卡尔曼滤波器介绍

10.6卡尔曼滤波器简介

本节探讨如何从带噪声的测显数据把有用信号提取出来的问题。通常，信号的频

谱处于有限的频率范隹内，而噪声的频谱则散布在很广的频率范围内。如前所述，为

了消退噪声，可以把FIR滤波器或IIR滤波器设计成合适的频带滤波器，进行频域滤

波。但在很多应用场合，须要进行时域滤波，从带噪声的信号中提取有用信号。虽然

这样的过程其实也算是对信号的滤波，但所依据的理论，即针对随机信号的估计理论,

是自成体系的。人们对随机信号干扰下的有用信号不能“确知”，只能“估计”。为了

“估计”，要事先确定其种准则以评定估计的好坏程度.最小均方误差是一种常用的比

较简洁的经典准则。典型的线性估计器是离散时间维纳滤波器及卡尔曼滤波器。

对于平稳时间序列的最小均方误差估计的第一个明确解是维纳在1942年2月首先

给出的。当时美国的一个斗争探讨团体发表了一个隐私文件，其中就包括维纳关于滤

波问题的探讨工作。这项探讨是用于防空火力限制系统的。维纳滤波器是基于最小均

方误差准则的估计器。为了寻求维纳滤波器的冲激响应，须要求解闻名的维纳-霍夫方

程。这种滤波理论所追求的是使均方误差最小的系统最佳冲激响应的明确表达式。这

及卡尔曼滤波(Kalmanfiltering)是很不相同的。卡尔曼滤波所追求的则是使均方误差

最小的递推算法，

在维纳进行滤波理论探讨并导出维纳-霍夫方程的十年以前，在1931年，维纳和

霍夫在数学上就已经得到了这个方程的解。

对于维纳-霍夫方程的探讨，20世纪五十年头涌现「大量文章，特殊是将维纳滤波

推广到非平稳过程的文章甚多，但好用结果却很少。这时正处于卡尔曼滤波问世的前

夜。

维纳滤波的困难问题，首先在上世纪五十年头中期确定卫星轨道的问题上遇到了。

1958年斯韦尔林(Swerling)首先提出了处理这个问题的递推算法，并且马上被承认和

应用。1960年卡尔曼进行了比斯韦尔林更有意义的工作。他严格地把状态变量的概念

引入到最小均方误差估计中来，建立了卡尔曼滤波理论。空间时代的到来推动了这种

滤波理论的发展。

维纳滤波及卡尔曼滤波所探讨的都是基于最小均方误差涯则的估计问题。

维纳滤波理论的不足之处是明显的。在运用的过程中，它必需把用到的全部数据

存储起来，而且每一时刻都要通过对这些数据的运算才能得到所须要的各种量的估值。

依据这种滤波方法设置的专用计算机的存储量及计算量必定很大，很难进行实时处理。

虽经很多科技工作者的努力，在解决非平稳过程的滤波问题时，给出能用的方法为数

甚少。到五十年头中期，随着空间技术的发展，这种方法越来越不能满意实际应用的

须要，面临了新的挑战。尽管如此，维纳滤波理论在滤波理论中的开拓工作是不容置

疑的，维纳在方法论上的创见，仍旧影响着后人。

五十年头中期，空间技术飞速发展，要求对卫星轨道进行精确的测量。为此，人

们将滤波问题以微分方程表示，提出了一系列适应空间技术应用的精练算法。I960年

和1961年，卡尔曼(R.E.Kalman)和布西(R.S.Bucy)提出了递推滤波算法，胜利地将

状态变量法引入到滤波理论中来，用消息及干扰的状态空间模型代替了通常用来描述

它们的协方差函数，将状态空间描述及离散时间更新连系起来，适「计算机干脆进行

运算，而不是去寻求滤波器冲激响应的明确公式。这种方法得出的是表征状态估计值

及其均方误差的微分方程，给出的是递推算法。这就是闻名的卡尔曼理论，或称卡尔

曼■■布西滤波。

从维纳-霍夫方程来看，维纳滤波算法是特别低效的。这种算法要求设置大量存储

器保存过去的测量数据，新的一个数据来到后，要进行刷新，重新计算自相关和相互

关序列。再者，求解这个方程须要耗费大量机时对高阶矩阵求逆。因此，维纳滤波算

法难以用于实时处理中，尤其是无法用于军事、航空航天等领域。

在维纳滤波中，必需首先求解维纳-霍夫方程，得到有限长度的冲激响应序列，在

这个意义上，维纳谑波器属于FIR滤波器的范畴

卡尔曼滤波不要求保存过去的测量数据，当新的数据到来时，依据新的数据和前

一时刻的诸量的估值，借助于系统本身的状态转移方程，依据一套递推公式，即可算

出新的诸量的估值。这一点说明卡尔曼滤波船属于IIR滤波器范畴。这就是说，及维

纳滤波器不同，卡尔曼滤波器能够利用从前的运算结果，再从当前数据供应的最新信

息，即可得到当前的估值。卡尔曼递推算法大大削减了滤波装置的存储量和计算量，

并且突破了平稳随机过程的限制，使卡尔曼滤波器适用于对时变信号的实时处理。S

此，卡尔曼滤波器在应用上有更加广泛的可能性和更加美妙的前景。

请读者回顾第2章的两个例子，即例2.5.1和例265o这两个例子有助于理解维

纳滤波和卡尔曼滤波的主要区分。例2.5.1用F1R滤波器实现5点滤波。这有点像维纳

滤波。例2.5.2则用HR滤波器实现同样的功能，而且滤波效果还稍好。在这个例子中，

利用前一个时刻的滤波输出，再添上当前的输入(新息)，即可递归地求出当前的滤波

输出。这有点像卡尔曼滤波。

为了导出维纳滤波器和卡尔曼滤波器，以下各小节先介绍两种估计器：非递归估

计器和递归估计器。然后依次介绍标量维纳滤波、向量维纳滤波、标量卡尔曼滤波和

向量卡尔曼滤波。重点是对标量卡尔曼滤波算法的推导。整个过程不涉及繁琐的数学

推导。

10.7非递归估计器

设x表示慢变更(相对于叠加于其上的噪声)的时变信号，信号的测量值y(i)及

R成线性关系，并加上均值为零而方差为的白色噪声成分u(i)。这个噪声成分源

自测量或其他缘由引起的随机误差。这样就有

y(i)=x+v(z)

(10.7.1)

这里把信号看作是均值为ETy(i)]=x,方差为b；的随机变量。人们能够测到的信

号是)；(i)。由于噪声的存在，人们只能够估计x值，而恒久无法干脆测到有用信号X。

y(i)的平均值£=£I.y(01是一个最好的估值。假如用如下的N阶FIR滤波器对信

号y⑺进行滤波，

(10.7.2A)

式中，y(l),y(2),…,y(N)是N个数据。则滤波值土可以被作为工的估计值。由

于欣i)的均值为零，故随着平均次数N的增大，士中的随机噪声成分趋于零。若

h(l)=h(2)=…h(N)=1,则

1N-\]NT

夕=不£丫(。=RNx+Zv(i)]kx

Vi=()i=0

(10.7.3)

所以，FIR滤波器可以作为一个估计器(estimator)。随着平均次数N的增大，估计值

无限地接近真值。这样的估计称为无偏估计(unbiasedestimation),

估计器的均方误差为

]N—lN-\

Pe=4石[Xx+Z?(,)]-X}2

Nf=0i=0

(10.7.4)

由此可见，经滤波后，估计量的方差是原信号方差除以N。增大N值可以提高估计

器质量。但N值不能过大，因为估计器本质上是一人低通滤波器，N值增大时，有

用信号的细微环节(高频重量)也将被滤除了。

上述估计器只是笥洁地进行求和-平均运算，所依据的准则是使平均误差最小，

而不是均方误差最小。103节己导出基于LME准则的最佳系统方程，即W-H方程

(10.3.6)。基于这个方程，曾导出10.5节的维纳滤波器。以这个滤波器作为估计器，

就得到均方误差最小的非递归估计器。在目前的场合，输入信号已按式(1071)定义

为Mi)=x+u(i),即变量y代表输入信号，而X贝!代表期望信号。所以，在对非递

归估计器进行分析前，应将式(1036)修改为下式：

N-1

ZKk)ryy(/—&)=、,(/),I=0,1,…,N-1

k=0

(10.7.5A)

相应的矩阵方程为：

■小0)今⑴…小N-1)--僦0)-■%(o)

',⑴'(0)…小,(N—2)MD分⑴

—

••••*•

•••••*•*

—/.(N—2)务(0)_一%，3-1)

(10.7.6)

这里，假定信号是平稳过程，故自相关矩阵是对称的。

应当记住，被估计量是式(10.7.1A)中的工，而估计量土则由式(1072)算出。

估计误差为

N

l

e=x-x=x-YJKi)y(i)

i=\

(10.7.7)

方差为

Pe=仇〃]

(10.7.8)

在按LME准则导出W-H方程时，曾令

加N

T7-7；=-2£Ix-Z何)y(，)]y(/)=o

加./)Zi

/=(10.7.9)

由此得

E\ey(j)]=0j=\2,…，N

(10.7.10)

式中，e=是估计误差。在估计理论中，把E[ey(/)]=O称为正交原理。它

的意思是：误差e=%一戈及被测采样值y")的乘积在期望(即平均值)意义上等于

零。

依据这个式子，由

N

Pe=£[/]=-Z〃(i)y(，)]}=E(ex)

i=\

得到对应于上述最优解的最小均方误差。因此有

N

2

pe=E(x)-YKi)E[xy(i)]

i=\

或

N

Pe=£1(』)一Z力⑺为⑴

i=\

(10.7.11)

其中，是相互关函数

彷⑺=E[xy(i)]

(10.7.12A)

这样，用方程组(10.7.5A)、估计方程(10.7.2A)以及由式(10.7.11)给出的最小均方误差

就得到了估计问题的完整解。

这三个式子的矩阵形式为

rh=r

yyxy

(10.7.5B)

式中，l%v是(MxM)自相关矩阵，11和1'v是(〃xl)列向量。

JJJ

方程(10.7.5B)的形式解为

h=ryy，rxy

(10.7.13)

估计方程可写为

(10.7.2B)

这里「yy和y是(Mxl)列向量，hT是行向量。把式(10.7.13)代入式(10.7.2B),由于

矩阵I\.v是对称的，故X的估计为

JJ

八T-1

)

x=rxyryyy(10.7.14

用同样的方法可以得到最小均方误差为

〜2、T-1

)

pe=E(x)-rxyryyrxy(10.7.15

上面分析了基于维纳滤波器的标量估计器。应当指出，在推导中还没有运用关系

式(10.7.1),即y(Z)=x+u(Q。因此所得结论更具有一般性。这个结论说明，假如

数据采样值)*)(1=1,2,…,M)以某种形式包含了随机未知变量x(即信号)，那末,

用维纳滤波器可在采样值上实现最佳线性滤波，给出x的估计。

现在假设)，(％)=x+u(Z),就这种特殊状况对非递归估计器进行分析。这里

y(A)是加在信号x上的白色噪声。假设其均值为零，噪声样点之间不相关，即方差为

0j^k

Elv(j)v(k)]=\

/j=k

(10.7.16)

噪声及信号之间也不相关，故E[xu(/)]=0。此外，为了简化探讨，设石(x)=0,

因此有E(x2)=或o

现在我们视察式(10.7.5A)的自相关函数和相互关函数。•般来说，自相关函数

为

=E[y(i)y(j)]=E{[x+v(z)Jlx+v(j)J)

=O--

(10.7.17)

其中，。(，,力是克罗内克(Kronecker)符号，其定义为

i±j

必,/)=(0

・♦

1=J

对于平稳随机过程，由于自相关函数只取决于位移肯定值，即Cg(i,J)=Gy(AA)，

故自相关函数变为单变量函数rxy(k)o

另一方面，相互关函数为

%,(j)=E[xy(j)]=E(x2)=蟾

(10.7.18)

将式(10.7.17)和式(10.7.18)代入式(10.7.5A),并假定信号是平稳随机过程,得

(b；+b；)/i(l)+cr"(2)+…+cr"(N)=aj

b](l)+(bg+0；)近2)+…+=b；

+b，2(2)+…+(0j+o：)〃(N)=。；

或

N

2

z

或〃⑴+X

/=1

N

22

力

2、

b—+bz

V，X

/=1

N

cr"(N)+b£Z/2(i)r；

/=1.

(10.7.19)

将方程组两边分别相加，得

N

(o*No之①h(i)=Nb?

i=\

于是有

把这个结果代入式(10.7.19)的各式中得

Na2

A(l)=h(2)=•••=h(N)=----"

No；+b；

(10.7.20A)

设y=则

〃(1)=力(2)=…=/?(N)=-^―

N+y

(10.7.20B)

把这个结果代入式(1C.7.2A),可得

(10.7.21)

利用式(10711)和式(10.7.20)就能得到对应的最小均方误差，即

(10.7.22)

10.8递归估计器

上节论述的非递归估计器和维纳滤波器一样，是很难实现的，主要缘由是：

•对于时变系统，冲激响应及冲激出现时间有关。每计算一个估值，都必需重

新计算冲激响应。为此，

不得不耗费大量机时求自相关矩阵之逆，重新解W-H方程。

•须要用大量存储器存放自相关矩阵和相互关向量。对于时变系统，这些统计

量还须要不断刷新。

•必需事先确定处理过程的数据采样值的数目M。

•若由于某种缘由变更了M(例如须要得到更多的数据)，那末全部计算都

必需重新进行。

再者，非递归估计属于批处理(batchprocessing)方式。其特点是为了处理好一

个数据，须要输入当前时

刻的数据和此前若干个数据，明显，这是低效的。状况变更时，须要停下来重新计箕。

还有一个问题，即：系统如何获知状况已发生变更？

及此相反，可以设想，改用递归估计会更为合理。递归估计属于序贯处理(sequential

processing)方式。其特点是依据当前时刻的输入数据，结合己求出的前一个时刻的估计

值，即可算出当前的估计值。这种算法的优点是高效、节约存储器。但这还不是事情

的全部。假如递归估计器配上反馈环节，对误差进行自我修正，就构成能付诸好用的

卡尔曼滤波器。

.本节的目的是依据对最优非递归估计器的分析结果，导出等效的最优递归估计器。

下面仍旧依据以前的做法，依据给出的逐次采样值>(攵)=X+□(%)来作出线性

估计,即

并使均方误差0=七(工一£)2尽可能地小。上一节已得到这个问题的非递归解，现

在把它从新列出，即对于攵个采样值有

(10.8.1)

式中，。其对应的均方误差为

2

(10.8.2)

式中，。留意，符号£(£)表示参数工的第攵次估计，也就是在一批上个采样值处理后

的估计。式(1082)中的〃(2)也作同样的说明。

下面进行推导，从下标为％的量求下标为Z+1的量，以便实现递归计算。

对于Z+1个采样值，它的估计和对应的均方误差是

(10.8.3)

式中，。

(10.8.4)

因为Z表示所运用的采样值的数目，它是一个变更的量，因此用符号来表示更

为准确。

依据式(10.8.1)和(10.8.2),得

同样从式(10.8.3)和(10.8.4)得

h(i,k+1)=p(k+1)/b.

上两式之比为

p(Z+l)_"(，,&+1)_k+y_1

p(攵)h(J,k)攵+1+/1+1/(%+/)

于是得到

p(k+1)_1

P(k)l+p(Z)/cr：

（10.8.5）

这是一个差分方程，可以对均方误差进行递归计算：当给定〃（攵）后，就能得到

〃伏+1），然后又能得到〃伏+2）,如此等等。

对于）'（2）=*+U（%）这种特殊状况，依据式（1083）有

121

£（Z+1）=-----------Yy（i）+------------y{k+1）

Z+1+7占攵+1+7

运用式（10.8.1）,有

［（攵+1）="+♦x（k）+—1—y（k+1）

Z+1+/Z+1+y

再利用式（10.8.5）的关系可得

x（k4-1）=P（k+1）£伏）+P（k：1）y（z+1）

P（k）或

（10.8.6）

这是一个递归估计式，它和式（10.8.5）一起组成了递归算法。图10.8.1递归计算递归计算

估计值均方误差

示出递归计算过程。整个过程不断地生成X的最佳线性均方估计，*

••

*•

同时给出对应的均方误差〃（Z+1）。留意，当人特别大时，p*）

采样数据

■

趋于零。3（石）。他）

•

递归过程起先时，要赋初值。我们必需按非递归算法，依据单个11

1

）女（万+）（上+）

观测值算出第一个估计值%（1）。»（上+1―►1--01

1I

1

丁优+）一）—「（上+2）

【例10.8.1】设/=2,CT；给定。试推导/的递归估计序列。2xa+2

解：先通过式（10.8.1）给出的非递归估计求得工的

第一个估计值，它对于第一个数据采样值，即y（l）,给出第一个估

计值为。依据式（10.8.2）就能得到对应的均方误差为图1081递归计算过

程

现在就来进行递归估计。由式（10.8.5）得

p(2)=〃⑴”"反"/4

1+〃⑴/b：1+(1/3)

然后由式(10.8.6)得到

由于，因此上式也可以写成

它及非递归处理一样。

同理，可以得到以及第三个数据采样后的估计值

/)=海、⑵+不，⑶

P(2)

即

如此等等

▲

记

(10.8.7)

于是，式(10.8.6)变为

x(k+1)=a(k+1)£(Z)+h(k+l)y(攵+1)

(10.8.8)

依据式(10.8.7)和(10.8.5),易证参数。和有如下关系：

a(k+l)=l-b(k+i)

(10.8.9)

因此式(10.8.8)也可改写为

x(k+1)=x(k)+b(k+1)—+1)-£(%)]

(10.8.10)

式(10810)有重要意义，它表明这个系统是一个反馈系统，具有自我修正功能。

式中右边其次项代表修正项，仅女+1)是一个时变修正因子，y(A+l)一创幻是新

的数据测量值及上次估计值之差。新的一个估计值xik+1)是上次求出的估计值及修

正项之和。

式（10.8.8）和（10.8.10）的实现框图如图10.8.2和图10.8.3所示。

双+D."（空>+窄-----------------怨+1）

以方+）殳（左）,_

-----1

簟延卷迟时一间个

丁伏+1）——专啤。+3——「2/+1）

—•—HZ1-

葵迟一个

单卷时间

图10.8.2由非递归估计器导出的图10.8.3图10.8.2的另一种形

式

递归估计器

10.9最优递归估计器一标量卡尔曼滤波器

10.9.1系统模型

1960年，卡尔曼首先证明后来被称为卡尔曼滤波器的四个基本方程。本节将针对

标量信号导出这些递归方程。

卡尔曼滤波器要求被处理的信号是一个广义马尔科夫过程。这种信号的特点是：

从当前状态可以唯一地确定下一个时刻的状态，即状态可以通过转移矩阵转移到下一

个状态。一般的信号都能满意这个要求.为分析便利.先假设随机信号X（&）是一个由

零均值白噪声序列卬（均激发一个递归系统而产生的一阶自回来过程。图10.9.1示出

系统模型，左边是信号模型，右边是测量模型。其中，狼幻是测量过程引入的系统噪

声。假定仪外是均值为零的白噪声。在测量模型中，将输入信号乘以因子C，这样能

使所得的结果推广到向量信号的场合。

u(/c-1)o—i(s)-

—[T1—嗜）———附）

白噪声r测量参数

（观察参数）6v（k）

「a---«—

系统参数延迟一个

单位时间

陶机信号模型测量（观察模型）

图10.9.1系统模型

由图10.9.1知信号关于时间的变更满意下列动态方程：

x(k)=ax(k-1)4-w(k-1)

(10.9.1)

设初始采样值x(0)=0,即Z<0时，x(k)=0,卬(幻=0。又设随机驱动定义

为

E[w(k)]=0

f0k手j

E"水)以/)]=,,

k=j

(10.9.2)

式(10.9.1)定义的自回来过程无(攵)有以下统计特性：

£W)l=0

2

2

E[x(k)]=px(P)=a^=-^

\-a

(10.9.3)

。)

E[x(k)x(k+J)]=px(j)=3%(

(10.9.4)

式(10.9.3)的证明如下:

相隔，单位时间的工伙）的两个采样值的自相关函数为

/(力=£[宜场伏+力]

对于J=0,有

22

pr(0)=E[x(%)]=E[ax(k-1)+以攵-I)]

=a一仇工2(左一[)]+a卬2(k—1)]+2aE]尤(上—V)w^k—1)J

依据式(1092),可推知上式右边第三项为零。故

〃40)二/外(。)+〃卬(0)

于是，引入2r(O)=cr；,人.(0)=b：,,就能得到式(10.9.3)。在滤波器处于稳杰

并已运行很长时间的状况下，这个结果是正确的。因此输山特性是平稳的，即

E[x\k)]=E[x\k-r)].

▲

式(10.9.4)的证明如下

对于7=1,有

pv(l)=E[x(k)x(k+1)]=£{%(幻[分(Q+w(Q]}

=aE[x2(fc)J+E[x(k)w(k)]=@人(0)

对于j=2,有

〃式2)=E[x(k)x(k+2)1=E{x(k)[ax{k+1)+\v{k+1)1}

=aE[x(k)x(k+1)]+£[x(A)vv(A+1)]

2

=勾入⑴=a~Px(0)

用同样的方法可以得到/取其它值时的结果。/取负值时，这个结论也成立。于是，

式(10.9.4)得证。

从以上证明可以看出，对全部的，，PK/)都不为零，而且随|)|的增加而递减。

当a为负值时，凡(J)的值在正、负之间摇摆变更。

在处理过程中，参数a作为一个反馈量，起时间常数的作用。a值增大时，信

号M6的自相关性增大。

现在，再看图10.9.1右边的线性视察模型。它可以被描述为

y(k)=cx(k)-^-v(k)

(10.9.5)

式中包含时变信号X(〃)以及表示视察参数(或测量参数)的因子C.以后将会看到，因

子。在把标量结果变换到向量信号的场合时特别有用.式中可幻和前面规定的一样，

是一个加在信号上的独立的白噪声，它的均值为零，方差为

10.9.2算法推导

由图10.8.2,得递归估计器的形式为

方(左)=a(k)x(k-1)+b(k)y(k)

(10.9.6)

式中，右边第一项表示加权的先行估计，其次项则是加权的现行数据采样值。留意，

上一节中的土(口是依据成批数据中的女个数据而作出的参数X的估计，而此处的

1(%)则是依据先行估计乳k-1)和攵时刻唯一的一个数据)，(6而对x(k)作出的

估计。

下面用式(10.9.6)来求最佳估计。“最佳”的意义仍旧是使均方误差最小。此忖

我们有a(A)和。(Z)两个参数。它们通过使均方误差最小来求得。为此，令

p(k)=E\e2(k)]

(10.9.7)

最小，其中6?伏)=£(&)—X(Z)为估计误差。

把£(左)表达式(10.9.6)代入式(1097),得

p(k)=E[a{k)x(k-1)+b(k)y(k)-x(k)]2

(10.9.8)

分别对a(Q和伙Q求导,得

3p(Z)=2E[[a(k)x(k-1)+b(k)y(k)-x(k)]£(Z-l)}=0

da(k)

(10.9.9)

=2E{[a(k)x(k-1)+b(k)y(k)-x(k)]y(k))=0

db(K)

(10.9.10)

或写为另一种形式

E[e(k)x(k-V)]=0

(10.9.11)

E[e(Qy(Q]=0

(10.9.12)

依据式(10.9.11)可得a(Q和伙Q的关系为

a(k)=a[l-cb(k)][解说10.9.1]

(10.9.13)

把这个关系式代入式(10.9.6),得

x(k)=ax[k-1)+b(k)[y(k)-acx(k-1)]

(10.9.14)

第一项疝(2—1)表示没有其它任何附加信息加入时£(k)的最佳估计。因此，它是依

据先行的视察值所作的预料。其次项是修正项。其中，。戌(左一1)是依据前一个时刻

的估计值土(2—1)求出的对当前输入数据的估计值，y(Q是当前的实测数据％二者

之差称为余差。余差乘以增益因子构成一个修正项。它及第一项疝(z—1)之和就是

当前时刻左的估计值£(攵)。图1092综合了以上分析结果。这里，可以证明增益因子

为:

c[a-p(k-\)+(y]

b(k)=———————w----------【解说10.9.2]

(10.9.15)

均方误差为

(10.9.16)

可见p(Z)和"Z)有干脆的联系。留意，当a=c=l和=0时，从式(10.9.15)

和式(10.9.16)就可以得到式(10.8.5)的结果。

y(fr)修正.泌)

+

o------♦-o

现行测量值现行估计

(观察值或数据)9—1)

------O——a

a.v(A--l)

测量参数系统参数单位延迟

图10.9.2最优递归估计器(滤波器)

如上所述.系统起先工作时须要用第一个视察值来产牛非递归估计£(1)(见例

10.8.1)。也可以用一个估计值a(0)代替第一个视察值来作出估计。为此，求下式

p(0)=E[x(*)-i(0)]2

(10.9.17)

取最小值时£(0)的值，于是有

磊―=。

(10.9.18)

即

£(0)=£1x(幻]

由此可见，£(0)的最佳估计就是x(A)的平均值。

【例1091】利用上面的结果，并设E[x(k)]=0，就能按如下步骤启动系统。

因为£(0)=0,所以用第一个数据采样值y(l)就可以从式(10.9.14)中得到

A(1)=Z7(1)X1)<>这里，为了求得。(1)，可用如下正交关系：

E(Ml)-x(l)]y(l)}=0

式中，y(l)=x(l)4-v(l),其中取c=l。以£(l)=b(l)y(l)代入，并取平均，即

得

再设er：=er：,,a2=1/2,从式°j,于是/?(1)=2/3=0.67。把此

值代入式(10.9.16),得,这样就得到了用式(10.9.15)计算入2)所需的全部数据。

于是，依据上述求得的数值可得

2。吧4=0.57

°；+4+IMD7

再依据式(10916)求得均方误差为〃(2)=4。)7。把p(2)代入式(10915)

又可得伙3)=9/16=0.562。于是p⑶=0.56纭：，如此等等。随着k的增加,

〃(幻潮潮达到稳态值〃(幻=〃(攵-1)=〃。稳态值〃可以通过把式(10916)

代入式(10.9.15)求得。即

00A

p~+3b；p-2b；=0

解上述方程得〃=0.56b：。可见上面计算得到的〃(3)及极限值(即稳态值)

0.56cr，特别接近。▲

式(10.9.14)到式(10916)构成了一个完整的算法。为了使这些结果能推广到

向量信号状况，最好把这些式子从新排列成如下形式：

递归滤波估计器：

ir^

x(k)=ax(k-l)+b(k)[y(k)-acx(k-1)]

(10.9.19)

滤波器增益

叱b(k)=eq伏)[J〃]伏)+

(10.9.20)

其中

啰5Pi*)=屋p(z_1)十b：,

(10.9.21)

均方误差

任^p(k)=p]k)—cb(k)pi(k)

(10.9.22)

估计方程(10.9.19)及原先的方程(10.9.14)完全一样，而式(10.9.15)和式(10.9.16)

这两个式子在引进新的量〃।(%)以后可以用式(10920)至IJ(10.9.22)三个式子来表

不。

对于由式(10.9.1)给出的信号模型，即

x(k)=ax(k—1)+w(k—1)

以及由式(1095)给出的视察模型，即

y(k)=cx(k)+v(k)

上述一组方程构成了标量(一维)卡尔曼滤波器。这种类型的递推估计大约在I960年

起先发展起来。在这方面，R.E.卡尔曼的贡献最为突出。

10.10向量卡尔曼滤波器

10.10.1信号向量和数据向量

上节探讨了标量卡尔曼滤波器。在这种最简洁的卡尔曼滤波器中，不断地被估计

的信号只有一个，而在这个过程中用以进行校正的测量数据也只有一个。但在实际应

用中，往往须要对几个信号同时进行估计。为此，须要实测的数据也不止一个。例如,

在雷达对飞行物进行测距时，可以用标量卡尔曼滤波器对距离进行估计。每次估计时，

只用一个实测数据对距离的估计值进行修正。明显，这种简洁的算法不行能得到很高

的精度。为了提高估计精度，较好的做法是对飞行物的距离和速度同时进行估计，而

用一个实测数据进行修正。在这种状况下，涉及的信号有两个，即距离及速度。木节

先介绍信号向量和数据向量的概念。然后，下一节将把从前对标量卡尔曼的分析推广

到向量卡尔曼滤波器。

【例10.10.1】假设要对夕个独立的信号同时进行估计(即同时预料)。个信

号在时刻k的采样值记作修(Q,冷(女),•••,%/(2)。又假定每个信号是由它们本身

的一阶自回来过程产生的。例如，第i个信号8(Z)是由第i个白色的、均值为零且独

立于其它全部信号的噪声明(%)所激发，即：

Xj(k)=­(2-1)+叫(Z-1)i=1,2,…,4

(10.10.1)

我们把这些信号和相应的驱动源分别用向量表示为

x(k)w(Z)do.io.2)

于是，可将标量方程(1091)改写为如下的一阶向量方程：

x(k)=Ax(k-1)+w(A-1)

(10.10.3)

式中，x(k)、x(攵-1)和w(攵-1)是(qxl)列向量，A是一个(qx^)矩阵,

在本例中是一个对角阵，即

(10.10.4)

【例10.10.2】考察雷达跟踪问题，这对于理解卡尔曼滤波器的工作很有帮助。设

时刻左时

雷达及被跟踪飞行器的距离为H+夕(女)。7秒后，也就是在时刻Z+1时距离为

尺十夕(左十1)。T表示在一个扫描间隔产生的样点之间的时间。A为平均距离。

p(k)、夕(攵+1)等表示及平均值的偏差。人们感爱好的是估计这些偏差。它们可以

看成是统计意义上平均值为零的随机量。若飞行器的径向运动速度为力(幻，而丁也

不是太大，那末，用一阶近似可得距离方程为

p(k+l)=p(k)+Tp(k)

(10.10.5)

同理，对于加速度〃(Q,也有如下加速度方程：

Tu(k)=p(k+l)-p(k)

(10J0.6)

若设”(Q是一个均值为零的、平稳的白噪声过程，那末加速度的平均值为零而且互不

相关，即

石[〃(2+1)〃(2)]=0。但它却具有某个已知的方差仇〃2(攵)]=0：。这种加速度

可以是由于突然产生的阵风及发动机驱动力短时间的不规则变更而引起的。量

%(k)=7h(k)也是一个白噪声过程，把它代入式(10.I0.6),得

Q(&+1)=Q(L)+〃](%)

(10.10.7)

现在，定义一个由两个重量组成的向量信号x(Q,它的一个重量是距离斗(灯，

有*(%)二夕(")，另一个重量是径向速度々(”)，有“(左)=，(幻。依据这个定

义，式(10.10.5)和(10.10.7)可以写为

(攵+

X)1)=%(k)+Tx2(k)

工2(%+1)=X2/)+"|(k)

或把它们归入一个向量方程，得

X)(k+1)牛］(叼+10

工2(攵+1)0

(10.10.8)

x(k+1)Ax(k)

对于时变系数的方程，可以通过定义时变矩阵-来处理。这种时变矩

阵也称作系统转移矩阵。

卜.面来探讨数据向量。假设在时刻攵对信号向量x(A)的估计过程中，同时产生r

个含有噪声的测量值。假如把这些测量采样值记为)，](%),%(%)，•••，))/)，就得到

如下一组数据：

力伏)=qX](Z)+叫(Z)

y(k)=cx(k)+v(k)

<2222

*

%伏)二如巧伏)+匕.(女)

(10.10.9)

其中，匕(攵)项表示加在信号上的噪声；。，。2,…,明表示若干个参数，它和式

(10.9.5)引进的c类似。通过定义有L个重量的向量y(A)和v(Z),这个方程组可

以写成向量形式。依据前面具有1个重量的向量x(Q的定义，我们有数据向量

y(A)=Cx(Z)+v伏)

(10.10.10)

式中，y(k)和丫(攵)是(?*xl)歹汁向量，x(k)是(qxl)歹|」向量。C是一个(厂xq)

的视察矩阵。本例中，若设，yq(观测量的数目厂往往少于被估计量的数目q),则

Q—>

(10.10.11)

10.10.2向量问题的表示

第10.9节探讨了标量卡尔受滤波渊的算法。对于向量信号，基本原理是相同的,

只需将标量信号改成向量，其它参数改为矩阵或向量即可。

回到基本问题。一个信号向量x(k)满意下列一阶向量动态方程:

x(k+1)=Ax(Q+w(Z)

(10.10.12)

它可以从含有噪声的测量值向量y(A)中检出，

y(Z)=Cx(k)+v(Z)

(10.10,13)

这两个方程都可以按上节探讨的方法得到。

现在的问题是如何产生x(Z)的“最佳”线性估计(滤波值)氯幻以及如何求

出“最佳”预料值夕(A|攵-1)。这里,戈(左|左一1)代表由时刻％—1的条件求时刻

k的x(k)的估计值。而所谓“最佳”的意思是估计器同时使每个信号重量的均方误差

都最小。例如在