8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（提升练）解析版

第八章立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为()A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】由题得侧面三角形的斜高为，所以该四棱锥的全面积为.故选:B3.已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为()A. B. C. D.【答案】A【解析】因为O'B'=O'C'=1,所以B'C'=2.根据斜二测画法的知识可知,正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,其面积为×22=,所以正三棱锥的体积为××3=.故选:A.4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为.故选：A.5.已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：,故选：A二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到的最短距离为D．沿长方体的表面从A到的最短距离为【答案】BC【解析】长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.7．四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】BC由题意得,面PBC是边长为1的正三角形,所以S△PBC=.设三棱锥A-PBC的高为h,则VP-ABC=VA-PBC=S△PBC·h=××h=h.又h∈(0,1],所以该四面体的体积V∈,故选:BC.8．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是()A.直三棱柱的侧面积是B.直三棱柱的体积是C.三棱锥E-AA1O的体积为定值D.AE+EC1的最小值为【答案】ACD【解析】由题意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+×2=,故A正确;直三棱柱的体积为S△ABC·AA1=×1×1×2=1,故B错误;∵点E是侧棱BB1上的一个动点,∴以平面AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值,又=××2=,∴=××=,故C正确;将面BB1C1C展开至与面AA1B1B共面,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,即E为BB1的中点,此时AE+EC1的值最小,为,故D正确.故选:ACD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为________________【答案】【解析】如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．

∵OE=2cm，∠OPE=30°，

∴斜高h′=PE=，

∴S正棱锥侧=故答案为：3210．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为_________【答案】【解析】设，，，则长方体的体积，又，且三棱锥的高为，∴，则剩余部分的几何体体积，则，故答案为：11．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．【答案】20【解析】由图形观察可知，几何体的面共有个，该几何体的直观图如图所示，该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.两个四棱柱的体积和为.交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍.在等腰中，边上的高为2，则由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形为边长为的菱形.设的中点为，连接易证即为四棱锥的高，在中，又所以因为，所以，所以求体积为故答案为：20；四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．【答案】，【解析】如图，，在中，．，E为BC的中点，侧棱长都相等，，13.如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.14．如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则求四棱锥的体积.【答案】9【解析】连接，

∵正四棱柱的体积为27，

点E，F分别为棱上的点（异于端点），且，

，

，

∴四棱锥的体积．A级必备知识基础练1.[探究点一]若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于()A.12 B.48 C.64 D.722.[探究点二]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A.16 B.13 C.13.[探究点一]一个正四棱锥的底面边长为2,高为3,则该正四棱锥的表面积为()A.8 B.12 C.16 D.204.[探究点二]正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3π B.43 C.3π5.[探究点二]棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于()A.6+2 B.3+22C.6+22 D.66.[探究点二]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.

7.[探究点三]已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.

8.[探究点二]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,则它的深度为cm.

B级关键能力提升练9.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺10.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.

11.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V212.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为.

13.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为22,那么玩具石凳的表面积为.

14.已知正四棱台的高是12cm,两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2,则上、下底面边长分别为cm,体积为cm3.

15.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.16.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?C级学科素养创新练17.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为2033,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=参考答案1.D∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形,∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4,∴棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D.2.A三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=13×123.B由题意得侧面三角形底边上的高为(3)所以该四棱锥的表面积为22+4×12×2×2=124.B如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为2,故底面积为(2)2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为13×2×1=2故几何体的体积为2×235.C依题意,棱台的上底面面积S'=2,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知,棱台的体积是V=13(S'+S'S+S)h=13×(2+8+4)×3=6+226.10因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12AB·BC·CE=13×12AB·BC·17.90138该几何体的体积V=4×6×3+12×4×3×3=90,表面积S=2×(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+32+428.75设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h.由V=13(S+SS'+S')h,得h=3V9.B如图所示,由题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得30-ℎ30=6×2220×22,解得h=21,可得正四棱台的体积为13×21×(62+20210.3∶4设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=13h(S+4S+2S)=73Sh,V1=Sh,∴11.14如图,设点C到平面PAB的距离为h,则点E到平面ABD的距离为12∵S△ABD=12S△PAB∴V112.1-372液体部分的体积为三棱锥体积的18,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的78.设空出的三棱锥的高为x,则x313=7813.83+24根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为8×12×22sin60°+6×22=83+2414.2,12688如图,点O,O1分别是下底面和上底面的中心,点E,E1分别是所在棱的中点,连接OO1,OE,O1E1,过点E1作E1F⊥OE,F是垂足.设OE=xcm,则下底面边长为2xcm,上底面边长为(2x-10)cm,故O1E1=(x-5)cm,则FE=5cm.又正四棱台的高是12cm,∴EE1=FE2+故正四棱台的表面积S=(2x)2+(2x-10)2+4×12(2x+2x-10)×13=8(x2+8x-20)=51