8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（教案）

第八章立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、教学目标1.通过展开棱柱、棱锥、棱台的侧面，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式．2.能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算并解决有关的组合体的表面积与体积．3.通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；2.掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．三、教学过程：（1）创设情景在初中我们已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？新知探究问题1:棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？小组合作，学生回答，教师点拨问题2:如何计算它们的表面积与体积？(提出本节课所学内容)新知建构棱柱、棱锥、棱台的表面积:棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．棱柱的体积公式：棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.棱锥的体积公式：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh.棱台的体积公式：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.（4）数学运用例1.已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则求该正四棱锥的表面积。【答案】【解析】如图所示，在正四棱锥中，取中点，连接，则为直角三角形，所以，所以表面积.变式训练1:已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为_________【答案】【解析】由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.变式训练2:若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..故选：C例2.如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

求正三棱锥的体积.【答案】.【解析】∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.∴正三棱锥的体积为.变式训练:如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则求四棱锥的体积.【答案】9【解析】连接，

∵正四棱柱的体积为27，

点E，F分别为棱上的点（异于端点），且，

，

，

∴四棱锥的体积．例3.如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.变式训练:(多选)如图，长方体的体积是120，E为的动点，则三棱锥E−BCD的体积可能为（）A.10B.30C.60D.20【答案】AD【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的动点，所以，()由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.20,故选:AD例4.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则求该组合体的表面积.【答案】20【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.变式训练:如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是_________立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.四、小结：棱柱、棱锥、棱台的表面积:棱柱的体积公式：棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.棱锥的体积公式：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh.棱台的体积公式：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h.A级必备知识基础练1.[探究点一]若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于()A.12 B.48 C.64 D.722.[探究点二]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是()A.16 B.13 C.13.[探究点一]一个正四棱锥的底面边长为2,高为3,则该正四棱锥的表面积为()A.8 B.12 C.16 D.204.[探究点二]正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3π B.43 C.3π5.[探究点二]棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于()A.6+2 B.3+22C.6+22 D.66.[探究点二]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.

7.[探究点三]已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.

8.[探究点二]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,则它的深度为cm.

B级关键能力提升练9.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何?”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺 B.3892立方尺C.7784立方尺 D.11676立方尺10.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=.

11.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则V1V212.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为.

13.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为22,那么玩具石凳的表面积为.

14.已知正四棱台的高是12cm,两底面边长之差为10cm,表面积为512cm2,则上、下底面边长分别为cm,体积为cm3.

15.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.16.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?C级学科素养创新练17.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为2033,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=参考答案1.D∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形,∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4,∴棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D.2.A三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=13×123.B由题意得侧面三角形底边上的高为(3)所以该四棱锥的表面积为22+4×12×2×2=124.B如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为2,故底面积为(2)2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为13×2×1=2故几何体的体积为2×235.C依题意,棱台的上底面面积S'=2,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知,棱台的体积是V=13(S'+S'S+S)h=13×(2+8+4)×3=6+226.10因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120,因为E为CC1的中点,所以CE=12CC1由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12AB·BC·CE=13×12AB·BC·17.90138该几何体的体积V=4×6×3+12×4×3×3=90,表面积S=2×(4×6+4×3+6×3)-3×3+12×4×3×2+32+428.75设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h.由V=13(S+SS'+S')h,得h=3V9.B如图所示,由题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得30-ℎ30=6×2220×22,解得h=21,可得正四棱台的体积为13×21×(62+20210.3∶4设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=13h(S+4S+2S)=73Sh,V1=Sh,∴11.14如图,设点C到平面PAB的距离为h,则点E到平面ABD的距离为12∵S△ABD=12S△PAB∴V112.1-372液体部分的体积为三棱锥体积的18,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的78.设空出的三棱锥的高为x,则x313=7813.83+24根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为8×12×22sin60°+6×22=83+2414.2,12688如图,点O,O1分别是下底面和上底面的中心,点E,E1分别是所在棱的中点,连接OO1,OE,O1E1,过点E1作E1F⊥OE,F是垂足.设OE=xcm,则下底面边长为2xcm,上底面边长为(2x-10)cm,故O1E1=(x-5)cm,则FE=5cm.又正四棱台的高是12cm,∴EE1=FE2+故正四棱台的表面积S=(2x)2+(2x-10)2+4×12(2x+2x-10)×13=8(x2+8x-20)=512(cm2),解得x=6cm,所以正四棱台下底面边长为12cm,上底面边长为2cm该正四棱台的体积V=13×12×(122+122×22+22)=4×(144+24+15.解因为EB=BF=FD1=D1E=a2+(a2)

2=52a,D连接EF,则△EFB≌△EFD1.易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等,故VA1-EBFD1=又因为S△EBA1=12EA1·AB=14a2,易知点F到底面EBA1的高是a,则VF-EBA1=13a·16.解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则A1B1AB=PO1PO,令A1B1=x,而于是OO1=h-PO1=h-ℎax=h1所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h1-xa=3ℎa当x=