《立体几何初步（章末知识梳理与能力提升）》课件

第八章

章末知识梳理与能力提升12345678910111213141516171819202122一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为(

)D123456789101112131415161718192021222.

如图,一圆锥的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为(

)C123456789101112131415161718192021223.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后点A与点C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为(

)A.30° B.60° C.90° D.120°C123456789101112131415161718192021224.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为(

)A12345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021225.如图,正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点,则直线BE与平面PAC所成的角为(

)A.30° B.45° C.60° D.90°C12345678910111213141516171819202122解析

如图,过点P作PO⊥平面ABCD,点O为垂足.连接AC,BD,则AC与BD相交于点O.在正四棱锥中,根据底面积可得,BC=,根据体积公式可得,PO=1.BD⊥AC,即BD⊥平面PAC,∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角.123456789101112131415161718192021226.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为(

)A解析

如图,连接AD.∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.123456789101112131415161718192021227.在空间四边形ABCD中,AD=2,BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD与BC所成角的大小为(

)A.150° B.60° C.120° D.30°D解析

如图所示.设BD的中点为O,连接EO,FO,所以EO∥AD,FO∥BC,则∠EOF是AD,BC所成的角或其补角,12345678910111213141516171819202122C12345678910111213141516171819202122如图,设点O1为△ABC的外心,则OO1⊥平面ABC.在Rt△AO1O中,由

,且OO1=R-h=1,得AO1=.12345678910111213141516171819202122二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题不正确的是(

)A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α B.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥αABC解析

选项A的已知条件中如果加上m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项B错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项C错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项D正确,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又因为m⊥β,所以m⊥α.1234567891011121314151617181920212210.如图,圆柱的轴截面是四边形ABCD,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下列结论中正确的是(

)A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面CEBD.平面ADE⊥平面BCEABD12345678910111213141516171819202122解析

由AB是底面圆的直径,得∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵圆柱的轴截面是四边形ABCD,∴AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD,又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,∴BE⊥平面ADE,∴BE⊥DE.同理可得,AE⊥CE,易得平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正确.∵AD∥BC,∴∠ADE(或其补角)为DE与CB所成的角,显然∠ADE≠90°,∴DE⊥平面CEB不成立,即C错误.1234567891011121314151617181920212211.如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,下列结论正确的是(

)A.PD∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直线PD与直线MN所成角的大小为90°D.ON⊥PBABD解析

连接BD,图略,显然O为BD的中点,又N为PB的中点,所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正确;由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,所以MN∥AB,又底面为正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由线面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由选项A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正确;因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角,又因为所有棱长都相等,所以∠PDC=60°,故直线PD与直线MN所成角的大小为60°,C错误;因为底面为正方形,所以AB2+AD2=BD2,又所有棱长都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB,D正确.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则(

)A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等BC解析

∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A错误.∵A1G∥D1F,A1G⊄AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1,易知梯形面积为

,故C正确.点G到平面AEFM的距离即点A1到面AD1F的距离,显然D错误.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122三、填空题13.圆柱的高是8cm,表面积是130πcm2,则它的底面圆的半径等于

cm,圆柱的体积是

cm3.

5200π

解析

设圆柱的底面圆的半径为r

cm,则S圆柱表=2π·r·8+2πr2=130π.解得r=5,即圆柱的底面圆半径为5

cm.圆柱的体积V=52π×8=200π(cm3).1234567891011121314151617181920212214.[2023江西赣州大余期末]如图,正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为,高为2,一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表面爬到顶点C',若侧面AA'C'C紧贴墙面(不能通行),则爬行的最短路程是

.

12345678910111213141516171819202122解析

正三棱柱ABC-A'B'C'的侧面部分展开图如图所示,图1图2123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212215.已知在菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离为

.

解析

设AC∩BD=O,则翻折后AO⊥BD,CO⊥BD,即∠AOC即为二面角的平面角,所以∠AOC=120°,且AO=1,故d=1×sin

60°=.1234567891011121314151617181920212216.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为

g.

118.812345678910111213141516171819202122解析

由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4××2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3

cm,则此四棱锥的体积为V1=×12×3=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).12345678910111213141516171819202122四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点.证明:(1)E,F,G,H四点共面.(2)EG,FH,AA1三线共点.12345678910111213141516171819202122证明

(1)如图,连接EF,GH.∵GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.∵B1E∥C1F,且B1E=C1F,∴四边形B1EFC1是平行四边形,∴EF∥B1C1,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四点共面.(2)如图,由(1)知EF≠GH,点E,F,G,H四点共面,延长EG,FH相交于点P.∵P∈EG,EG⊂平面ABB1A1,∴P∈平面ABB1A1.∵P∈FH,FH⊂平面ACC1A1,∴P∈平面ACC1A1.∵平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,∴P∈AA1,∴EG,FH,AA1三线共点.1234567891011121314151617181920212218.[2023上海徐汇月考]某种“笼具”由上、下两层组成,上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面半径相等,如图所示,圆锥无底面,圆柱无上底面有下底面,内部镂空,已知圆锥的母线长为20cm,圆柱高为30cm,底面的周长为24πcm.(1)求这种“笼具”的体积(π取3.14,结果精确到0.1cm3);(2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩(包括底面)50个,该保护罩紧贴包裹“笼具”,纱网材料(按实测面积计算)的造价为每平方米8元,共需多少元?(结果精确到0.1元)

12345678910111213141516171819202122(2)圆柱的侧面积S1=2πrh2=720π(cm2),圆柱的底面积S2=πr2=144π(cm2),圆锥的侧面积S3=πrl=240π(cm2),所以“笼具”的侧面积S侧=S1+S2+S3=1

104π(cm2).1234567891011121314151617181920212219.[2023陕西渭南韩城期中]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是A1D,BD的中点.求证:(1)平面A1BD∥平面CB1D1;(2)EF∥平面DCC1D1.12345678910111213141516171819202122证明

(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥AD且A1D1=AD,AD∥BC且AD=BC,所以A1D1∥BC且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CB1D1,D1C⊂平面CB1D1,所以A1B∥平面CB1D1.又D1D∥B1B且D1D=B1B,所以四边形D1DBB1为平行四边形,所以BD∥B1D1,又BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,又A1B∩BD=B,A1B,BD⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CB1D1.(2)因为E,F分别是A1D,BD的中点,所以EF∥A1B,由(1)可知,A1B∥D1C,所以EF∥D1C,又EF⊄平面DCC1D1,D1C⊂平面DCC1D1,所以EF∥平面DCC1D1.1234567891011121314151617181920212220.[2023山东青岛即墨期中]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=1,M,N,Q分别为AC,B1C1,CC1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)A1B⊥平面MNQ.12345678910111213141516171819202122证明

(1)取AB中点P,连接MP,PB1,则MP∥BC,MP=BC.又N是B1C1的中点,所以B1N=B1C1.因为BC∥B1C1,BC=B1C1,所以MP∥B1N,MP=B1N.所以四边形MPB1N是平行四边形,所以MN∥PB1.因为MN⊄平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.12345678910111213141516171819202122(2)连接AC1,A1C,BC1,B1C,如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,则BC⊥CC1,而AC⊥BC,则有BC⊥平面CC1A1A,必有BC⊥AC1,又由AC=CC1=1,四边形ACC1A1为正方形,则AC1⊥A1C,BC⊂平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,BC∩A1C=C,则AC1⊥平面A1BC,必有AC1⊥A1B.又由M,Q分别为AC,CC1的中点,则MQ∥AC1,则有MQ⊥A1B.同理,NQ⊥A1B,而MQ⊂平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,MQ∩NQ=Q,故有A1B⊥平面MNQ.1234567891011121314151617181920212221.[2023山东聊城期末]如图,平面四边形ABCD由等腰直角三角形ABC和等边三角形ACD拼接而成,将△ACD沿AC折起,使点D到达点P的位置,且BP=AB.(1)求证:平面ACP⊥平面ABC;(2)求二面角P-AB-C的余弦值.12345678910111213141516171819202122(1)证明

∵△ACP为等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,由图可知,AC=BC,AC⊥BC.设AP=CP=AC=1,则BC=1,BP=AB=,故BP2=CP2+BC2,BC⊥CP,又BC⊥AC,CP∩AC=C,CP,AC⊂平面ACP,∴BC⊥平面ACP,又BC⊂平面ABC,∴平面ACP⊥平面ABC.12345678910111213141516171819202122(2)解

取AC的中点F,过F作FE⊥AB,垂足为E,∵AP=CP,∴PF⊥AC,由(1)知,平面ACP⊥平面ABC,平面ACP∩平面ABC=AC,PF⊂平面ACP,∴PF⊥平面ABC,∵AB⊂平面ABC,∴PF⊥AB.∵FE∩PF=F