

B、4

1

标准答案：B

知识点解析：由于A=2是A的特征值.。=4是好特征值，所以4是(A2)”的特征

值.答案为B。

13、若n阶方阵A满足A?—2A—31=0,且矩阵A可逆则A*()

A、A-2I

B、2I-A

C、§

标准答案：D

A「；(A-21)

知识点解析：由于A(A—21)=31,因此所以A」

14、设山，az，。3，线性无关，向量01可由可，。2，线性表示，而向量02不可

由四，Q2，线性表示，则对任意常数k必有()

A、ai，。2,。3,Ai+仞线性相关

B、ai,(12,。3，伙+呻2线性无关

C、aj,a2，C13,m+k例线性相关

D、ai,。2，a3，kpi+比线性无关

标准答案：D

知识点解析：由于也不可由ai-a2，线性表示，说明可，。2，as.能线性无

关.设k]ai+k2a2+k3a3+k4(k0i+02)=O，由已知可知|3i=mia]+m2a2+m3a3代入上式

整理得(k]+k4m|k)cq+(k2+k4m2k)a2+(k3+k4m3k)ct3+k4P2=0.由02不可由ai，9,。3

线性表示得k1+k4m*=0,k2+k4m2k=0,k3+k4m3k=0,k4=0,显然

ki=k2=k3=k4=0.故选项D成立,至于B,C选项，当k=0时线性相关,当kr0时

线性无关.

15、没A是n阶方阵，且IAI=5,则I(5AT)-,1=()

A、5n+1

B、5I

c、5-1

D、5-n

标准答案：C

因为|A|=5,所以|A7|=4.

|(5万尸|=4T尸

00□

卷=5一・7.答案为C

知识点解析：=户"

□

16、下列命题中错误的是

A、一个非零向量线性无关

B、任意一个含零向量的向量组线性相关

C、由4个三维向量组成的向量组线性相关

D、由3个四维向量组成的向量组线性无关

标准答案：D

知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法.设川=(1,2,3,4)T,a2=(L

J11xrl11

.456JKO00,

012

000•

0

0.4,S)T.立3=(1.-2.S.6)T.A?.J故

r(A)=2,显然囚，a2,。3线性相关，故D项错误.

17、设三阶实对称矩阵A的特征值分别为一I,-2,0,则

A、A正定

B、A负定

C、A半正定

D、A半负定

标准答案：D

冈

知识点解析：止定矩阵n特征值全大于0.负定矩阵J特征值全小于0.半止

定矩阵特征值中含0,而其余全大于0.半负定矩阵特征值中含0,而其余全小于

0.

18、设A,B,A+B以及A"+B”均为n阶可逆矩总则(A/+B")”=()

A、A"+B"

B、A(A+B)'B

C、(A+B)“

D、A+B

标准答案：B

知识点解析：一一代入，可发现只有选项B满足条件.因(A」+B」)[A(A+B).

IB]=E(A+B)"B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-,B=B-,(B+A)(A+B)IB

=B-,.B=E.

19、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若A2=E，则一定有()

A、r(A-E)=0

B、r(A+E)=0

C>r(A)=n

D、r(A)<n

标准答案：C

知识点解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E,由于A?=E,a|A2|=|A|2=1,|A|/0,A可

逆，所以r(A尸n.

20、设A的特征值为1,—1,向量a是属于I的特征向量，0是属于一1的特征

向量，则下列论断正确的是（）

A、a与。线性相关

B、a+0是A的特征向量

C、a与0必正交

D、a和。线性无关

标准答案：D

知识点3析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择D.

二、填空题（本题共10题，每题J.0分，共10分。）

21、若A=则A」=

-4-4oo

21

T-T°°

00

T1

00fi

标准答案:

M5

由111

\OB(OB),

1300一|

2100

则A*=

00-13

002-1

13八

一00

55

21八

0

55

=*

cc13

00—T

、1

ooc42-■

33

知识点解析:

12

A=45

22、己知[78二次型f(x)=xTAx的矩阵为

135

357

标准答案：1679j

知识点解析：因为二次型f(X|,X2，X3）=X「+6X]X3+1Ox1X3+5X2+14X2X3+9X3-，故

135,

357

由二次型矩阵的定义知矩阵为679,

13

202

23、设人=3,则A有特征值...00

;若设B=,则B有特征值.

标准答案：1,2,3；1,2,3

知识点解析：暂无解析

24、已知xi=(l,0,-1)T是三元非齐次线性方程组Ax=b的一个解向量，又知

X2=(3,4,5)T是其对应齐次线性方程组Ax=0的一个解向量，则对应三元非齐次

线性方程组Ax=b有一个非零解向量自一.

标准答案：(4,4,4)T

知识点解析•：由非齐次线性方程组解的性质，得自=xi+x2=(4,4,4)T.

25、设A、B均为3阶矩阵，IAI=3,IB|=-2,则I-2A).B.iI=

标准答案：12

1

知识点解析：I-2ATBJI=（一2）.IATI.IB”I二一8x|AIXTB|=12.

26、n阶方阵A=(aii)的每一行元素之和同为a.则属于a的特征向量p为

11

1

标准答案:

fa”1

an1

p=•显然有Ap

1a2J

知识点解析：取M因此a是矩阵

A的一个特征值，则p是A属于特征值a的特征向量.

1

1

1J在这

27、己知则B

里基下的坐标为

标准答案:

知识点解析：以囚,。2,口3,0为列向量的矩阵作初等行变换，有

11

—・・’

12311[1233

一1111-0342

T~3

0321J103

-2

100T

->010o

1_

001

2,因此

1十会即0在囚33下的坐标为

1a0

A=a12

09S

28、设矩阵3“为正定矩阵，则a的最大取值范围是

一在Nad甚

标准答案：一下<a<H

知识点解析：矩阵A正定，因此顺序主子式大于0.

1a0

1a

|1|=1>0,=1—/>0,a12=l-5a2>0

a1

025所以a的最大取

值范围是

2

-6

°J线性相关,

29、设向量则a=_______

标准答案：一10

二2=/_=_1

知识点解析：a与。线性相关，因此对应分量成比例，所以丁.刀=丁，所以

a=一10.

30、设3阶方阵A=（a],（12，&3），其中5（i=l，2,3）为A的列向量，若

|B|=|ai+2a2，。2+3。3，。3|=8,则|A|=.

标准答案：8

知识点解析：|B|=|ai+2a2,a2+3a3,ct3|=|ai+2a2,a2»a3|=|a）,012，a3|=|A|=8.

三、计算题（本题共6题，每题1.。分，共6分。）

3211

0402

D=

2011

31、计算0102

1

3211T

04022

D=

20111

T

0102

标准答案：2

2

2~T-T071__9

T-1

2402=20o

0-6

102102

知识点解析：暂无解析

40036

A=01-1,8=11

一3

♦0142

32、设矩阵,并且AX=2X+B,求矩阵

X.

标准答案：由于(A—2E)x=B,所以

2036

*=(A-2E)T5=0-1-111

,012,2一3.

V00)(3

0—2—11

011J?

知识点解析•：暂无解析

33、设二次型f(xi，X2，X3)=X|2—2X22—2X32—4X1X2+4XIX3+8X2X3，用正交变换

法x=Py,将二次型化为标准形.

a-2）'（a+7>-0•祷A的转征值为人・的-2,

为--7.当为=刖=2时.《幻&一4〉*=0的氐

-2i2

础解系为。=I,6=0.当为=一7时,

01

1

《入民一人）x=0的从电然系为a«2

一2

将6,or正文化得

!

1

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2

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3_

f

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再将P，/单位化珞，-!?1|3G

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1《

If

令。=a”止住化那员Iy

4

全P（，””,）•由正文变换x=I"得到二次

标准答案：型的林状形为/<J|