8.6.2直线与平面垂直（提升练）解析版

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直(提升练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1.下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.A.4 B.2 C.3 D.1【答案】B【解析】易知①②是错误的,③④是正确的.故选:B.2．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（）A．平面 B．平面 C． D．【答案】B【解析】因为平面，平面，所以.若平面，则由平面，得.又与为相交直线，且平面，平面，则，∴四点共面，所以平面，所以.故选:B.3．在直三棱柱中，.以下能使的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为直三棱柱所以，又因为，所以因为，平面，所以平面，所以，那么，要证，故只需要证明平面，即证，因为直三棱柱的侧面都是长方形，当增加条件时，则可以得到，因为，，平面，所以平面，所以.故选:A.4．如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD),若M、O分别为线段A1C、DE的中点,则在△ADE翻折过程中,下列说法错误的有()A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B.异面直线BM与A1E所成的角是定值C.一定存在某个位置,使DE⊥MOD.三棱锥A1-ADE外接球的半径与AD的比为定值【答案】C【解析】取A1D的中点F,连接MF、EF,易知四边形BEFM是平行四边形,∴BM∥EF,又EF⊂平面A1DE,BM⊄平面A1DE,∴BM∥平面A1DE,∴与平面A1DE垂直的直线必与MB垂直,故A正确;易知∠A1EF为异面直线BM与A1E所成的角,为定值,故B正确;取DC的中点N,连接AN,A1O,NE,AA1,A1N,易知四边形ADNE为正方形,∴AN⊥DE,A1O⊥DE,A1O∩AN=O,∴DE⊥平面A1AN,∴过点O与DE垂直的直线一定在平面A1AN内,故C错误;易知O为三棱锥A1-ADE外接球的球心,∴三棱锥A1-ADE外接球的半径为AD,故D正确.故选:C.5.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是()A. B.C.D.【答案】A【解析】如图,连接AC,C1D,BC1,BD,由正方体性质知,AC⊥BD,BD⊥AA1,因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面A1AC,所以BD⊥A1C,同理C1D⊥A1C,因为C1D∩BD=D,所以A1C⊥平面BDC1,若BP⊥A1C,则动点P的轨迹为线段C1D.由正方体的棱长为1,可得点C到线段C1D的距离d=,则PC∈[d,CC1]=.故选:A.二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是()A．BC1//平面AQPB．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C．A1D⊥平面AQPD．异面直线QP与A1C1所成的角为60°【答案】ABD【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，所以PQ//BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1//平面APQ，故选项A正确.对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1//PQ，D1Q=AP，所以平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故选项B正确.对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D⊥平面AQP是错误的，故选项C错误.对于选项D：PQ//BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B=60°，即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，故选项D正确.故选:ABD.7．在正四棱锥S-ABCD中,E、M、N分别是BC、CD、SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论,不一定成立的为()EP⊥ACB.EP∥BDC.EP∥平面SBDD.EP⊥平面SAC.【答案】BD【解析】对于A,设AC∩BD=O,连接SO,易知SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC.又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,SO⊂平面SBD,BD⊂平面SBD,∴AC⊥平面SBD.连接EN,EM,∵E、M、N分别为BC、CD、SC的中点,∴EN∥SB,MN∥SD,∵NM⊄平面SBD,SD⊂平面SBD,∴MN∥平面SBD,同理EN∥平面SBD,又MN∩EN=N,∴平面EMN∥平面SBD,∴AC⊥平面EMN,又EP⊂平面EMN,∴EP⊥AC,A成立.对于B,当且仅当P与M重合时,EP∥BD,B不一定成立.对于C,由①知平面EMN∥平面SBD,又EP⊂平面EMN,∴EP∥平面SBD,C成立.对于D,当且仅当P与M重合时,才有EP⊥平面SAC,D不一定成立.故选:BD.8.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（）A．B．平面C．A到直线MN的距离为D．过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为【答案】ACD【解析】正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，A正确，B错误；设与分别交于点，则，，由M，N分别为棱，的中点，知是中点，，C正确；正方体外接球球心是正方体对角线交点，由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为，，，，，截面圆半径为，则，面积为，D正确．故选：ACD．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．如图，在四面体中，平面，，若，则_____________【答案】【解析】因为，，所以，又平面，平面，所以；因此.故答案为：10．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC､CC1的中点，是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P平面AEF，点P的轨迹长度为___________.直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是___________.【答案】【解析】（1）如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又平面平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，当在中点时，，此时最短，位于处时最长，，，所以线段长度的取值范围是.（2）平面，设直线A1P与平面BCC1B1所成角为，,，由（1）可知点在线段上，的最小值是,的最大值是,的最小值是，的最大值是,直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是.故答案为：；11．在棱长为的正四面体中，点，分别为直线，上的动点，点为中点，为正四面体中心（满足），若，则长度为_____________【答案】【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则，为正方体的中心，设分别是的中点，则是的中点，，连接，设的中点为，连接，因为是的中位线，所以，同理，因为，所以，所以，即，则，所以，因为，所以，因为，,，所以平面，所以，在中，故答案为：四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在四棱锥中，平面ABCD，，，，.（1）求证：平面PAD；（2）若E是PC的中点，求直线BE与平面PAD所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】（1）证明：取的中点，连接，如图，则//，∴四边形是平行四边形，∴.又∵，，，∴，又∵，∴，又平面，∴，∵平面，，∴平面.（2）取的中点，靠近点的四等分点，连接，，，如图所示，∵//////，∴四边形是平行四边形，∴，∴直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.∵平面，∴即为直线与平面所成的角.在中，，，∴，即直线与平面所成角的正切值为13．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,∴B1C⊥BO.∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO,∵AO∩BO=O,∴B1C⊥平面BAO,又AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H.∵AO⊥平面BB1C1C,∴BC⊥AO,又BC⊥OD,AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,又OH⊥AD,AD∩BC=D,∴OH⊥平面ABC.∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形,易得OD=,∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=.由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.又O为B1C的中点,∴点B1到平面ABC的距离为.∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为.14．如图所示，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，．（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意知△ABC为等腰直角三角形，而F为BC的中点，所以AF⊥BC．又因为平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，所以DC⊥平面ABC．而AF⊂平面ABC，所以AF⊥DC．而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．连结PF，则PF∥DC，PF=DC，而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，所以AFPE是平行四边形，因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．（2）因为EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱锥E﹣BDF的高．所以EP=AF=BC==．故三棱锥E﹣BDF的体积为V=．A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交2.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD13.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)

5.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.

6.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

7.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,求点P到平面CEF的距离8.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.9.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°11.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是()A.EF与AD所成角的正切值为3B.EF与AD所成角的正切值为2C.AB与面ACD所成角的余弦值为7D.AB与面ACD所成角的余弦值为712.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.27 B.7C.19 D.513.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则()A.在折起的过程中始终有AD⊥平面BDC'B.三棱锥A-DC'C的体积的最大值为3C.当∠C'DC=60°时,点A到C'C的距离为15D.当∠C'DC=90°时,点C到平面ADC'的距离为114.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是22;④AD1与BD为异面直线其中正确结论的序号是.

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.C级学科素养创新练17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是.

①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱锥B-CFE的体积为定值.18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥平面PAB;(3)设AB=2BC=2,求三棱锥P-AEF的体积.参考答案1.C取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.D对于A,如图,连接BD,AD1,A1D.在正方形ABCD中,∵M为AC的中点,∴AC∩BD=M,即M也为BD的中点.在△A1BD中,∵M,N分别为BD,A1B的中点,∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;对于B,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又MN∥A1D,∴AB⊥MN,故B正确;对于C,∵MN∥A1D,CC1∥D1D,∴MN与CC1所成角为∠A1DD1=45°,故C正确;对于D,连接B1C,B1D1,D1C,AD1,CD1.∵B1C=CD1=B1D1,∴∠B1CD1=60°.∵B1C∥A1D,∴A1D与CD1不垂直,即MN与CD1不垂直,则MN不垂直于平面ACD1,故D错误.故选D.3.C如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PAAC=62=4.垂直∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.5.1510如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=32在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'6.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.7.(1)证明因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为PA=AD=2,所以PD=PA2+A因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,所以h=PD·68.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.又因为BP=AP2+ABF是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.9.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=AD即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为6410.ABC由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.11.BC设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=EGFG=132=2过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.由题得BF=3,AF=22,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×22=141212.A如图所示,连接CM.因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知BC=43,故CM的最小值为23,又PC=4,则PM的最小值为42+(213.ABCD因为AD⊥BD,AD⊥DC',且BD∩DC'=D,BD,DC'⊂平面BDC',所以AD⊥平面BDC',故A正确;当DC'⊥DC时,△DC'C的面积最大,此时三棱锥A-DC'C的体积也最大,最大值为13×32×当∠C'DC=60°时,△DC'C是等边三角形.设C'C的中点为E,连接AE,DE,因为AC=AC',所以AE⊥C'C,即AE的长度为点A到C'C的距离,AE=(32)

2当∠C'DC=90°时,CD⊥DC',CD⊥AD,故CD⊥平面ADC',则CD的长度就是点C到平面ADC'的距离,则CD=12,故D正确14.②③④①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=C1CAC=2④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.15.(1)证明因为AC=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=3,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=AE所以△ABE的面积为12×2×2因为VA所以13×S△ABE×h=13×所以13×2×h=13×12所以点A1到平面ABE的距离为2.16.证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=12CD,NQ∥∵M是AB的中点,∴AM=12AB=1又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂