河南开封市五县联考2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南开封市五县联考2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x<3,x∈N，B=−1,0,1,2,3,4，则A∩B=(

)A.0,1,2,3 B.−1,0,1,2 C.0,1,2 D.{x|0≤x<3}2.双曲线x26−yA.6 B.4 C.263.已知递增的等比数列an满足a6+a8=9，a3A.5 B.3 C.22 4.在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1;乙队进球个数的平均数为1.4，标准差为1.2，则(

)A.甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大

B.乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大

C.甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大

D.乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大5.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(12,14)，记函数f(x)=P(ξ≤x)A.关于直线x=12对称 B.关于直线x=14对称

C.关于点(126.设a≠0，若a为函数fx=ax−a2A.a<b B.a>b C.ab<a2 7.已知O为△ABC的外心，且满足AO=AB+2AC，则ABA.2 B.5 C.6 8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=2x−1,0≤x≤13sinπ2x−2,1<x≤2，若关于x的方程λln|x|=f(x)至少有A.(−∞,−2ln6]∪[1ln5,+∞) B.(−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为x(x≠0)，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据x1+x，xA.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同10.已知数列an满足an=2n+12n−1an−1，A.an=2n+1

B.设数列bn满足bn=1an−8，则bn的最大项为b5

C.设数列an3n的前n项和为Sn，则11.已知数列an满足an+1=ean−1(e是自然对数的底数A.an<an+1 B.an<0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N(110,σ2)，若P(90≤X≤110)=0.47，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为

13.已知直线x+y−5=0与圆C：x2+y2−4x+2y−m2=0相交于A，B两点，且14.设关于x的方程12x2+e2x−7xex=0(e为自然对数底数)有n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱(1)若点G为DD1中点，证明：BC(2)若直线EF与平面CFG所成的角为45∘，求平面CFG与平面EFG夹角的余弦值．16.(本小题15分)为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课．(1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率；(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为CovX,Y=E[X−EXY−EY.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.(ⅰ)求随机变量X的分布列；(ⅱ)求CovX,Y，并说明X，Y之间的线性相关关系．17.(本小题15分)已知a∈R，函数fx(1)若x=2是函数fx的极小值点，求a(2)若函数fx存在两个极值点x1，(i)求a的取值范围；(ii)设点Ax1,fx1，Bx2,fx2，证明：存在x3,18.(本小题17分)已知双曲线C：x2−y2=m(m>0)，点P1(5,4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2，3，…)：过Pn−1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn−1，令(1)若k=12，求x2(2)证明：数列{xn−(3)设Sn为△PnPn+1P19.(本小题17分)P为椭圆C:x2a2+y2=1a>1上异于顶点的动点，且C的离心率为32(1)求C的方程；(2)求证：sinα(3)设点Tt,0−2<t<0，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA,MB于点D,E.问是否存在t，使得点O,D,M,E四点共圆(O为坐标原点)？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．参考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.C

8.D

9.AB

10.ACD

11.ABD

12.240

13.±14.−2ln15.解：(1)正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、AD的中点，点G为DD1中点，

连接AD1，

∵AB/​/C1D1，且AB=C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，

∴BC1/​/AD1，

∵F，G分别是AD，DD1的中点，∴FG//AD1，

∴BC1//FG，

又BC1⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，

∴BC1/​/平面EFG．

(2)以D点为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(2,0,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，

设G(0,0,t)(0≤t≤2)，CG=(0,−2,t)，CF=(1,−2,0)，EF=(−1,−1,0)，

设平面CFG的一个法向量是n=(x,y,z)，

则n·CG=−2y+tz=0n·CF=x−2y=0，取y=1，得n=(2,1,2t)，

因为直线16.解：(1)设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件A，“皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件B，剪纸项目的传承人在剪纸工坊，剩下3人全排列，即n(A)=A皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的2个项目中选1个，即C2剩下2人全排列，即A22=2所以PB(2)(ⅰ)由题意得总分配方案数为A44=24，设4人为1，2，3，4当X=4时，4人都在自己对应的工坊，只有1种情况，即P(X=4)=1当X=2时，从4人中选2人在对应工坊，有C4剩下两人都不在对应工坊，只有1种排法，共有6⋅1=6种排法，即P(X=2)=6当X=1时，从4个人中选1人在对应工坊，有C4剩下三人必须不在对应的工坊，不妨设剩下的3人为1,2,3，1不在a，只能在b,c中选，有C22,3只能调换位置，有1种排法，共4⋅2⋅1=8种排法，即P(X=1)=8则P(X=0)=1−1随机变量X的分布列如下：X0124P3111(ⅱ)由题意得Y=4−X，由上可得E(X)=0×3E(X则D(X)=E(XE(Y)=E(4−X)=4−E(X)=3，则Cov=E[(X−1)(1−X)]=E[−(X−1=−D(X)=−1因为协方差为负数，由题意得随机变量X与Y之间具有负相关关系．

17.解：(1)依题意，f′x因为x=2是fx的极小值点，所以f′2=4−4a+1=0此时f′x=x−12x−2，当12所以x=2是函数fx的极小值点，所以a=(2)(i)因为x1，x2x所以f′x=x解得a<−1或a>1，故a的取值范围是−∞,−1∪(ii)由(i)可得x1+x依题意，k==1令x2−2ax+1=−2此时Δ′=4a2−4−而x1<x又gx1=f′故gx在x1,x2综上，存在x3,x使得曲线y=fx在x=x3和x=

18.解：(1)点P1(5,4)在双曲线C：x2−y2=m(m>0)上，

∴m=52−42=9，

直线P1Q1的方程为y−4=12x−5，即x−2y+3=0

联立x2−y2=9x−2y+3=0，解得x=−3y=0或x=5y=4(舍)，

则点Q1−3,0，点P23,0，

∴x2=3,y2=0．

(2)∵Pn(xn,yn)关于y轴的对称点是Qn−1(−xn,yn)，

而Pn−1(xn−1,yn−1)，而Pn−1，Qn−1都在同一条斜率为k的直线上，

∴xn−1≠−xn，yn−yn−1−xn−xn−1=k19.解：(1)由椭圆方程可知：b2因为e=ca=所以椭圆C的标准方程为x2(2)因为e=c由正弦定理可得F1即sinαcosβ+(3)假设存在，可设直线l:x=my+t，Ax