棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

1.多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和.解：如图，取AB的中点E，连接PE，则PE⊥AB因此，正四棱锥P-ABCD的表面积为[例1]已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积.ACBPDE[练习1]P119-1如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____.[练习2]正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.ADBCFEA'D'B'C'F'E'解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.因此，正六棱台的表面积为2.棱柱、棱锥、棱台的体积(S,h分别为棱柱的底面积和高)

棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.

特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．(S,h分别为棱锥的底面积和高)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差，得到棱台的体积公式．推导棱台体积公式根据面积比=相似比的平方，得

棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？

[例2]如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点，(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_________.(2)三棱锥B-ACB1的体积为_________.(3)正四面体B1-ACD1的体积为_________.(等体积法)(割补法)求三棱锥体积通常可用换底法(也叫等体积法).[练习3]如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积和体积．BCAP解：因为△PBC是正三角形，其边长为a，

所以

因此，四面体P-ABC的表面积[练习4]在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF⊥面FBC，则该多面体的体积为_________.(分割法)

[练习3]P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比.(割补法)[练习4]P116-3.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是0.5m，那么石凳的体积是多少？∴这个石凳的体积为解：BCA'B'C'D'ADEFG(割补法)[练习6]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.44424分割多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC244443[练习6]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.24444344424多面体的体积V＝V三棱锥E－ACD＋V三棱锥E－ABC＋V三棱锥F－EBC同顶点C,高相等[练习6]如图，在多