《平面与平面垂直的判定》课件

8.6.3第1课时平面与平面

垂直的判定【知识小结一】【知识小结二】1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一]如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(

)A.90° B.60°C.45°D.30°A解析

∵PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,∴BA⊥PA,CA⊥PA,因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,故选A.12345678910111213141516172.[探究点三]在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是(

)A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.垂直D解析

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂平面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,D正确.12345678910111213141516173.[探究点三]设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(

)A.若m⊥β,α⊥β,则m∥αB.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥αC.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥nD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥αD解析

当m⊂α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n⊂α,这时m⊂α,n⊂β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D.12345678910111213141516174.[探究点三]如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=

.

2解析

取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,123456789101112131415161712345678910111213141516175.[探究点三]如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是

.

45°解析

过A作AO⊥BD于点O,∵平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ADO=45°.123456789101112131415161712345678910111213141516176.[探究点三]如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=

.

1234567891011121314151617解析

∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC与平面ABC的交线为AC,∠PAC=90°,PA⊂平面PAC,∴PA⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,∴PA⊥AB,12345678910111213141516177.[探究点三]三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求点B到平面MOC的距离.1234567891011121314151617(1)证明

∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB.又VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC.(2)证明

∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB.又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,又OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.1234567891011121314151617(3)解

连接MB,VO,过M作MD⊥AB,垂足为D,图略,设h'为点B到平面MOC的距离,h为点M到平面BOC的距离.12345678910111213141516178.[探究点一、二]如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.1234567891011121314151617(1)证明

如图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又因为BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解

由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.1234567891011121314151617B级关键能力提升练9.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(

)A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点D解析

∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.123456789101112131415161710.(多选题)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出如下命题,其中正确的是(

)A.若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥βB.若α⊥β,且n⊥β,n⊥m,则m⊥αC.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥αD.若α⊥β,m∥α,则m⊥βAC解析

根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中,m还可能在α内或m∥α或m与α斜交,B不正确;C中,α⊥β,m⊥β,m⊄α时,只可能有m∥α,C正确;D中,m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交,D不正确.故选AC.123456789101112131415161711.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在(

)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC的内部A1234567891011121314151617解析

因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又因为平面ABC∩平面ABC1=AB,所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,即H在直线AB上.123456789101112131415161712.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是(

)A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P-BC-A的大小为45°D.BD⊥平面PACABC1234567891011121314151617解析

如图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM⊂平面PMB,∴AD⊥平面PMB,故A正确;对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确;对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.1234567891011121314151617123456789101112131415161713.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=

.

2解析

取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.可知DE⊥CE.1234567891011121314151617123456789101112131415161714.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.1234567891011121314151617(1)证明

∵AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,∴△ABC≌△DBC,∴AC=DC.∵G为AD的中点,∴CG⊥AD.同理BG⊥AD.∵CG∩BG=G,CG,BG⊂平面BCG,∴AD⊥平面BCG.又E,F分别是AC,CD的中点,∴EF∥AD,∴EF⊥平面BCG.1234567891011121314151617(2)解

在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB的延长线于点O.∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直,平面ABC∩平面BCD=BC,且AO⊂平面ABC,∴AO⊥平面BCD.∵G为AD的中点,∴点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.123456789101112131415161715.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.1234567891011121314151617(1)证明

由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解

取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.123456789101112131415161716.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.(1)求证:EF⊥PD;(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.1234567891011121314151617(1)证明

连接BD,在△ABC中,∠B=90°.∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.又∵PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AC⊥PB.∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,∵PD⊂平面PBD,∴EF⊥PD.1234567891011121314151617(2)解

连接BD交EF于点O,由(1)知EF⊥平面PBD,

∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO⊂平面PBD,∴EF⊥PO.∵PB⊥平面ABC,BC,AB⊂平面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC.∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.1234567891011121314151617(3)解

过点B作BM⊥PF于点M,连接EM.∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,∴AB⊥平面PBC,∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.∵PF⊂平面PBC,∴PF⊥BE.又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME,∵EM⊂平