6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（教案）

第六章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示一、教学目标1.掌握向量数乘运算的坐标表示；2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线；；3.通过对平面向量数乘运算的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1.向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；2.向量运算的坐标表示的理解及应用向量共线的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。三、教学过程：1、复习回顾（1）若，则。（2）已知向量，且点，，．2.探索新知问题1.已知，你能推导出的坐标吗？生答：因为，所以即。重要结论：实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.已知的坐标。变式训练1：已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1 B.1，－2C．2，－1 D.－1,2解：由题意得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1，,λ2＝2.))故选：D变式训练2：若向量，，，则等于()A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，设，则有，即，解得，所以，故选：D.问题2.设，若向量共线（其中），你能推导出这两个向量的坐标应满足什么关系？生答：向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即问题3.你能将这两个等式合并成一个式子吗？生答：，重要结论：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：①；②且设，（）例2.已知向量,，若与共线,则求实数的值解：由，，则，因为与共线，所以，解得变式训练：已知，．（1）求证：，不共线；（2）若，求实数，的值：（3）若与共线，求实数的值．解：（1）证明：根据题意，，，有，故，不共线；（2）根据题意，若，且，不共线；则有，解可得；（3）根据题意，若与共线，设，即，则有，则；故答案为:．问题4：设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为，当P是线段P1P2的中点时，你能推导点P的坐标吗？生答：重要结论：中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为，线段P1P2的中点P的坐标为，则。例3.已知点，，，，向量与平行吗？直线平行与直线吗？解：∵，=，又，∴；又，，，∴与不平行，∴、、不共线，与不重合，所以，直线与平行。小结：1.向量数乘运算的坐标表示；2.向量共线的充要条件；3.中点坐标公式;五、作业：习题6.3.4A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点三]下列各对向量不共线的是()A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(2,-1),b=(1,2)D.a=(1,2),b=(2,2)2.[探究点一]向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b= ()A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7)3.[探究点一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)4.[探究点四]已知向量a=(3,5),b=(cosα,sinα),且a∥b,则tanα等于()A.35 B.53 C.-35 5.[探究点二]已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶D的坐标为 ()A.2,72C.(3,2) D.(1,3)6.[探究点二]已知A(2,0),B(0,2),若AC=13AB,则点7.[探究点五]设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围是.

8.[探究点五]已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.

9.[探究点二、四]已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2).(1)若AB=a,求x的值;(2)若AB∥a,求x的值.10.[探究点二]已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及MN的坐标.11.[探究点二]如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OBB级关键能力提升练12.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有()A.OC与BA平行 C.OA+OC=OB D.13.已知AB=(-1,3),AC=(2,-2),BD=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为()A.-2 B.37 C.-115 D.14.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是()A.-1 B.0 C.1 D.215.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=mOP+n(其中O为坐标原点),则A.-1 B.-2 C.2 D.116.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使|CE|=14|17.已知向量a=13,tanα,b=(cosα,1),α∈π2,π,且a∥b,则sinα=,cos2α=.

18.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为.

19.已知点A(-1,1),B(2,-1).(1)若点C是线段AB的中点,求点C的坐标;(2)若直线AB上的点D满足AD=-2BD,求点D的坐标.C级学科素养创新练20.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是()A.存在实数x,使a∥bB.存在实数x,使(a+b)∥aC.存在实数x,m,使(ma+b)∥aD.存在实数x,m,使(ma+b)∥b21.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c)?(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.参考答案1.ABCA,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=2a,两个向量共线.2.B∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.3.D∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即2x-5+9=0,2y+6-6=0,4.B由a∥b,得5cosα-3sinα=0,即tanα=535.A设顶点D的坐标为(x,y),因为BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,所以2x=4,2y6.43,23设C(x,y),则AC=(x-2,y),AB=(-2,2),所以(x-2,y)=-23,23,得x=43,y=23,7.{m|m∈R且m≠6}∵A,B,C三点能构成三角形,∴AB,AC又∵AB=(1,1),AC=(m-2,4),∴1×4-1×(m-2)≠0.解得m≠6.∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}.8.9或92AB=OB−OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC=OC−OB=(5,-1)-(因为A,B,C共线,所以AB与BC所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①又m=2n, ②解①②组成的方程组得m所以m+n=9或m+n=929.解(1)AB=(2,0),因为AB=a,所以x解得x=-1.(2)因为AB∥a,所以x2-3x-4=0,解得x=-1或4.10.解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).∴5=∴m(3)设M(x1,y1),由CM=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴x∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).设N(x2,y2),由CN=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴x2+3=12∴N(9,2).∴MN=(9,-18).11.解因为OC=14OA所以C0,因为OD=12OB所以D2,设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=AD=2,32因为AM∥AD,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20因为CM∥CB,所以74x-4y-54=0,即7x-联立①②,解得x=127,y=2,故点M的坐标为1212.ACDBA=(2,-1),OC=(-2,1),又2×1-(-1)×(-2)=0,所以OC与BA平行,A正确.AB+BC=AC≠CA,所以B不正确.OA+OC=(0,2)=OB,所以C正确.AC=(-4,0),OB-2OA=(0,2)-(4,2)=13.D根据题意,已知AB=(-1,3),AC=(2,-2),则BC=AC−AB=(3,-5),若B,C,D三点共线,则BC∥BD,则有3×2a=(-5)×(a+1),14.ABC∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-2≤y≤2.∴y的取值范围是[-2,215.B由题意知,点P的坐标为(x,sinx),则OQ=mOP+n=12又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin2x所以函数y=f(x)的最小值为-2.16.83,-7∵AC=1∴A为BC的中点,AC=设C(xC,yC),则(xC-2,yC+1)=(1,-5),∴点C的坐标为(3,-6).∵|CE|=14|ED|,且点E在∴CE=-14设E(x,y),则(x-3,y+6)=-14(4-x,-3-y得x-3=故点E的坐标是83,-7.17.1379因为向量a=13,tanα,b=(cosα,1),且a∥b,所以tanαcosα因为α∈π2,π,所以sinα=13,所以cos2α=1-2sin2α=1-2×132=79.18.-2因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.19.解(1)设C(x,y),又A(-1,1),B(2,-1),则AC=(x+1,y-1),CB=(2-x,-1-y),∵点C是线段AB的中点,∴AC=CB,即x+1=2-x,y-1=(2)设D(a,b),又A(