6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（教案）

第六章平面向量及其应用6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示一、教学目标1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2.会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；3.通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1．平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2．对平面向量的坐标表示的理解。三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。问题1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？答:在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．作向量，设，所以。说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；（2）两向量相等时，坐标一样；（3），，；（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。例1．如图，用基底，分别表示向量、、、，并求出它们的坐标。解：由图知：； ； ； ．例2.如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则求的坐标.解:由题意知A是30°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点,B点是将0A绕原点O逆时针方向旋转120°终边与以点O为圆心的单位圆的交点．由三角函数的定义，设终边OA与x轴所形成的角为因为，|OA|=|OB|,所以点B的坐标为.变式训练：已知向量，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则（）A. B. C. D.解：向量（5，12），将绕原点按逆时针方向旋转90°得到，点B的坐标（﹣12，5），如图：所以．故选：D．四、小结：1．平面向量的正交分解；2．正确理解平面向量的坐标意义；五、作业：习题6.3.2A级必备知识基础练1.[探究点二]设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,42.[探究点二]如图所示,在△ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则DE=(A.1B.1C.1D.13.[探究点二]如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,A.m>0,n>0 B.m>0,n<0C.m<0,n>0 D.m<0,n<04.(多选题)[探究点三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点OD.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)5.[探究点二]已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.

6.[探究点二]已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若OP=3OA+xOB,则x=.

7.[探究点二]在长方形ABCD中,点E为CD的中点,设AB=a,AD=b,若AE=λa+μb,则λ+μ=.

8.[探究点一]设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;(2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2.9.[探究点二·苏教版教材例题]如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,AB=a,AD=b,试用基底a,b表示MC,B级关键能力提升练10.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则BC·AM的值为(A.-6 B.6 C.-8 D.811.如图,在△ABC中,AD=13DC,P是线段BD上一点,若AP=mAB+A.13 B.23 C.2 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若AB=a,AD=b,E为BF的中点,则AE=()A.45a+25b B.25aC.43a+23b D.23a13.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为.

14.[2023湖南湘潭期末]已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a=OA,其中O为原点,则x=,y=.

15.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP|=|PB|,求点P的坐标.16.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值C级学科素养创新练17.已知集合M={a|a=(1,2)+(3λ1,4λ1),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+(4λ2,5λ2),λ2∈R},则M∩N等于()A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)}C.{(-2,-2)} D.⌀18.如图所示,在△ABO中,OC=13OA,OD=12OB,AD与BC相交于点(1)试用向量a,b表示OM;(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M.设OE=λOA,OF=μOB,其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时,λ=1,μ=12,此时1λ+2μ=5;当EF与BC重合时,λ=13,μ=1,此时1λ+2μ=5.能否由此得出一般结论:不论

参考答案1.D因为向量e1与e2不共线,所以3x=42.DDE=DB+BE3.B如图所示,利用平行四边形法则,将OP分解到OP1和OP2上,有OP=OA+OB,则OA=mOOB与OP2方向相反,4.BCD由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.5.6由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,即xe1+2e2=3λe1+λye2,所以x=3λ,2=λy,故xy=36.-2∵点P在直线AB上,且OP=3OA+xOB,∴3+x=1,∴x=-2.7.32∵在长方形ABCD中,点E为CD的中点∴DE=12DC=12AB,而∴AE=AD+DE=b+12a.∴λ8.(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得λ所以λ不存在,故a,b不共线,即{a,b}可以作为一个基底.(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+故c=2a+b.9.解AC=AB+AD=因为平行四边形的对角线互相平分,所以MC=12AC=从而MA=-MC=-12a-12MB=12DB=12(MD=-MB=12b-10.A∵在△ABC中,点M是边BC的中点,∴AM=1又BC=AC−AB,∴BC·AM=12(AC−AB)·(AB+AC)=111.A设BP=λBD,因为AD=13DC则AP=AB+BP=AB+λBD=AB+λ(BA+AD)=(1-λ)AB+14λAC,又因为AP=m12.A设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=5m.过点E作EH⊥AB于点H,则EH=2m25m=2AH=(2所以AH=45AB,HE=2所以AE=AH+HE=45AB13.(2,2)由题意知a=(2cos45°,2sin45°)=(214.-1-2由题意知x+3=2,15.解设点P的坐标为(x,y).当P在线段AB上时,AP=∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y),∴x-3=∴点P的坐标为(1,-1).当P在线段AB的延长线上时,AP=-PB.∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y),∴x-3=1+综上所述,点P的坐标为(1,-1).16.解设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2,∴BA=BP−AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ又BA=BC+CA=2e1+3e2,∴AP=45AM,即APPM17.C令(1,2)+(3λ1,4λ1)=(-2,-2)+(4λ2,5λ2),即(1+3λ1,2+4λ1)=(-2+4λ2,-2+5λ2),∴1+3解得λ1=-1,λ2=0,18.解(1)设OM=ma+nb(m∈R,n∈R),由A,D,M三点共线,可知存在α(α∈R,且α≠-1)使得AM=αMD,则OM−OA=α(OD又OD=12OB,所以OM=所以m=11+