8.4.1平面（基础练）解析版

第八章立体几何初步8.4.1平面(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.以下不属于公理的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】C【解析】对于选项A，由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A正确；对于选项B，由公理二得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故B正确；对于选项C，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；对于选项D，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D正确；故选：C2．下列说法不正确的是()A.三角形一定是平面图形B.若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.三条平行线最多可确定三个平面【答案】C【解析】三角形一定是平面图形,A中说法正确;由两条相交直线确定一个平面可知,若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形,B中说法正确;当圆心和圆上两点在同一条直线上(即圆的直径)时,可确定无数个平面,C中说法不正确;三条平行线最多可确定三个平面,D中说法正确.故选:C.3．如图所示，用符号语言可表达为()B．C． D．【答案】A【解析】如图所示的点，线，面的几何关系，注意：点与线和面的关系用，线与平面的关系用所以表示为“，，”.故选：A．4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选:A.5.三条直线相交于一点，则它们可以确定（）个平面A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】如图，在三棱锥中，平面，直线、、共点于，、、三条直线确定一个平面，直线、、共点于，、、三条直线确定三个平面：平面、平面、平面．不重合的三条直线相交于一点，则它们最多能确定3个平面.故选:ABC.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列说法正确的选项有()A.桌面给人以平面的形象；B.一个平面长3m，宽2m；C.平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；D.空间图形是由空间的点、线、面所构成的【答案】ACD【解析】根据平面的特征，绝对的平，无限延展，不计大小和厚薄，即可知，A对，B错；再根据点线面的关系可知，CD正确,，故选：ACD7．下面四个条件中，能确定一个平面的是（）A．一条直线 B．一条直线和一个点C．两条相交的直线 D．两条平行的直线【答案】CD【解析】对于选项A，一条直线不能确定一个平面，故A错误；对于选项B，一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故B错误；对于选项C，两条相交的直线可以确定一个平面，故C正确；对于选项D，两条平行的直线可以确定一个平面，故D正确；故选：CD8．已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（）A．，，，B．，，，C．，D．，,【答案】ABD【解析】对于选项A:由公理1知,,故A正确;对于选项B：因为表示不同的平面，由公理3知,平面相交,且,故B正确;对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时，若交点为A，则，故C错误；对于选项D：由公理1逆推可得结论成立,故D正确.故选：ABD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．三个平面将空间不可分成__________部分.【答案】5【解析】若三个平面互相平行，则把空间分成4部分；若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有一条交线，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分.故答案为：510．空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则P一定在直线___________上【答案】AC【解析】由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上.故答案为：AC11．如图，为不共面的四点，分别在线段上.（1）如果，那么点在直线_______上；（2）如果，那么点在直线_______上.【答案】；【解析】（1）连接，若，则平面，且平面.∵平面平面，∴.（2）连接.若，则平面，且平面.∵平面平面，.故答案为：；四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．用符号语言表示下列语句，并画出图形.（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；（2）直线l在平面α内，直线m不在平面α内.【答案】（1），图形见解析（2），，图形见解析【解析】（1），图形如图：（2），，图形如图：或13．如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：点在平面内．【答案】证明见解析.【解析】在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形，，所以四点共面，因此在平面内14．如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.【答案】证明见解析.【解析】(1)连接B1D1,∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,易知B1D1∥BD,∴EF∥BD,∴EF,BD可确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1A、CC1确定的平面为α,平面BDEF为β.∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,∴点Q在平面α与β的交线上,同理P∈α,P∈β,∴点P在平面α与β的交线上,∴α∩β=PQ.又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.A级必备知识基础练1.[探究点一·山东烟台期末]下列几何元素可以确定唯一平面的是()A.三个点B.圆心和圆上两点C.梯形的两条边D.一个点和一条直线2.[探究点二]空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线3.[探究点一]已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是()A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B4.[探究点一]已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合5.[探究点二]平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=()A.直线AC B.直线BCC.直线CR D.以上都不对6.[探究点一](多选题)下列说法错误的是()A.不共面的四点中,任意三点不共线B.三条两两相交的直线在同一平面内C.有三个不同公共点的两个平面重合D.依次首尾相接的四条线段不一定共面7.[探究点一]三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定个平面.

8.[探究点二]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.9.[探究点二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则()A.点M一定在直线AC上B.点M一定在直线BD上C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有()A.1条或2条 B.2条或3条C.1条或3条 D.1条或2条或3条12.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面13.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.(1)A∉α,a⊂α:;

(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:;

(3)a⊄α,a∩α=A:;

(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:.

14.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填入)

15.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且BGGC=DHHC=2.求证:直线EG,FH16.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示,求证:P,Q,R三点共线.C级学科素养创新练17.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.(1)画出直线l;(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.参考答案1.C根据题意,依次分析选项:对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误;对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误;对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,C正确;对D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,D错误.故选C.2.B如图1和图2所示,A,C,D均不正确,只有B正确.图1图23.A由基本事实2或画图可知:l⊂α.4.C两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.5.C根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.6.BC由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.7.3当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.8.证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.9.证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.∴α∩β=PQ.又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.10.A由题意得EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M一定在直线AC上.11.D当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.12.ABC因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.13.(1)③(2)④(3)①(4)②根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,(1)A∉α,a⊂α:对应③;(2)α∩β=a,P∉α且P∉β:对应④;(3)a⊄α,a∩α=A:对应①;(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.14.必要不充分空间中的三条直线l,m,n不过同一个点,当l,m,n共面时,l,m,n不一定两两相交,也可