《旅游统计学》-第九章　参数估计

一、点估计在参数的点估计中，主要方法有代替法和极大似然估计法两种。而代替法又可分为频率代替法和矩估计法。（一）代替法１.频率代替法如果一个随机实验有ｋ种可能的结果，当进行了ｎ次实验时，各种结果发生的频数分别为ｎ１，ｎ２，…，ｎｋ，其中，ｎ１＋ｎ２＋…＋ｎｋ＝ｎ。我们可以用观察到的频率ｎｉ／ｎ作为总体比率Ｐ的估计值，这一估计方法称为频率代替法。该法主要用于处理离散数据，尤其是名义级数据和序次级数据。通常用的“成数”就是处理这两种测度数据的频率方法。下一页返回一、点估计２.矩估计法对总体而言，矩的一般形式是：Ｅ（Ｘｋ）表示以原点为中心的ｋ阶原点矩。Ｅ（Ｘ－μ）ｋ表示以μ为中心的ｋ阶中心矩。当ｋ＝１时，Ｅ（Ｘ）＝μ，是总体的一阶原点矩。当ｋ＝２时，Ｅ（Ｘ－μ）２＝σ２，是总体的二阶中心矩。（二）极大似然估计（简记ＭＬＥ）如果总体Ｘ为离散型随机变量，设随机样本Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ同时出现的概率为Ｌ，那么Ｌ＝Ｐ（Ｘ１＝ｘ１，Ｘ２＝ｘ２，…，Ｘｎ＝ｘｎ，θ）上一页下一页返回一、点估计当Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ相互独立时：如果总体Ｘ为连续型随机变量，概率密度函数为ｆ（ｘ，θ），设随机样本Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ的联合密度函数为Ｌ，那么：上一页下一页返回一、点估计（三）点估计优劣的评价标准对于同样一组样本值，用不同方法，可以得出不同的总体参数估计值。这就需要一个判断参数估计值好坏的标准。判断点估计优劣的标准就是判断总体参数估计量优劣的标准。１.无偏估计量若Ｅ（θ＾）＝θ，则称θ＾为θ的无偏估计量。可以证明，样本均值量Ｘ与极大似然估计量μ＾是总体均值量μ的无偏估计量。样本方差量ｓ２是总体方差量σ２的无偏估计量，而极大似然估计量σ＾２不是总体方差量σ２的无偏估计量。上一页下一页返回一、点估计２.最小方差性若总体参数θ的估计量θ＾的方差Ｖａｒ（θ＾）小于等于其他所有θ的估计量θ～的方差Ｖａｒ（θ～），即Ｖａｒ（θ＾）≤Ｖａｒ（θ～）总成立，则θ的估计量θ＾具有最小方差性。３.有效估计量如果总体参数θ的估计量θ＾同时满足：（１）Ｅ（θ＾）＝θ；（２）Ｖａｒ（θ＾）≤Ｖａｒ（θ～），则称这个估计量θ＾是总体参数θ的有效估计量。上一页返回二、区间估计前面介绍的参数点估计方法是用一个确定的值来估计未知的参数，看起来似乎很精确，实际上可能有很大误差。因为估计量是来自一个随机抽取的样本，总是带有偶然性，样本估计量θ＾刚好等于θ的可能性极小。但若说θ在θ＾附近，即估计θ在某一个小区间内，可能就容易得多。这种估计参数在某一区间内的方法称为区间估计。１.总体均值的区间估计（１）σ２已知时。在对总体均值μ的估计中，最简单的情况是总体为正态分布，且方差σ２已知（如例９－３），此时样本均值ｘ服从Ｎ（θ，σ２／ｎ）分布，则统计量下一页返回二、区间估计当给定显著性水平α时，有：从而推出：所以在１－α置信度下，μ的置信区间为：上一页下一页返回二、区间估计（２）σ２未知时。若总体Ｘ服从Ｎ（μ，σ２）分布，其中μ与σ２均未知，现抽取ｎ个样本Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ，Ｓ为样本方差，由概率统计知识可知：所以有：即：上一页下一页返回二、区间估计２.总体方差的区间估计由于服从χ２（ｎ－１）分布，所以有：即：上一页下一页返回二、区间估计３.两总体均值之差的区间估计对两个总体均值之差进行区间估计时，根据总体和样本的不同，所用的统计量也是不同的。４.两个总体方差比的区间估计由于服从Ｆ（ｎ１－１，ｎ２－１）分布，所以在１－α置信度下，σ２１／σ２２

的置信区间为：上一页下一页返回二、区间估计５.两个总体比例之差的区间估计设两个总体比例分别为ｐ１和ｐ２，为了估计ｐ１－ｐ２，分别从两个总体中各随机抽取容量为ｎ１和ｎ２的两个随机样本，并计算两个样本的比例，则上一页返回三、用样本均值推断总体均值的样本容量问题用样本均值ｘ推断总体均值μ，样本容量应有多大才能保证误差不超过设定值δ？一般情况下，我们是不知道总体方差σ２的，因此，如果总体Ｘ服从Ｎ（０，１）分布，在显著性水平为α时，用样本均值推断总体均值一般应用下式：也即：下一页返回三、用样本均值推断总体均值的样本容量问题取等号时：解方程可得：这说明按照上式计算出来的样本容量ｎ进行随机抽样，所得到的样本均值与总体均值的误差不超过δ的概率为１－α。由于当样本容量ｎ较大时，ｔ分布近似于标准正态分布Ｎ（０，１），所以ｎ的计算公式可以写成：上一页返回四、ＳＰＳＳ在参数估计中的应用（一）总体均值μ与方差σ２的点估计应用ＳＰＳＳ对总体均值和方差进行点估计，实际上就是求样本均值与方差的过程，只不过这里把样本均值与方差看成总体均值与方差的估计值罢了。１.用频次分析模块计算读入数据后：（１）单击Ａｎａｌｙｚｅ®ＤｅｓｃｒｉｐｔｉｖｅＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ®Ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ，系统弹出如图９－１所示的频次分析模块对话框。在频次分析模块主窗口中，用向右的箭头把年旅游支出变量送入右框。（２）单击“Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ”按钮，系统弹出如图９－２所示的频次分析模块统计对话框。下一页返回四、ＳＰＳＳ在参数估计中的应用（３）在频次分析模块统计对话框中，选择左下角的标准差（Ｓｔｄ.ｄｅｖｉａｔｉｏｎ）、方差（Ｖａ⁃ｒｉａｎｃｅ）和右上角的均值（Ｍｅａｎ）等统计量。（４）单击“Ｃｏｎｔｉｎｕｅ”按钮，返回频次分析模块对话框。（５）单击“ＯＫ”，系统输出结果，如表９－１所示。２.用描述统计模块计算读入数据后：（１）单击Ａｎａｌｙｚｅ®ＤｅｓｃｒｉｐｔｉｖｅＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ®Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｖｅｓ，系统弹出如图９－３所示的描述统计对话框。在此对话框中选择年旅游支出变量，用向右的箭头送入右框。上一页下一页返回四、ＳＰＳＳ在参数估计中的应用（２）单击右上角的“Ｏｐｔｉｏｎｓ”按钮，系统弹出如图９－４所示的统计量输出选择对话框。在此对话框中，选择左列的均值（Ｍｅａｎ）、标准差（Ｓｔｄ.ｄｅｖｉａｔｉｏｎ）与方差（Ｖａｒｉａｎｃｅ）等统计量。（３）单击“Ｃｏｎｔｉｎｕｅ”，返回描述统计模块的对话框后，单击“ＯＫ”，系统输出如表９－２所示的结果。（二）总体均值的置信区间计算读入数据后：（１）单击Ａｎａｌｙｚｅ®ＤｅｓｃｒｉｐｔｉｖｅＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ®Ｅｘｐｌｏｒｅ。系统弹出如图９－５所示的探索分析对话框。在此对话框中，用向右的箭头把满意度变量送入因变量框（ＤｅｐｅｎｄｅｎｔＬｉｓｔ）中。对话框左下角的“Ｄｉｓｐｌａｙ”区域的默认值是同时输出统计量和图形。可以接受它，也可以改变它。这里只要求输出统计量。上一页下一页返回四、ＳＰＳＳ在参数估计中的应用（２）单击“Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ”按钮，系统弹出如图９－６所示的探索性分析统计选择对话框。对话框中系统的默认值是输出均值的９５％的置信区间，我们可以接受它，也可以把它改变成９９％的置信区间或其他百分点的置信区间。（３）单击“Ｃｏｎｔｉｎｕｅ”按钮，返回探索分析对话框后，单击“ＯＫ”按钮，系统输出如表９－３所示的结果。（三）从ｘ查ｐ＝Ｐ（Ｘ≤ｘ）与从ｐ＝Ｐ（Ｘ≤ｘ）查ｘ为了避免查表，有时我们需要根据随机变量的边界值，计算出相应的概率值，也有时反过来，需要从概率值，计算出随机变量的值。ＳＰＳＳ中提供了专门的模块供这种计算过程使用。上一页下一页返回四、ＳＰＳＳ在参数估计中的应用读入数据后，在数据窗口中：（１）单击Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ®ＣｏｍｐｕｔｅＶａｒｉａｂｌｅ，系统弹出如图９－７所示的变量计算对话框。（２）在此对话框的右边有一个函数组框（Ｆｕｎｃｔｉｏｎｇｒｏｕｐ），从这个框中选择所需要的函数组，从选出的函数组中选出所需要的函数