23.3 一次函数与方程、不等式 教学课件

第二十三章一次函数

人教版2026·八年级下册23.3一次函数与方程、不等式1.理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系.(重点)2.能初步运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过函数图象求方程（组）的解、不等式的解集，利用一次函数图象的性质，解决实

际问题.(难点)3.掌握用图象求解方程（组）、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用.(难点)素养目标

今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.二元一次方程一次函数到我这里来到我这里来x+y=5这是怎么回事？

x+y=5应该坐在哪里呢？情境导入思考：如图，一次函数

y=

2x-1的图象与

x

轴交点的横坐标是0.5.当自变量

x

的值为0.5时，函数值是多少？-1-0.50.50.5

y=

2x-1一次函数

y=

2x-1的图象与轴交点的横坐标为

0.5，纵坐标为0.这表明当自变量

x

的值为0.5时，函数值是

0.新知探究由此可以得出一元一次方程

2x-1

=0

的解吗?-1-0.50.50.5

y=

2x-1从函数图象看：求一次函数

y=

2x-1与

x轴交点的横坐标.从函数值看：当

y=0

时，求

x的值.

x=0.5.x轴交点的横坐标为

0.5.新知探究求一元一次方程

kx+b=0的解

我们知道任何一元一次方程都可以转化

kx+b=0

的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗?一次函数

y=

kx+b中，y=0时

x的值

从“函数值”看求一元一次方程

kx+b=0的解求直线

y=

kx+b与

x轴交点的横坐标

从“函数图象”看归纳总结-100-10501.直线

y＝2x+20与

x轴交点坐标为(

，

)，这说明方程2x＋20＝0的解是

x＝_____.2.若方程

kx＋2＝0的解是

x＝5，则直线

y＝kx＋2与

x轴交点坐标为(____，_____).跟踪训练思考：如图，利用一次函数

y=

2x-1的图象，你能得出函数值大于0时

x

的取值范围吗？函数值小于0时呢？-1-0.50.50.5

y=

2x-1函数值大于

0

时，x

的取值范围是

x＞0.5；函数值小于

0

时，x

的取值范围是

x＜0.5.新知探究思考：由此，你能分别得出一元一次不等式

2x-1＞0与

2x-1＜0

的解集吗?从函数图象看：确定直线

y=

2x-1在

x

轴上方(或下方)的图象所对应的

x

取值范围从函数值看：当

y=

2x-1的值大于(或小于)0时，求

x的取值范围.-1-0.50.50.5

y=

2x-1

2x-1＞0，则

x＞0.5

2x-1＜0，则

x＜0.5新知探究求

kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围从“函数值”看求kx+b＞0(或＜0)(k≠0)的解集

确定直线y=kx+b在

x轴上方(或下方)的图象所对应的

x取值范围

从“函数图象”看一次函数与一元一次不等式的关系归纳总结例1

画出函数

y=-3x+6

的图象，结合图象求：解：作出函数

y=-3x+6

的图象，如图所示，图象与

x轴交于点

B(2，0).xOB(2,0)A(0,6)y(1)不等式

-3x+6>0和

-3x+6<0的解集；(2)当

x

取何值时，y<3?新知探究解：(1)由图象可知，不等式-3x+6>0的解集是图象位于

x轴上方的

x的取值范围，即

x<2；不等式

-3x+6<0

的解集是图象位于

x轴下方的

x的取值范围，即

x>2；xOB(2,0)A(0,6)31 (1,3)y(2)由图象可知，当

x>1

时，y<3.(1)不等式

-3x+6>0和

-3x+6<0的解集；(2)当

x

取何值时，y<3?新知探究3.已知一次函数

y=kx+b的图象如图所示.(1)关于

x的方程

kx+b=9的解为

；(2)关于

x的不等式

kx+b<9的解集为

.x=-6x>-6跟踪训练思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？一次函数二元一次方程二元一次方程y=

2x-1用函数观点看从式子（数）角度看：

一次函数

y=

2x-1二元一次方程2x-

y

=

1用方程观点看有相同的解新知探究y=

2x-1对应一次函数

y=

2x-1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是方程

2x-

y

=

1的解，以方程

2x-

y

=

1的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.一次函数y=

2x-1直线y=

2x-1二元一次方程

2x-

y

=

1点的坐标满足函数解析式满足函数解析式的数对为坐标画点用函数观点看用方程观点看新知探究思考：对于二元一次方程组

你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？2x－y＝l，3x＋5y＝8，分析：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数

y＝2x－l与

方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标，因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.

新知探究观察

在坐标系中分别画出两条直线

y＝2x－l

和.1.它们的交点坐标_____________.2.方程组

的解是____________.这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.

(1，1)

2x－y＝1，3x＋5y＝8y＝2x－l

新知探究“数”的角度“形”的角度两个一次函数

y=k1x+b1

(k1≠0)，y=k2x+b2(k2≠0)

的自变量

x，y

的一组相同的值⇔二元一次方程组的解直线

y=k1x+b1(k1≠0)，y=k2x+b2(k2≠0)的交点坐标(m，n)⇔二元一次方程组

的解为

x=m，y=n一次函数与二元一次方程组的关系新知探究例

同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升．两个气球都上升了1min．(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度

y(单位：m)与气球上升时间

x(单位：s)的函数解析式．(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？h1h2新知探究P129解：(1)气球上升时间

x

满足0≤x≤60.(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度

y(单位：m)与气球上升时间

x(单位：s)的函数解析式．对于2号气球，y关于

x

的函数解析式为

y=0.5x+15.对于1号气球，y关于

x

的函数解析式为

y=x+5.新知探究h1h2(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？(2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于

x的某个值(0≤x≤60)，函数

y=x+5

和

y=0.5x+15有相同的值

y.由此可以列二元一次方程组y=x+5，

y=0.5x+15解这个方程组，得x=20，

y=25.这就是说，当气球上升

20s

时，两个气球都距离地面25m.新知探究(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.o51015202530y5101520A(20,25)y=0.5x+15y=x+5x新知探究观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1号气球比2号气球高？（2）在什么时候，2号气球比1号气球高？气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15（1）20s后，1号气球比2号气球高.（2）0~20s时，2号气球比1号气球高.新知探究例2

如图，求直线

l1与

l2

的交点坐标.分析：由函数图象可以求直线

l1与

l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.新知探究解方程组y=2x+2，y=-

x+3，解：因为直线

l1过点(-1，0)，(0，2)，用待定系数法可求得直线

l1的解析式为

y=2x+2.同理可求得直线

l2的解析式为

y=-

x+3.即直线

l1与

l2

的交点坐标为新知探究例3

如图，函数

y＝－x－1和

y＝ax＋4的图象相交于点

P(m，－3).(1)求

m，a的值；解：把

P(m，－3)代入

y＝－x－1得，－m－1＝－3，解得

m＝2，∴点

P

的坐标为(2，－3)，∵函数

у＝ax＋4的图象经过点

P，∴2a＋4＝－3.解得

xOyPAB

y＝－x－1y＝ax＋4新知探究(2)根据图象，直接写出不等式

－x－1＞ax＋4的解集.由图象得，不等式

－x－1＞ax＋4的解集为

x＞2.xOyAB

y＝－x－1y＝ax＋4P(2，－3)新知探究4.如图，根据图中信息解答下列问题:(1)关于

x

的不等式

ax+b>0的解集是

；(2)关于

x

的不等式

mx+n<1

的解集是

；(3)当

x

为何值时，y1≤y2?(4)当

x

为何值时，0＜y2＜y1?解:(3)x≤1.(4)1＜x＜2.x＜2x＜0新知探究一次函数与方程、不等式解一元一次方程

对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与________的横坐标解一元一次不等式

对应一次函数的函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围，即在_________